江西省2011年中考数学试卷及答案

江西省2011年中考数学试卷及答案

机密★2011年6月19日 江西省2011年初中毕业暨中等学校招生考试 数学试题卷 说明：‎ ‎1.本卷共有六个大题，25个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.‎ ‎ 2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分.‎ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.‎ ‎1.下列各数中，最小的是（ ）.‎ A. 0 B. ‎1 ‎‎ C.－1 D. －‎ ‎2.根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学计数法表示为（ ）.‎ A. 4.456×107人 B. 4.456×106人 C. 4456×104人 D. 4.456×103人 图甲 图乙 第3题 ‎3.将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中的实物的俯视图是（ ）.‎ D.‎ B.‎ C.‎ A.‎ ‎4.下列运算正确的是（ ）.‎ A.a+b=ab B. a2·a3=a‎5 C.a2+2ab－b2=(a－b)2 D‎.3a－‎2a=1‎ ‎5.已知一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是( ).‎ 第7题 A .－2 B.－‎1 C. 0 D. 2‎ ‎6.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).‎ ‎ A .1 B‎.2 ‎‎ C.－2 D.－1‎ ‎7.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.‎ A.BD=DC， AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC ‎ ‎ C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC ‎ ‎8.时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°.在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y(度)，运行时间为t(分)，当时间从12︰00开始到12︰30止，y与 t之间的函数图象是（ ）.‎ ‎30‎ O ‎180‎ y(度)‎ t(分)‎ ‎165‎ A.‎ ‎30‎ O ‎180‎ y(度)‎ t(分)‎ B.‎ ‎30‎ O ‎180‎ y(度)‎ t(分)‎ ‎195‎ C.‎ ‎30‎ O ‎180‎ y(度)‎ t(分)‎ D.‎ A C B P 第13题 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9.计算：－2－1=__________.‎ ‎10.因式分解：x3-x=______________.‎ ‎11.函数中，自变量x的取值范围是 .‎ ‎12.方程组的解是 .‎ ‎13.如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度.‎ ‎14.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案.设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是 .‎ ‎15.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________.‎ O A B C D E F x y ‎2‎ ‎3‎ 第15题 ‎16.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB =30°.有以下四个结论：①AF⊥BC ②△ADG≌△ACF ③O为BC的中点 ④AG︰DE=，其中正确结论的序号是 .‎ A D C B E O G F 第16题 x y 第14题 ‎.‎ 三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17.先化简，再求值：，其中 ‎18.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.‎ ‎（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.‎ ‎（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.‎ A B C O x y D ‎19.如图，四边形ABCD为菱形,已知A(0,4)，B(－3,0).‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求经过点C的反比例函数解析式.‎ 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎20.有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长‎21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为‎3cm，其余圆的直径从左到右依次递减‎0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘‎1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘‎1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.‎ ‎（1）直接写出其余四个圆的直径长；‎ ‎21‎ ‎1.5‎ ‎1.5‎ d ‎3‎ ‎（2）求相邻两圆的间距.‎ ‎21.如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）.‎ ‎（1）求∠BAC的度数；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值.‎ A B C O ‎（参考数据： ，，.）‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎22.图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =‎34cm，AB=FE=‎5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.‎ 图丙 A B C D E F O ‎34‎ B C A O 图甲 F E D B C A O 图乙 D E F ‎（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）‎ ‎23.