北师大版中考数学专题训练题

北师大版中考数学专题训练题

中考复习25题专题训练(含详细解答)‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．‎ ‎（1）求直线BC与抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；‎ ‎（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．‎ 解答： 解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，‎ 将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，‎ 得，解得，‎ 所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；‎ 将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，‎ 得，解得，‎ 所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；‎ ‎（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），‎ ‎∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，MN有最大值；‎ ‎（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，‎ ‎∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．‎ 解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，‎ ‎∴A（1，0），B（5，0），‎ ‎∴AB=5﹣1=4，‎ ‎∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，‎ ‎∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．‎ 设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．‎ ‎∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．‎ 过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．‎ ‎∵BC⊥BD，∠OBC=45°，‎ ‎∴∠EBD=45°，‎ ‎∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，‎ ‎∵B（5，0），‎ ‎∴E（﹣1，0），‎ 设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，‎ 将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1‎ ‎∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．‎ 解方程组，得，，‎ ‎∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．‎ ‎①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；‎ ‎②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；‎ ‎（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；‎ ‎②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．‎ 解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，‎ ‎∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，‎ ‎∵点A的坐标为（﹣3，0），‎ ‎∴点B的坐标为（1，0）；‎ ‎（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，‎ ‎∴=﹣1，解得b=2．‎ 将B（1，0）代入y=x2+2x+c，‎ 得1+2+c=0，解得c=﹣3．‎ 则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，‎ ‎∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．‎ 设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），‎ ‎∵S△POC=4S△BOC，‎ ‎∴×3×|x|=4××3×1，‎ ‎∴|x|=4，x=±4．‎ 当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；‎ 当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．‎ 所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；‎ ‎②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，‎ 得，解得，‎ 即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．‎ 设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），‎ QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，‎ ‎∴当x=﹣时，QD有最大值．‎ 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎3．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；‎ ‎（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．‎ ‎①求S与m的函数关系式；‎ ‎②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 综合题；压轴题．‎ 分析： （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；‎ ‎（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．‎ 解答： 解：（1）由题意可知：‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC ‎∵BC是定值，‎ ‎∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，‎ ‎∵点A、点B关于对称轴I对称，‎ ‎∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ‎∵AP=BP ‎∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ‎∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），‎ ‎∴AC=3，BC=；‎ 故△PBC周长的最小值为3+．‎ ‎（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）‎ ‎∵A（﹣3，0）‎ ‎∴直线AD的解析式为y=2x+6‎ ‎∵点E的横坐标为m，‎ ‎∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）‎ ‎∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）‎ ‎=﹣m2﹣4m﹣3‎ ‎∴S=S△DEF+S△AEF ‎=EF•GH+EF•AG ‎=EF•AH ‎=（﹣m2﹣4m﹣3）×2‎ ‎=﹣m2﹣4m﹣3；‎ ‎②S=﹣m2﹣4m﹣3‎ ‎=﹣（m+2）2+1；‎ ‎∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1‎ 此时点E的坐标为（﹣2，2）．‎ 点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；‎ ‎（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；‎ ‎（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）∵点A、B关于对称轴对称，‎ ‎∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ 则，‎ 解得，‎ 所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，‎ ‎∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=2，‎ 当x=2时，y=2﹣1=1，‎ ‎∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；‎ ‎（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，‎ 联立，‎ 消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，‎ ‎△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，‎ 即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，‎ 此时x=，y=﹣=﹣，‎ ‎∴点E的坐标为（，﹣），‎ 设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），‎ ‎∴AF=﹣1=，‎ ‎∵直线AC的解析式为y=x﹣1，‎ ‎∴∠CAB=45°，‎ ‎∴点F到AC的距离为×=，‎ 又∵AC==3，‎ ‎∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．‎ 点评： 本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．‎ ‎　‎ ‎5．