2018届高三数学一轮复习: 第10章 第3节 二项式定理

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2018届高三数学一轮复习: 第10章 第3节 二项式定理

第三节 二项式定理 ‎ [考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ ‎1.二项式定理 ‎(1)二项式定理:(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*);‎ ‎(2)通项公式:Tr+1=Can-rbr,它表示第r+1项;‎ ‎(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数C,C,…,C.‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎3.各二项式系数和 ‎(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和:C+C+C+…+C=2n.‎ ‎(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)Can-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.(  )‎ ‎(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(  )‎ ‎(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(  )‎ ‎(4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.(  )‎ ‎[解析] (1)错误.应为第k+1项.‎ ‎(2)错误.当n为偶数时,为中间一项;n为奇数时,为中间的两项.‎ ‎(3)正确.二项式系数只与n和项数有关.‎ ‎(4)错误.令x=1,可得a7+a6+…+a1+a0=27=128.‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.(教材改编)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=(  )‎ A.7    B.‎6 ‎ ‎ C.5    D.4‎ B [(x+1)n=(1+x)n=1+C+Cx2+…+Cxn.依题意,得C=15,解得n=6(n=-5舍去).]‎ ‎3.在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是(  )‎ A.-7 B.7‎ C.-28 D.28‎ B [由题意知+1=5,解得n=8,8的展开式的通项Tk+1=C8-kk ‎=(-1)k2k-8Cx8-k.‎ 令8-=0得k=6,则展开式中的常数项为(-1)626-8C=7.]‎ ‎4.(2016·北京高考)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)‎ ‎60 [依二项式定理,含x2的项为展开式的第3项.‎ ‎∴展开式中T3=C(-2x)2=60x2,则x2的系数为60.]‎ ‎5.(2017·济南模拟)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=________.‎ ‎-1 [(1+x)5=1+Cx+Cx2+Cx3+Cx4+Cx5.‎ ‎∴(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的项为(C+Ca)x2,‎ 依题意得10+5a=5,解得a=-1.]‎ 通项公式及其应用 ‎ (1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10    B.‎20 ‎ ‎ C.30    D.60‎ ‎(2)(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.‎ ‎(1)C (2)-2 [(1)法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,‎ 含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.‎ 其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC=30.故选C.‎ 法二:(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.‎ ‎(2)Tr+1=C·(ax2)5-rr=C·a5-rx10-r.令10-r=5,解得r=2.又展开式中x5的系数为-80,则有C·a3=-80,解得a=-2.]‎ ‎[规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.‎ ‎2.求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎[变式训练1] (1)(2017·东北四校联考)若n 的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于(  )‎ A.3 B.4‎ C.5 D.6‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)‎ ‎(1)C (2)10 [(1)二项展开式的通项 若Tr+1是常数项,则6n-=0,即n=r.‎ 又n∈N*,故n的最小值为5.‎ ‎(2)(2x+)5展开式的通项为Tr+1=C(2x)5-r()r=25-r·C·‎ 令5-=3,得r=4.‎ 故x3的系数为25-4·C=2C=10.]‎ 二项式系数与各项系数和 ‎ (1)(2017·武汉调研)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  ) ‎ ‎【导学号:01772387】‎ A.212    B.‎211 ‎ ‎ C.210    D.29‎ ‎(2)(2017·福州质检)若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4=________.‎ ‎(1)D (2)0 [(1)∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,‎ ‎∴C=C,解得n=10.‎ 从而C+C+C+…+C=210,‎ ‎∴奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.‎ ‎(2)令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(1-2)4=1.‎ 又令x=0,得a0=(1-0)4=1.‎ 因此a1+a2+a3+a4=0.]‎ ‎[迁移探究1] 若本例(2)中条件不变,问题变为“求a0+a2+a4的值”,则结果如何?‎ ‎[解] 在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,‎ 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1. ①4分 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=34. ②8分 由①+②,可得a0+a2+a4=(34+1)=41.12分 ‎[迁移探究2] 若将本例(2)变为“若(1-2x)2 016=a0+a1x+a2x2+…+a2 016x2 016(x∈R),则++…+的值为________.”‎ ‎-1 [令x=0,得a0=(1-0)2 016=1.‎ 令x=,则a0+++…+=0,‎ ‎∴++…+=-1.]‎ ‎[规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n,本题常因把“n的等量关系表示为C=C”,错求n=12;第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和.‎ ‎2.求解这类问题要注意:‎ ‎(1)区别二项式系数与展开式中项的系数,灵活利用二项式系数的性质;‎ ‎(2)根据题目特征,恰当赋值代换,常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1,-1.‎ ‎[变式训练2] (2015·全国卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.‎ ‎3 [设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.‎ 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①‎ 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②‎ ‎①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,∴a=3.]‎ 二项式定理的应用 ‎ (1)(2017·豫东名校模拟)设复数x=(i是虚数单位),则Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2 017=(  )‎ A.i B.-i C.-1+i D.-1-i ‎(2)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=(  )‎ A.0 B.1‎ C.11 D.12‎ ‎(1)C (2)D [(1)x==-1+i,‎ Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2 017‎ ‎=(1+x)2 017-1=i2 017-1=-1+i.‎ ‎(2)512 012+a=(52-1)2 012+a=‎ C·522 012-C·522 011+…+C·52·(-1)2 011+‎ C·(-1)2 012+a,‎ ‎∵C·522 012-C·522 011+…+C·52·(-1)2 011能被13整除.‎ 且512 012+a能被13整除,‎ ‎∴C·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除.‎ 因此a可取值12.]‎ ‎[规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透,命题角度新颖;将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数,体现数形结合和方程思想的应用.‎ ‎2.第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52-1)2 012,使得展开式中的每一项与除数13建立联系.‎ ‎3.运用二项式定理要注意两点:①余数的范围,a=cr+b,其中余数b∈[0,r),r是除数;②二项式定理的逆用.‎ ‎[变式训练3] ‎ 设a≠0,n是大于1的自然数,n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图1031所示,则a=________.‎ ‎ 【导学号:01772388】‎ 图1031‎ ‎3 [由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4).‎ 故a0=1,a1=3,a2=4.‎ 又n的通项公式Tr+1=Cr(r=0,1,2,…,n).‎ 故=3,=4,解得a=3.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.二项式定理(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律,一定要牢记通项Tr+1=Can-rbr是展开式的第r+1项,不是第r项.‎ ‎2.通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法).‎ ‎3.展开式的应用:(1)可求解与二项式系数有关的求值问题,常采用赋值法.(2)可证明整除问题(或求余数).(3)有关组合式的求值证明,常采用构造法.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.二项式的通项易误认为是第k项,实质上是第k+1项.‎ ‎2.(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不相同的,所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.‎ ‎3.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念,注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指C(k=0,1,…,n).‎
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