以下是某省2010年教育发展情况有关数据：‎ 全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.‎ 请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析.‎ ‎（1）整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.‎ ‎（2）描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充完整.‎ ‎（3）分析数据：‎ ‎①分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出.（师生比=在职教师数︰在校学生数）‎ ‎②根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可）‎ ‎③从扇形统计图中，你得出什么结论？（写出一个即可）‎ ‎2010年全省教育发展情况统计表 高中 ‎1.8%‎ 全省各级各类学校所数扇形统计图 六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎24.将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式.‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.‎ ‎①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.‎ y x O c1‎ c2‎ y x O 备用图 ‎25.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.‎ 活动一：‎ ‎ 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A‎1A2为第1根小棒）‎ 数学思考：‎ ‎（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)‎ ‎（2）设AA1=A‎1A2=A‎2A3=1.‎ ‎①=_________度；‎ A1‎ A2‎ A B C A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ a1‎ a2‎ a3‎ 图甲 ‎②若记小棒A2n‎-1A2n的长度为an（n为正整数，如A‎1A2=a1，A‎3A4=a2，…）， 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.‎ 活动二：‎ 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A‎1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.‎ 数学思考：‎ ‎（3）若已经摆放了3根小棒，则1 =_________，2=________， 3=________；（用含 的式子表示）‎ A1‎ A2‎ A B C 图乙 A3‎ A4‎ ‎（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.‎ ‎·机密‎2011年6月19日 江西省2011年中等学校招生考试 数学试题卷 参考答案及评分意见 说明：‎ ‎1．如果考生的解答与本答案不同，可根据试题的主要考查内容参考评分标准制定相应的评分细则后评卷．‎ ‎2．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，则可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半，如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．‎ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．A ‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9. 10. 11． 12． 13. 90‎ ‎ 14．（或）　　15．（0，1） 16．①②③④‎ 说明：（1）第11题中若写成“”的，得2分；‎ ‎（2）第16题，填了1个或2个序号的得1分，填了3个序号的得2分．‎ 三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分） ‎ ‎17．解：原式=. ………………3分 ‎ 当时，‎ ‎ 原式= ………………6分 ‎ 18．解：（1）方法一 甲 乙 丙 丁 丙 甲 乙 丁 乙 甲 丙 丁 丁 甲 乙 丙 第一次 第二次 画树状图如下：‎ ‎ ‎ ‎ 所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种. ‎ ‎∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=. ………………4分 方法二 列表格如下：‎ 甲 乙 丙 丁 甲 ‎ 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种． ‎ ‎∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=. ………………4分 ‎ （2）P（恰好选中乙同学）=. ………………6分 ‎19．解：（1） ∵， ∴ ∴.‎ ‎ 在菱形中，, ∴, ∴. …………3分 ‎（2）∵∥, ， ∴.‎ 设经过点C的反比例函数解析式为.‎ ‎ 把代入中，得：， ∴，∴. ……6分 四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）‎ ‎20．解：（1）其余四个圆的直径依次为：‎2.8cm, ‎2.6cm, ‎2.4cm, ‎2.2cm.………………4分 ‎ （2）依题意得，， ……………6分 ‎ ∴ ∴. ………………7分 A B C O E ‎ 答：相邻两圆的间距为cm. ………………8分 ‎21．解：(1) 解法一 连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E.‎ ‎ ∵OE⊥BC，BC=，‎ ‎∴. ………………1分 A B C O D ‎ 在Rt△OBE中，OB=2，∵，‎ ‎ ∴, ∴，‎ ‎ ∴. ………………4分 解法二 连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD.‎ ‎ ∵BD是直径，∴BD=4，.‎ ‎ 在Rt△DBC中，,‎ ‎ ∴，∴.………………4分 ‎(2) 解法一 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分 ‎ 过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC，.