（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 如解答图所示：‎ ‎（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；‎ ‎（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．‎ 解答： 解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．‎ ‎∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．‎ ‎∵在△AOB与△CDA中，‎ ‎∴△AOB≌△CDA（ASA）．‎ ‎∴CD=OA=1，AD=OB=2，‎ ‎∴OD=OA+AD=3，‎ ‎∴C（3，1）．‎ ‎∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，‎ ‎∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．‎ ‎∴S△ABC=AB2=．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），‎ ‎∴，‎ 解得k=﹣，b=2，‎ ‎∴y=﹣x+2．‎ 同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．‎ 如答图1所示，‎ 设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．‎ ‎△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．‎ 由题意得：S△CEF=S△ABC，‎ 即：EF•h=S△ABC，‎ ‎∴（﹣x）•（3﹣x）=×，‎ 整理得：（3﹣x）2=3，‎ 解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），‎ ‎∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．‎ ‎（3）存在．‎ 如答图2所示，‎ 过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．‎ 过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．‎ 过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，‎ ‎∴PH=BG=1，AH=CG=3，‎ ‎∴OH=AH﹣OA=2，‎ ‎∴P（﹣2，1）．‎ 抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．‎ ‎∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．‎ 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．‎ ‎　‎ ‎6．（2013•梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．‎ ‎（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 分析： （1）由抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h=1，k=2，则y=a（x﹣1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；‎ ‎（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；‎ ‎（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），‎ ‎∴y=a（x﹣1）2+2，‎ ‎∵抛物线经过点A（0，1），‎ ‎∴a（0﹣1）2+2=1，‎ ‎∴a=﹣1，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；‎ ‎（2）∵A（0，1），C（1，0），‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∴△OAC是等腰直角三角形．‎ 过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，‎ ‎∴l与抛物线的交点即为点P．‎ 如图，直线l的解析式为y=x，‎ 解方程组，‎ 得，（不合题意舍去），‎ ‎∴点P的坐标为（，）；‎ ‎（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．‎ 由（1）知，点C的坐标为（1，0）．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．‎ 设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．‎ 解方程组，‎ 代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，‎ ‎∵此点与AC距离最远，‎ ‎∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，‎ 即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根．‎ 整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，‎ ‎△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=．‎ 则x2﹣3x+﹣1=0，解之得x1=x2=，此时y=．‎ ‎∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎7．（2013•威海）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；‎ ‎（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　（2，﹣1）　．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 分析： （1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．由韦达定理易求b、c的值；‎ ‎（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可；‎ ‎（3）如图2，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．‎ 解答： 解：（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=2．‎ ‎∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，‎ ‎∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．‎ 由韦达定理，得 ‎1+3=﹣b，1×3=c，‎ ‎∴b=﹣4，c=3，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．‎ 由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），‎ ‎∴C（0，3），‎ ‎∴BC==3，AC==．‎ ‎∵点A、B关于对称轴x=2对称，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∴PA+PC=PB+PC．‎ 此时，PB+PC=BC．‎ ‎∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC．‎ ‎∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3+；‎ ‎（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1）．‎ 故答案是：（2，﹣1）．‎ 点评： 本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣﹣两点间距离最短，菱形的性质．解（1）题时，也可以把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求△ABC的面积；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 综合题；压轴题．‎ 分析： （1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；‎ ‎（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；‎ ‎（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．‎ 解答： 解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，‎ ‎∴可得A（1，0），B（0，﹣3），‎ 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，‎ 解得：．‎ ‎∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．‎ ‎（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，‎ 解得：x1=1，x2=﹣3，‎ 则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，‎ 故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．‎ ‎（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：‎ 讨论：‎ ‎①当MA=AB时，，‎ 解得：，‎ ‎∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；‎ ‎②当MB=BA时，，‎ 解得：M3=0，M4=﹣6，‎ ‎∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），‎ ‎③当MB=MA时，，‎ 解得：m=﹣1，‎ ‎∴M5（﹣1，﹣1），‎ 答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．