2017高二上学期期中考试理科数学试题4

2017高二上学期期中考试理科数学试题4

‎2017 高二(上)期中试题 数 学(理科)‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上)‎ ‎1．已知空间一点A的坐标是(5， 2， －6)，P点在x轴上，若PA＝7，则P点的坐标是 ．‎ ‎2．命题“∃x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0”的否定是 ．‎ ‎3．圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1和圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的位置关系是 ．‎ ‎4．已知点A(－1， 0)，B(1， 0) ，若点C满足条件AC＝2BC，则点C的轨迹方程是 ．‎ ‎5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是 ．‎ ‎6．若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ．‎ ‎7．已知曲线C ：y2－4x2 n＝0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的 条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．‎ ‎8．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积是 ．‎ ‎9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y＝－1，则其渐近线方程为 ．‎ ‎10．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2，2)的圆的方程是 ．‎ ‎11．若“(x－a)(x－a－1)＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎12．直线y＝x＋b与曲线x＋＝0恰有一个公共点，则b的取值范围是 ．‎ ‎13．曲线 ＝(2－x) 的焦点是双曲线C的焦点，点(3，－)在C上，则C的方程是 ．‎ ‎14．已知圆 (x－a)2＋(y－b)2＝4过坐标原点，则a＋b的最大值是 ．‎ 二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分8分)写出命题“若直线l的斜率为－1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？‎ ‎16．(本小题满分9分)某企业计划生产A，B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4 kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5 kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．‎ ‎(1)用x，y表示z的关系式是 ；‎ ‎(2)该企业有工人300名，供电局只能供电200 kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？‎ ‎17．(本小题满分10分)已知直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点分别为A，B．‎ ‎(1)求A，B的坐标；‎ ‎(2)点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．‎ ‎18．(本小题满分10分)设直线l的方程是x＋my＋2＝0，圆O的方程是x2 ＋y2＝r2 (r >0)．‎ ‎(1)当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；‎ ‎(2)r＝4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分10分)已知双曲线C1：－8y2＝1(a＞0)的离心率是，抛物线C2：y2＝2px的准线过C1的左焦点．‎ ‎(1)求抛物线C2的方程；‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，4)是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．‎ ‎20．(本小题满分11分)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．‎ ‎(1) 求椭圆方程；‎ ‎(2)设Q(0，－m)(m＞0)是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．‎ 高二（文）数学参考答案 一、填空题(每小题3分，共42分)‎ ‎1．(8，0，0)或(2，0，0)‎ ‎2．∀x∈[－1，1]，x2－3x＋1≥0‎ ‎3．相交 ‎4．3x2＋3y2－10x＋3=0‎ ‎5．y2＝2x或x2＝－2y ‎6．(，＋∞)‎ ‎7．充分不必要 ‎8．24‎ ‎9．y＝±x ‎10．x2＋(y＋1)2=13‎ ‎11．[0，3]‎ ‎12．{b|－1≤b<1，或b=}‎ ‎13．3x2－y2＝1‎ ‎14．2 二、解答题(本大题有6小题，共58分)‎ ‎15．