‎ A B C O E ‎ 在Rt△ABE中，∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴S△ABC=. ‎ ‎ 答：△ABC面积的最大值是. ………………8分 ‎ 解法二 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分 过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC.‎ ‎ ∵, ∴△ABC是等边三角形. ………………6分 在Rt△ABE中，∵，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴S△ABC=. ‎ 答：△ABC面积的最大值是. ………………8分 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）.‎ ‎22．解法一 连接OB，过点O作OG⊥BC于点G. ………………1分 在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，‎ ‎∴ tan∠ABO=， ∴∠ABO=73.6°，………………4分 ‎∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°. ………………5分 又 ∵， ………………6分 ‎∴在Rt△OBG中，‎ ‎. ……………8分 ‎∴水桶提手合格. ……………9分 ‎ 解法二 连接OB，过点O作OG⊥BC于点G. ……………1分 在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，‎ ‎ ∴ tan∠ABO=， ‎ ‎ ∴∠ABO=73.6°. ………………4分 要使OG≥OA，只需∠OBC≥∠ABO，‎ ‎∵∠OBC=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°＞73.6°，……8分 图丙 A B C D E F O ‎34‎ G ‎∴水桶提手合格. ………………9分 学校所数 ‎（所）‎ 在校学生数 ‎（万人）‎ 教师数 ‎（万人）‎ 小学 ‎12500‎ ‎440‎ ‎20‎ 初中 ‎2000‎ ‎200‎ ‎12‎ 高中 ‎450‎ ‎75‎ ‎5‎ 其它 ‎10050‎ ‎280‎ ‎11‎ 合计 ‎25000‎ ‎995‎ ‎48‎ ‎23．解：（1）2010年全省教育发展情况统计表 高中 ‎1.8%‎ 全省各级各类学校所数扇形统计图 小学 ‎50%‎ 其它 ‎40.2%‎ 初中 ‎8%‎ ‎（说明：“合计”栏不列出来不扣分） ……………3分 ‎ （2）‎ ‎ ……………6分 ‎（3）①小学师生比=1︰22，‎ ‎ 初中师生比≈1︰16.7，‎ ‎ 高中师生比=1︰15，‎ ‎ ∴小学学段的师生比最小. ………7分 ‎②如：小学在校学生数最多等. ………8分 ‎③如：高中学校所数偏少等. ………9分 说明：（1）第①题若不求出各学段师生比不扣分；‎ ‎（2）第②、③题叙述合理即给分.‎ 六、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）‎ ‎24．解：（1）. ………………2分 ‎（2）①令，得：，‎ ‎ 则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.‎ ‎∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.‎ 同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.‎ 当时，如图①，‎ ‎，‎ ‎∴. ………………4分 当时，如图②，，‎ ‎ ∴. ………………6分 y x O A D B E M N 图②‎ y x O A D B E M N 图①‎ ‎∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点. ‎ ‎②存在. ………………7分 方法一 理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.‎ 即M，N关于原点O对称， ∴. ‎ ‎∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，‎ ‎∴四边形ANEM为平行四边形. ………………8分 要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,‎ 即， ∴.‎ ‎∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分 方法二 理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：.‎ 即M，N关于原点O对称， ∴. ‎ ‎∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，‎ ‎∴四边形ANEM为平行四边形. ………………8分 ‎∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 若，则，∴.‎ 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°.‎ ‎∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分 ‎25.解: （１）能． ………………1分 ‎ （２）① 22.5°. ………………2分 ‎ ②方法一 ‎∵A A1=A‎1A2=A‎2A3=1，A‎1A2⊥A‎2A3，‎ ‎ ∴A‎1A3=，AA3=.‎ ‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4 ，∴A‎1A2∥A‎3A4.‎ 同理：A‎3A4∥A‎5A6，‎ ‎∴∠A=∠AA‎2A1=∠AA‎4A3=∠AA‎6A5，‎ ‎∴AA3=A‎3A4，AA5=A‎5A6‎ ‎ ∴a2=A‎3A4=AA3=，‎ ‎ a3=AA3+ A‎3A5=a2+ A‎3A5. ………………3分 ‎∵A‎3A5=a2，‎ ‎ ∴a3=A‎5A6=AA5=. ………………4分 方法二 ‎∵A A1=A‎1A2=A‎2A3=1，A‎1A2⊥A‎2A3，‎ ‎ ∴A‎1A3=，AA3=.‎ ‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4 ，∴A‎1A2∥A‎3A4.‎ 同理：A‎3A4∥A‎5A6.‎ ‎∴∠A‎2A3A4=∠A‎4A5A6=90°，∠A‎2A4A3=∠A‎4 A6A5，‎ ‎ ∴△A‎2A3A4∽△A‎4A5A6，‎ ‎ ∴，∴a3=. ………………4分 ‎ ………………5分 ‎（３） ………………6分 ‎ ………………7分 ‎ ………………8分 ‎（４）由题意得：‎ ‎ ∴. ………………10分