‎ 点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ ‎9．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）‎ ‎（1）求该抛物线的解析式．‎ ‎（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．‎ ‎（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；‎ ‎（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．‎ 解答： 解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，‎ 得，‎ 解得 ‎∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．‎ ‎（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，‎ ‎∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．‎ 设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．‎ ‎∵PE∥AC，‎ ‎∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，‎ ‎∴△PBE∽△ABC，‎ ‎∴，即，‎ 化简得：S△PBE=（2﹣x）2．‎ S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2‎ ‎=x2﹣x+‎ ‎=（x+1）2+3‎ ‎∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．‎ ‎（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：‎ ‎（I）当DM=DO时，如答图①所示．‎ DO=DM=DA=2，‎ ‎∴∠OAC=∠AMD=45°，‎ ‎∴∠ADM=90°，‎ ‎∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（II）当MD=MO时，如答图②所示．‎ 过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，‎ ‎∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，‎ 又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，‎ ‎∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；‎ ‎（III）当OD=OM时，‎ ‎∵△OAC为等腰直角三角形，‎ ‎∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．‎ ‎∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．‎ 综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．‎ 点评： 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．‎ ‎（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；‎ ‎（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；‎ ‎（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；‎ ‎（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．‎ 解答： 解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）‎ ‎∴由此得 ，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，‎ ‎∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）‎ ‎∴2k﹣=0，‎ 解得：k=，‎ ‎∴直线的解析式是 y=x﹣，‎ ‎（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）‎ ‎∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，‎ 解方程 得：，，‎ ‎∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），‎ ‎∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，‎ 由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6‎ 解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，‎ 符合﹣8＜x＜2，‎ 当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，‎ 当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，‎ 因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；‎ ‎（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=‎ ‎∴△CDE的周长是24，‎ ‎∵PM∥y轴，‎ ‎∵∠PMN=∠DCE，‎ ‎∵∠PNM=∠DEC，‎ ‎∴△PMN∽△CDE，‎ ‎∴=，即=，‎ 化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣x+，‎ l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴l有最大值，‎ 当x=﹣3时，l的最大值是15．‎ 点评： 此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2013•绥化）如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，解答下列问题；‎ ‎①求出△BCE的面积；‎ ‎②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；‎ ‎（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．‎ 解答： 解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2=（﹣2﹣2）（﹣2+a），‎ 解得：a=4；‎ ‎（2）①由（1）抛物线解析式y=（x﹣2）（x+4），‎ 当y=0时，得：0=（x﹣2）（x+4），‎ 解得：x1=2，x2=﹣4，‎ ‎∵点B在点C的左侧，‎ ‎∴B（﹣4，0），C（2，0），‎ 当x=0时，得：y=﹣2，即E（0，﹣2），‎ ‎∴S△BCE=×6×2=6；‎ ‎②由抛物线解析式y=（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x=﹣1，‎ 根据C与B关于抛物线对称轴直线x=﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，‎ 设直线BE解析式为y=kx+b，‎ 将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BE解析式为y=﹣x﹣2，‎ 将x=﹣1代入得：y=﹣2=﹣，‎ 则H（﹣1，﹣）．‎ 点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2013•苏州）如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）b=　+c　，点B的横坐标为　﹣2c　（上述结果均用含c的代数式表示）；‎ ‎（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．‎ ‎①求S的取值范围；‎ ‎②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有　11　个．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•xB=，即xB=﹣2c；‎ ‎（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=﹣x+c，求出c=﹣2，进而得到抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2），则点F坐标为（x，x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣x2+2x，S=PF•OB=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5；‎ ‎②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC=，得出满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜‎ ‎4时，由于S=﹣x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），‎ ‎∴0=×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，‎ ‎∴b=+c，‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧），‎ ‎∴﹣1与xB是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，‎ ‎∴﹣1•xB=，‎ ‎∴xB=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；‎ ‎（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，‎ ‎∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+c，‎ ‎∵B（﹣2c，0），‎ ‎∴﹣2kc+c=0，‎ ‎∵c≠0，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x+c．‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，‎ ‎∵点A的坐标为（﹣1，0），‎ ‎∴×（﹣1）+m=0，解得m=，‎ ‎∴直线AE得到解析式为y=x+．‎ 由，解得，，‎ ‎∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．‎ ‎∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），‎ ‎∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．‎ ‎∵C，D，E三点在同一直线上，‎ ‎∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，‎ ‎∴2c2+3c﹣2=0，‎ ‎∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，‎ ‎∴b=+c=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（3）①设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2）．‎ ‎∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），‎ ‎∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x﹣2．‎ 分两种情况：‎ ‎（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．‎ ‎∵S△ACB=AB•OC=5，‎ ‎∴0＜S＜5；‎ ‎（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．‎ ‎∴点F坐标为（x，x﹣2），‎ ‎∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x，‎ ‎∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，‎ ‎∴当x=2时，S最大值=4，‎ ‎∴0＜S≤4．‎ 综上可知0＜S＜5；‎ ‎②∵0＜S＜5，S为整数，‎ ‎∴S=1，2，3，4．‎ 分两种情况：‎ ‎（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．‎ ‎∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），‎ ‎∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC=．‎ ‎∵S=BC•h，∴h===S．‎ 如果S=1，那么h=×1=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；‎ 如果S=2，那么h=×2=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；‎ 如果S=3，那么h=×3=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；‎ 如果S=4，那么h=×4=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；‎ 即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；‎ ‎（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=﹣x2+4x．‎ 如果S=1，那么﹣x2+4x=1，即x2﹣4x+1=0，‎ ‎∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；‎ 如果S=2，那么﹣x2+4x=2，即x2﹣4x+2=0，‎ ‎∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；‎ 如果S=3，那么﹣x2+4x=3，即x2﹣4x+3=0，‎ ‎∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；‎ 如果S=4，那么﹣x2+4x=4，即x2﹣4x+4=0，‎ ‎∵△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；‎ 即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；‎ 综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．‎ 故答案为+c，﹣2c；11．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；‎ ‎（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．‎ 解答： 解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），‎ 将C点坐标（0，﹣3）代入，得：‎ a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，‎ 则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，‎ 所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得 ‎，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．‎ 设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），‎ ‎∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．‎ ‎∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，‎ ‎∴S=PN•OA ‎=×3（﹣x2﹣3x）‎ ‎=﹣（x+）2+，‎ ‎∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；‎ ‎（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：‎ ‎∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，‎ ‎∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），‎ ‎∵A（﹣3，0），‎ ‎∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．‎ 设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：‎ ‎①当A为直角顶点时，如图3①，‎ 由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，‎ 解得t=，‎ 所以点M的坐标为（0，）；‎ ‎②当D为直角顶点时，如图3②，‎ 由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，‎ 解得t=﹣，‎ 所以点M的坐标为（0，﹣）；‎ ‎③当M为直角顶点时，如图3③，‎ 由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，‎ 解得t=﹣1或﹣3，‎ 所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；‎ 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．‎ 点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2013•宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可；‎ ‎（2）首先求得点B的坐标，然后分CM=BM时和BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可．‎ 解答： 解：（1）设抛物线的解析式 把A（2，0）C（0，3）代入得：‎ 解得：‎ ‎∴‎ 即 ‎（2）由y=0得 ‎ ‎∴x1=2，x2=﹣3‎ ‎∴B（﹣3，0）‎ ‎①CM=BM时 ‎∵BO=CO=3 即△BOC是等腰直角三角形 ‎∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形 ‎∴M点坐标（0，0）‎ ‎②BC=BM时 在Rt△BOC中，BO=CO=3，‎ 由勾股定理得BC=‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴BM=‎ ‎∴M点坐标（‎ 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎15．（2013•茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；‎ ‎（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）先把点B的坐标代入y=ax2﹣x+2，可求得a的值，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）先由抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+2，求出与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点C的坐标，再由△AMC与△ABC的面积相等，得出这两个三角形AC边上的高相等，又由点B与点M都在AC的下方，得出BM∥AC，则点M既在过B点与AC平行的直线上，又在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，所以先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设直线BM的解析式为y=x+n，将点B（3，0）代入，求出n的值，得到直线BM的解析式为y=x﹣1，然后解方程组，即可求出点M的坐标；‎ ‎（3）连接BC并延长，交抛物线的对称轴x=﹣于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x=﹣代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0），‎ ‎∴9a﹣×3+2=0，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+2，‎ ‎∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，‎ ‎∴顶点坐标为（﹣，）；‎ ‎（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣，‎ 与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），‎ ‎∴点A的坐标为（﹣6，0）．