逆命题 若直线l在两坐标轴上截距相等，则直线l的斜率为－1；该命题是假命题； ……3分 否命题 若直线l的斜率不为－1，则直线l在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题；……6分 逆否命题 若直线l在两坐标轴上截距不相等，则直线l的斜率为不－1；该命题是真命题．……8分 ‎ (说明，对一个得3分，对两个得6分，对三个得8分)‎ ‎16．(1)z＝7x＋12 y；……2分 ‎(2)根据题意得……4分 由得……5分 记点A(20，24)．‎ ‎(作出可行域)如右图，当斜率为－ 的直线经过点A(20，24)时，在y轴上的截距最大． ……8分 此时，z取得最大值，为(万元)．‎ 所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是万元．……………………………9分 ‎17．(1)由可得两交点的坐标不妨分别为A (－，)，B (－3，2)．……3分 ‎(2) ①当DA＝DB时，易得直线l的斜率为－2，线段AB的垂直平分线的斜率为，中点为 (－，)，‎ 所以线段AB的垂直平分线的方程为x－2y＋5＝0．‎ 所以点D的坐标为(－5，0)．……………………………………………………………………………6分 ‎②当DA＝BA时，以A 为圆心，AB为半径的圆A的方程为(x＋) 2＋(y－) 2＝．‎ 圆A与x轴的交点为(－＋，0)和(－－，0)．………………………………………9分 ‎③当BA＝BD时，以B为圆心，AB为半径的圆与x轴无交点．……………………………………10分 所以，点D的坐标为 (－5，0)或(－＋，0)或(－－，0) ．‎ ‎18．(1)直线l过定点(－2，０)，当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点(－2，０)在圆O内或在圆O上，……………………………………………………………………………………2分 所以r的取值范围是[，＋∞)；………………………………………………………………………5分 ‎(其他解法，类比赋分，如≤r恒成立，等)‎ ‎(2)设坐标为(－2，０) 的点为点A，‎ 当直线l与OA垂直时，直线l被圆O截得的弦长为4；………………………………………………7分 x轴被圆O截得的弦长为8； ………………………………………………8分 直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4，8)．………………………………………………………10分 ‎(其他解法，类比赋分，如弦长2取值范围是[4，8)，等)‎ ‎19． (1)因为双曲线C1：－8y2＝1(a＞0)的离心率是，‎ 所以a2＝，c2＝， …………………………………………………………2分 所以抛物线C2：y2＝2px的准线方程是x＝－，‎ 所以p＝1，抛物线C2的方程是y2＝2x． ………………………………………………4分 ‎(2)不妨设C(8，4)，‎ ‎(第一类解法)‎ 设AC的斜率为k，则直线AC的方程是y－4＝k(x－8)，‎ x＝代入并整理，得ky2－2y＋8－8k＝0，‎ 方程的两根是4和－4，所以y1＝－4，x1＝，‎ A点的坐标是（，－4）， ‎ 同理可得B点的坐标（2(2＋k)2，－2k－4），　　 ………………………………………………7分 直线AB的斜率KAB＝＝，‎ 直线AB的方程是y－(－2k－4)＝[x－2(2＋k)2]，‎ 即y＝(x－10)－4， ………………………………………………9分 直线AB过定点，定点坐标是（10，－4）．　 ………………………………………………10分 ‎(第二类解法)‎ 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在C2上，‎ 所以x1＝，x2＝．显然，y1≠4， y2≠4，y1＋y2≠0．‎ 因为CA⊥CB，所以(－8)(－8)＋(y1－4)( (y2－4)＝0．‎ 所以(y1＋4)(y2＋4)＝－4，y1y2＝－4(y1＋y2)－20 (*)， …………………………………6分 直线AB的方程是y－y1＝(x－)，‎ 解法一 直线AB的方程即y＝x＋， ‎ 将(*)式代入，得y＝(x－10)－4， ………………………………………………9分 所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． ………………………………10分 解法二 由(*)得y2＝－ ．‎ 把y2＝－ 代入直线方程，整理得y12(－y－4)＋y1(2x－10)＋8 x＋20 y＝0．…………8分 由得 所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． …………………………10分 解法三 由(*)式得y2＝－ ．‎ 可得 进而得A(18，－6)，B(2，－2)，‎ 进而得直线AB：x＋4y＋6＝0．(其它方程类比赋分) ………………………………………7分 由(*)式得还可得 进而得A(，－3) ，B(32，－8) ，‎ 进而得另一直线AB：2x＋11y＋24＝0． ………………………………………………8分 由得 因为适合直线AB的方程(y＝x＋)， ……………………………………9分 所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． ……………………………………10分 ‎20．(1) 由题意得 解得 所以，所求方程为＋ =1．………………………………………………………………………4分 ‎(2) PQ2=x02＋(y0＋m)2=－(y0－3m)2＋4m2＋4，………………………………………………………6分 ‎①当0时，PQmax=m＋，令m＋=，得m=－(舍去)；………………… 10分 所以m的值是．………………………………………………………………………………………11分