2021版高考数学一轮复习单元评估检测一苏教版
单元评估检测(一) (第一、二章)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x<2或x>4},B=,则A∩B= ( )
A.
B.
C.{x|4
4}∩=
.
2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是 ( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
【解析】选B.由图象(画图略)知,
当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为
g(x)>f(x)>h(x).
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3.(2020·南京模拟)函数f(x)=的图象大致是 ( )
【解析】选C.因为x∈R,且f(-x)=f(x),
所以f(x)是偶函数,故排除B项;
又因为x>1时,f(x)>0;x→+∞时,f(x)→0,所以排除A,D项.
4.(2020·潍坊模拟)已知f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,且f(x)=f(4-x),则函数f(x)的零点个数至少为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.因为f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,所以f(0)=0,且零点关于原点对称,所以零点个数为奇数,排除选项B,D,
又因为f(x)=f(4-x),
所以f(0)=f(4)=0,f(-4)=-f(4)=0,
所以f(-4)=f(4+4)=f(8)=0,
f(-8)=-f(8)=0,
所以f(x)的零点至少有0,±4,±8,5个,故选C.
5.(2020·武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2+m),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a2时,f(x)=log2(x-2),则f(x-1)<0的解集是 ( )
A.(-∞,-2)∪(3,4)
B.(-∞,-3)∪(2,3)
C.(3,4)
D.(-∞,-2)
【解析】选A.画出函数图象如图所示,
由图可知,x-1<-3或20时,
f(x)=ln x为增函数.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
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13.已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}为等比数列”的______条件.
【解析】若A=B=0,则Sn=0,数列{an}不是等比数列.如果{an}是等比数列,由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,a1a3=,从而可得A=-B,
故“A=-B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件.
答案:必要不充分
14.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B,C分别在函数y1=3logax,y2=2logax,y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为________.
【解析】依题设B(xB,2logaxB),C(xC,logaxC),
又BC∥x轴,所以xC=.
正方形边长=|BC|=xC-xB=-xB=2,
所以xB=2.
又AB⊥x轴,所以A(2,3loga2),
|AB|=3loga2-2loga2=loga2=2,故a=.
答案:
15.已知函数f(x)=ln(3-x),则不等式f(lg x)>0的解集为________.
【解析】因为f(x)=ln(3-x),则
解得0≤x<3,所以定义域为[0,3),
因为f(x)=ln(3-x)>0等价于
解得00,
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所以
解得11,f(x)=1⇒ln x=1⇒x=e.
答案:0 e
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.
(1)求(RB)∪A.
(2)已知集合C={x|11}={x|x>2},
(1)RB={x|x≤2},
所以(RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}
={x|x≤3}.
(2)当C=时,a≤1,满足C⊆A;
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当C≠时,由题意得,
所以10,a≠1)的图象过点A,B.
(1)求f(x).
(2)若不等式+-m≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,求m的取值范围.
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【解析】(1)由已知得
解得所以f(x)=×.
(2)+-m=2x+3x-m≥0,
所以m≤2x+3x,
因为y=2x+3x在[1,+∞)上为增函数,
所以y的最小值为5,所以m≤5.
20.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(040,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,所以x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当00.
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
【解析】(1)由log2>0,得+5>1,
解得x∈∪(0,+∞).
(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5,
即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.
①当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.
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②当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.
③当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.
若x1是原方程的解,则+a>0,即a>2;
若x2是原方程的解,则+a>0,即a>1.
由题意知x1,x2只有一个为方程的解,
所以或于是满足题意的a∈(1,2].
综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.
(3)易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).
f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1,
即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈恒成立.
因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,
当t=时,y有最小值a-.
由a-≥0,得a≥.
故a的取值范围为.
22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
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(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值.
(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)0.
所以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<-f(-x1).
又f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.
所以对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).
因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,
所以f(x)在[-3,3]上的最大值为6.
(3)因为f(x)为奇函数,
所以整理原不等式得
f(ax2)+2f(-x)ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.
所以当a=0时,x∈{x|x<1};
当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};
当a<0时,;当a>2时,x<或x>1.
综上所述,当a=0时,原不等式的解集为
{x|x<1};
当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};
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当a<0时,原不等式的解集为;
当02时,
原不等式的解集为.
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