‎ 又∵当x=0时，y=2，‎ ‎∴C点坐标为（0，2）．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2．‎ ‎∵S△AMC=S△ABC，‎ ‎∴点B与点M到AC的距离相等，‎ 又∵点B与点M都在AC的下方，‎ ‎∴BM∥AC，‎ 设直线BM的解析式为y=x+n，‎ 将点B（3，0）代入，得×3+n=0，‎ 解得n=﹣1，‎ ‎∴直线BM的解析式为y=x﹣1．‎ 由，解得，，‎ ‎∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）；‎ ‎（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：‎ ‎∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，‎ ‎∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．‎ 连接BC并延长，交直线x=﹣于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．‎ 设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，‎ 得，，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，‎ 当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+2=3，‎ ‎∴点N的坐标为（﹣，3），d的最大值为BC==．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，轴对称的性质等知识，难度适中．其中第（2）小题根据三角形的面积公式及平行线的性质得出BM∥AC是关键，第（3）小题根据轴对称及三角形三边关系定理确定点N的位置是关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；‎ ‎（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；‎ ‎（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．‎ 解答： 解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），‎ 可得：，‎ 解得：，‎ 故所求抛物线解析式为y=﹣x2﹣x；‎ ‎（2）存在．理由如下：‎ 如答图①所示，‎ ‎∵y=﹣x2﹣x=﹣（x+1）2+，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=﹣1．‎ ‎∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；‎ ‎∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，‎ ‎∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，‎ ‎△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，‎ ‎∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣，‎ 当x=﹣1时，y=﹣，‎ ‎∴所求点C的坐标为（﹣1，﹣）；‎ ‎（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），‎ 则y=﹣x2﹣x ①‎ 如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=﹣x，PG=﹣y，‎ 由题意可得：S△PAB=S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP ‎=（AF+BE）•FE﹣AF•FP﹣PE•BE ‎=（y++y）（1+2）﹣y•（2+x）﹣（1﹣x）（+y）‎ ‎=y+x+ ②‎ 将①代入②得：S△PAB=（﹣x2﹣x）+x+‎ ‎=﹣x2﹣x+‎ ‎=﹣（x+）2+‎ ‎∴当x=﹣时，△PAB的面积最大，最大值为，‎ 此时y=﹣×+×=，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，）．‎ 点评： 本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎17．（2013•六盘水）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．‎ ‎（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．‎ ‎（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．‎ ‎（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）在Rt△AOB中，根据AO的长和∠BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．‎ ‎（2）求出直线BO的解析式，进而利用x=求出y的值，即可得出D点坐标；‎ ‎（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作MF⊥CD（即抛物线对称轴）于F，过P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CF、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．‎ 解答： 解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；‎ ‎∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，‎ ‎∴OB==4，AB=2；‎ 由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，‎ ‎∴∠COH=60°，OH=，CH=3；‎ ‎∴C点坐标为（，3）．‎ ‎∵O点坐标为：（0，0），‎ ‎∴抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），‎ ‎∵图象经过C（，3）、A（2，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得；‎ ‎∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2x．‎ ‎（2）∵AO=2，AB=2，‎ ‎∴B点坐标为：（2，2），‎ ‎∴设直线BO的解析式为：y=kx，‎ 则2=2k，‎ 解得：k=，‎ ‎∴y=x，‎ ‎∵y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=﹣=﹣=，‎ ‎∴将两函数联立得出：y=×=1，‎ ‎∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为：（，1）；‎ ‎（3）存在．‎ ‎∵y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），‎ 即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；‎ ‎∵∠BOA=30°，‎ ‎∴ON=t，‎ ‎∴P（t，t）；‎ 作PQ⊥CD，垂足为Q，MF⊥CD，垂足为F；‎ 把x=t代入y=﹣x2+2x，‎ 得y=﹣3t2+6t，‎ ‎∴M（t，﹣3t2+6t），F（，﹣3t2+6t），‎ 同理：Q（，t），D（，1）；‎ 要使PD=CM，只需CF=QD，‎ 即3﹣（﹣3t2+6t）=|t﹣1|，‎ 解得t=，t=1（舍），t=，‎ ‎∴P点坐标为（，），或（，），‎ ‎∴存在满足条件的P点，使得PD=CM，此时P点坐标为（，）或（，）．‎ 点评： 此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识点，表示出P点坐标利用CF=QD求出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2013•临沂）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；‎ ‎（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题；探究型．‎ 分析： （1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；‎ ‎（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；‎ ‎（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．‎ 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），‎ ‎∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；‎ ‎（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，‎ ‎∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，‎ 连接BC，如图1所示，‎ ‎∵B（5，0），C（0，﹣），‎ ‎∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣，‎ 当x=2时，y=1﹣=﹣，‎ ‎∴P（2，﹣）；‎ ‎（3）存在．‎ 如图2所示，‎ ‎①当点N在x轴下方时，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），‎ ‎∴N1（4，﹣）；‎ ‎②当点N在x轴上方时，‎ 如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，‎ 在△AN2D与△M2CO中，‎ ‎∴△AN2D≌△M2CO（ASA），‎ ‎∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．‎ ‎∴x2﹣2x﹣=，‎ 解得x=2+或x=2﹣，‎ ‎∴N2（2+，），N3（2﹣，）．‎ 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．‎ 点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎19．（2013•汕头）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．‎ ‎（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；‎ ‎（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 分析： （1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；‎ ‎（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；‎ ‎（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．‎ 解答： 解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），‎ ‎∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，‎ 解得：m=±1，‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；‎ ‎（2）∵m=2，‎ ‎∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），‎ 当x=0时，y=3，‎ ‎∴C点坐标为：（0，3）；‎ ‎（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，‎ 过点D作DE⊥y轴于点E，‎ ‎∵PO∥DE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：PO=，‎ ‎∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．‎ 点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（2013•赤峰）如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．‎ ‎（1）写出C，D两点的坐标；‎ ‎（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；‎ ‎（3）证明AB⊥BE．‎ 考点： 二次函数综合题；旋转的性质．2364070‎ 分析： （1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；‎ ‎（2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；‎ ‎（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．‎ 解答： 解：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，‎ ‎∴△ODC≌△OAB，‎ ‎∴OC=OB=2，OD=OA=6，‎ ‎∴C（2，0），D（0，6）；‎ ‎（2）∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），‎ ‎∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），‎ ‎∵D（0，6）在抛物线上，‎ ‎∴6=﹣12a，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x2﹣2x+6，‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，‎ ‎∴顶点E的坐标为（﹣2，8）；‎ ‎（3）连接AE．‎ ‎∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），‎ ‎∴AB2=62+22=40，BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80，‎ ‎∴AB2+BE2=AE2，‎ ‎∴AB⊥BE．‎ 点评： 本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便．‎ ‎　‎ ‎21．（2011•湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；‎ ‎（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式；‎ ‎（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证；‎ ‎（3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB平行且等于EF，那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点的坐标，然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的F点．‎ 解答： 解：（1）由题意得，‎ 解得：b=2，c=﹣3，‎ 则解析式为：y=x2+2x﹣3；‎ ‎（2）由题意结合图形 则解析式为：y=x2+2x﹣3，‎ 解得x=1或x=﹣3，‎ 由题意点A（﹣3，0），‎ ‎∴AC=，CD=，AD=，‎ 由AC2+CD2=AD2，‎ 所以△ACD为直角三角形；‎ ‎（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∵点E在抛物线的对称轴上，‎ ‎∴点E的横坐标为﹣1，‎ 当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，‎ ‎∴F的横坐标为3或﹣5，‎ 把x=3或﹣5分别代入y=x2+2x﹣3，得到F的坐标为（3，12）或（﹣5，12）；‎ 当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，‎ ‎∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，‎ ‎∴F（﹣1，﹣4）．‎ ‎∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（﹣5，12），（﹣1，﹣4）．‎ 点评： 本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎22．如图，直线AC分别交x轴y轴于点A（8，0）、C，抛物线 y=﹣x2+bx+c（a≠0）经过A，B两点；且OB=OC=OA，一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，交抛物线于点P，连接PB、设直线l移动的时间为t秒，‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）当0＜t＜4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在直线l的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 分析： （1）先由点A（8，0）得出OA=8，再由OB=OA=4，确定点B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，即可求出抛物线解析式；‎ ‎（2）连接OP，则S四边形PBCA=S△BOP+S△AOP+S△AOC，再由函数的性质可求得S的最大值；‎ ‎（3）分两种情况讨论：①以BP为平行四边形的一边；②以BP为平行四边形的对角线．‎ 解答： 解：（1）∵点A（8，0），‎ ‎∴OA=8，‎ ‎∴OB=OC=OA=4，‎ ‎∴B的坐标为（0，4），‎ 将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，‎ 得，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）当0＜t＜4时，点P在第一象限，设P（2t，y），‎ 把x=2t代入y=﹣x2+x+4，得y=﹣t2+3t+4，‎ 所以P（2t，﹣t2+3t+4）．‎ 如图，连接OP．‎ 则S四边形PBCA=S△BOP+S△AOP+S△AOC ‎=×4×2t+×8×（﹣t2+3t+4）+×4×8‎ ‎=﹣4t2+16t+32（ 0＜t＜4）．‎ ‎∵﹣4t2+16t+32=﹣4（t2﹣4t）+32=﹣4（t﹣2）2+48，‎ ‎∴当t=2时，四边形PBCA的面积最大，最大面积为48；‎ ‎（3）①如图，以BP为平行四边形的一边时，BP∥AQ，BP=AQ．‎ ‎∵A（8，0），C（0，﹣4），‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x﹣4，‎ 设直线BP的解析式为y=x+m，将B（0，4）代入，‎ 解得m=4，‎ 即直线BP的解析式为y=x+4．‎ 解方程组，‎ 解得，‎ ‎∴P（4，6），‎ ‎∵B（0，4），BP∥AQ，BP=AQ，‎ ‎∴Q1（4，﹣2），Q2（12，2）；‎ ‎②如图，当以BP为平行四边形的对角线时，‎ AB∥PQ，AB=PQ．设P（x，y），可得Q（x﹣8，y+4），‎ 点Q在直线AC上，yAC=x﹣4，‎ 把Q（x﹣8，y+4）代入 yAC=x﹣4，解得：y=x﹣12，‎ 又∵y=﹣x2+x+4，‎ ‎∴﹣x2+x+4=x﹣12，‎ 解得x1=2+2，x2=2﹣2（不合题意，舍去）．‎ ‎∴Q3（2+2，﹣7）．‎ 综上所述：P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为：Q1（4，﹣2），Q2（12，2），Q3（2+2，﹣7）．‎ 点评： 此题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及平行四边形的判定，有一定难度．‎ ‎　‎ ‎23．已知抛物线：‎ ‎（1）求抛物线y1的顶点坐标．‎ ‎（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．‎ ‎（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 分析： （1）利用配方法求出抛物线y1的顶点坐标即可；‎ ‎（2）直接利用二次函数平移的规律，左加右减，上加下减，解答即可；‎ ‎（3）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入解析式，解方程解决问题．‎ 解答： 解：（1）依题意把抛物线：‎ y1=﹣x2+2x ‎=﹣（x2﹣4x）‎ ‎=﹣[（x﹣2）2﹣4]‎ ‎=﹣（x﹣2）2+2，‎ 故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；‎ ‎（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，‎ 整理得y2=﹣x2+4x﹣5；‎ ‎（3）符合条件的N点存在．‎ 如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，‎ ‎∴∠PAO=∠MBN=90°，‎ 若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，‎ ‎∴∠POA=∠BMN，‎ 在△POA和△NMB中 ‎∴△POA≌△NMB（AAS），‎ ‎∴PA=BN，‎ ‎∵点P的坐标为（4，3），‎ ‎∴NB=PA=3，‎ ‎∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点 ‎∴符合条件的N点只能在x轴下方，‎ ‎①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3‎ 解得：x1=2﹣，x2=2+，‎ ‎②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3‎ 解得：x3=4﹣2或x4=4+2‎ 故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．‎ 点评： 此题考查了利用平移的规律求二次函数顶点式解析式，利用平行四边形的性质、三角形的全等与性质以及二次函数图象上点的坐标特征解决问题．‎ ‎　‎ ‎24．（2010•盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．‎ ‎（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x2+bx+c得到b，c的关系式；又因为抛物线的对称轴x=2，可求出b的值，进而求出求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）分别以AC，AB为对角线各可求得一点，再以AC，AB为边求得一点；‎ ‎（3）此小题要分类讨论：当分的图象左边部分是三角形，右边部分是四边形或当分的图象左边部分是四边形，右边部分是三角形时分别计算满足题意的Q值即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交点B（3，0），对称轴x=2，‎ ‎∴，‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的函数关系式为y=x2﹣4x+3，‎ 令y=0，则x2﹣4x+3=0，‎ 解得：x1=1，x2=3，‎ ‎∴抛物线与x轴另一个交点A的坐标（1，0）；‎ ‎（2）存在，‎ 满足条件的点P有3个，分别为（﹣2，3），（2，3），（4，﹣3）．‎ ‎（3）存在，‎ ‎①当分的图象左边部分是三角形，右边部分是四边形，‎ 当x=0时，y=x2﹣4x+3=3，‎ ‎∴点C的坐标为（0，3），‎ 过点CQ的直线关系式y=﹣9x+3‎ ‎∴‎ 解得：，‎ ‎∴Q（﹣5，48）；‎ ‎②当分的图象左边部分是四边形，右边部分是三角形时，‎ 过点CQ的直线关系式y=﹣x+3，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴Q（，﹣），‎ 综上所述符合条件的Q有两个坐标分别是（﹣5，48）；（，﹣）．‎ 点评： 此题考查了二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．‎ ‎　‎ ‎25．（2013•龙岗区模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．‎ ‎（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；‎ ‎（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；‎ ‎（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．‎ 解答： 解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，‎ 可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），‎ 又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，‎ 得，‎ 解得 所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；‎ ‎（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：‎ 由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，‎ ‎∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，‎ 则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，‎ ‎∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；‎ ‎（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：‎ ‎∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），‎ ‎∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，‎ 过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，‎ 这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+，x2=2﹣‎ ‎∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．‎ 点评： 本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．‎ ‎　‎ ‎26．（2012•路北区一模）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及k值；‎ ‎（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；‎ ‎（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；‎ ‎（4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 分析： （1）根据抛物线的顶点式即可得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，然后把C点坐标代入解析式可求出k=﹣4；‎ ‎（2）令y=0得到（x+1）2﹣4=0，解得x1=1，x2=﹣3，可确定A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），再利用待定系数法确定直线AC的关系式为y=﹣x﹣3，由于使得PA+PC的值最小的点P为直线AC与对称轴的交点，把x=﹣1代入y=﹣x﹣3即可确定P点坐标；‎ ‎（3）连接OM，设M点坐标为（x，（x+1）2﹣4），利用S四边形AMCB=S△AMO+S△CMO+S△CBO可得到S四边形AMCB=﹣x2﹣x+6，配方得到S=﹣（x+）2+，然后根据二次函数的最值问题得到当x=﹣时，S最大，最大值为；同时可得到M点坐标；‎ ‎（4）讨论：当以AB为对角线，利用EA=EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE为菱形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到EF=AB=4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点的纵坐标．‎ 解答： 解：（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，‎ 把C（0，﹣3）代入y=（x+1）2+k得﹣3=1+k，‎ ‎∴k=﹣4；‎ ‎（2）连接AC，交对称轴于点P，如图1，‎ 对于y=（x+1）2﹣4，令y=0，则（x+1）2﹣4=0，解得x1=1，x2=﹣3，‎ ‎∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），‎ 设直线AC的关系式为：y=mx+b，‎ 把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y=m x+b得，解得，‎ ‎∴直线AC的关系式为y=﹣x﹣3，‎ 当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，‎ ‎∴P点坐标为（﹣1，﹣2）；‎ ‎（3）连接OM，如图1，设M点坐标为（x，（x+1）2﹣4）‎ S四边形AMCB=S△AMO+S△CMO+S△CBO=×AO×|ym|+×CO×|xm|+×OC×BO ‎=[4﹣（x+1）2]+×3×（﹣x）+×3×1‎ ‎=﹣x2﹣x+6‎ ‎=﹣（x+）2+，‎ 当x=﹣时，S最大，最大值为；‎ 此时M点坐标为（﹣，﹣）；‎ ‎（4）存在．点F的坐标为（﹣1，﹣4）、（3，12）、（﹣5，12）．‎ 当以AB为对角线，如图2，‎ ‎∵四边形AFBE为平行四边形，‎ 而EA=EB，‎ ‎∴四边形AFBE为菱形，‎ ‎∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，‎ ‎∴F点坐标为（﹣1，﹣4）；‎ 当以AB为边时，如图3，‎ ‎∵四边形AFBE为平行四边形，‎ ‎∴EF=AB=4，即F2E=4，F1E=4，‎ ‎∴F1的横坐标为3，F2的横坐标为﹣5，‎ 对于y=（x+1）2﹣4，‎ 当x=3时，y=16﹣4=12；‎ 当x=﹣5时，y=16﹣4=12，‎ ‎∴F点坐标为（3，12）或（﹣5，12）．‎ 点评： 本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x﹣）2+，抛物线的对称轴为x=﹣，当a＞0，y最小值=；当a＜0，y最，大值=；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质要熟练运用．‎ ‎　‎ ‎27．已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）‎ ‎（1）求A、B、C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，使△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）根据比例设OA=k，OB=3k，OC=3k，然后表示出AB=4k，再利用△ABC的面积列式求出k，即可得到点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）利用待定系数法求二次函数解析式解答；‎ ‎（3）根据平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大，先求出直线BC的解析式为y=﹣x+3，再设出平行于直线BC的直线的解析式y=﹣x+b，然后与抛物线联立，消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出b值，再求出点P的坐标，过点P作PD⊥x轴于D，根据S△BCP=S梯形ODPC+S△PBD﹣S△OBC列式计算即可得解．‎ 解答： 解：（1）∵OA：OB：OC=1：3：3，‎ ‎∴设OA=k，OB=3k，OC=3k，‎ 则AB=OA+OB=k+3k=4k，‎ S△ABC=×4k•3k=6，‎ 解得k=1，‎ ‎∴OA=1，OB=3，OC=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；‎ ‎（2）把点A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（3）根三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大，‎ ‎∵B（3，0），C（0，3），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，‎ 设与直线BC平行的直线为y=﹣x+b，‎ 联立，‎ 消掉y得，x2﹣3x+b﹣3=0，‎ ‎△=（﹣3）2﹣4×1×（b﹣3）=0，‎ 即b=时，直线与抛物线只有一个交点，△BCP面积最大，‎ 此时，x=﹣=，‎ y=﹣+=，‎ 所以，点P的坐标为（，），‎ 过点P作PD⊥x轴于D，‎ 则S△BCP=S梯形ODPC+S△PBD﹣S△OBC ‎=×（3+）×+×（3﹣）×﹣×3×3‎ ‎=+﹣‎ ‎=．‎ 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了三角形的面积，待定系数法求二次函数解析式，（1）利用“设k法”求解更加简便，（3）先判断出过平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP的面积最大是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求直线BC的函数解析式；‎ ‎（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析： （1）已知了抛物线上三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）已知了B、C的坐标可用待定系数法求出直线BC的解析式．‎ ‎（3）由于三角形ABC和三角形PAB的面积相等，根据等底三角形的面积比等于高的比，可得出P点纵坐标的绝对值．可将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．‎ ‎（4）本题分三种情况，如下图：‎ ‎①OQ=QB，此时Q在OB的垂直平分线上，因此Q点横坐标为B点横坐标的一半，然后可代入直线BC的解析式中求出Q点坐标．‎ ‎②OQ=OB，此时可根据直线BC的解析式设出Q点坐标，然后用坐标系两点间距离公式表示出OQ的长，然后根据OB的长求出Q点坐标．‎ ‎③OB=BQ，解法同②．‎ 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），‎ 已知抛物线过C（0，3），则有：‎ ‎3=a（0+1）（0﹣4），a=﹣‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3‎ ‎（2）设直线BC的解析式为y=kx+3，‎ 已知直线BC过B（4，0），则有：‎ ‎4k+3=0，k=﹣‎ ‎∴直线BC的函数解析式为y=x+3‎ ‎（3）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积 ‎∵△ABC的底边AB上的高为3‎ 设△PAB的高为h，则|h|=3，则点P的纵坐标为3或﹣3‎ ‎∴当3=﹣x2+x+3时，‎ 得x=0，x=3；‎ ‎∴点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C点重合，故舍去．‎ 当﹣3=﹣x2+x+3，‎ 得x=，x=‎ ‎∴点P的坐标为：P1（3，3），P2（，﹣3），P3（，﹣3）‎ ‎（4）Q1（2，），Q2（，），Q3（，），Q4（，）．‎ 点评： 本题考查了一次函数及二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．‎ ‎　‎ ‎29．已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；‎ ‎（2）连结CA，CB，求△ABC的面积；‎ ‎（3）点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．‎ ‎①求线段PD的最大值，并求出此时P点的坐标．‎ ‎②是否存在点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，将B（0，3）代入，即可求出抛物线的解析式；再将y=0代入，求出x的值，得到A点坐标，然后根据勾股定理即可求出线段AB的长度；‎ ‎（2）过点C作y轴的平行线，交AB于点E，将x=1代入直线AB的解析式求出E点纵坐标，再求出CE的长，根据三角形面积公式可知△ABC的面积=CE•OA；‎ ‎（3）设P点横坐标为m，用含m的代数式分别表示P、D的坐标．‎ ‎①先由PD=yP﹣yD，将PD的长表示为m的二次函数，再根据二次函数的性质，即可求出PD的最大值及此时P点的坐标；‎ ‎②由S△PAB=PD•OA=﹣m2+m，根据S△PAB=S△CAB，列出方程﹣m2+m=，整理得2m2﹣6m+5=0，由于判别式△＜0，所以m无实数根，从而得出不存在点P，能够使S△PAB=S△CAB．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为C（1，4），‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，‎ 将B（0，3）代入，得a+4=3，‎ 解得a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4或y=﹣x2+2x+3；‎ 当y=0时，﹣（x﹣1）2+4=0，‎ 解得x=3或x=﹣1，‎ ‎∴A点坐标为（3，0）．‎ 在△OAB中，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=3，‎ ‎∴AB==3；‎ ‎（2）如图，过点C作y轴的平行线，交AB于点E．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵A（3，0），B（0，3），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+3，‎ 当x=1时，y=﹣1+3=2，‎ ‎∴E点坐标为（1，2），‎ ‎∴CE=4﹣2=2，‎ ‎∴△ABC的面积=CE•OA=×2×3=3；‎ ‎（3）设P点横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+3），D（m，﹣m+3），0＜m＜3．‎ ‎①∵PD=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，PD有最大值，此时P点的坐标为（，）；‎ ‎②∵S△PAB=PD•OA=（﹣m2+3m）×3=﹣m2+m，S△CAB=×3=，‎ ‎∴当S△PAB=S△CAB时，﹣m2+m=，‎ 整理，得2m2﹣6m+5=0，‎ ‎∵△=36﹣4×2×5=﹣4＜0，‎ ‎∴m无实数根，即不存在点P，能够使S△PAB=S△CAB．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，二次函数的性质，线段的长度、三角形的面积求法．综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）‎ ‎（1）求A、B、C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．2364070‎ 专题： 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析： （1）本题可根据OA、OB、OC的比例关系，设出这三条线段的长，然后根据△ABC的面积求出OA、OB、OC的长，也就得出了A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）可根据（1）得出的A、B、C三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）本题要分两种情况进行讨论：‎ ‎①当M在x轴上方时，平行四边形以AC或BC为对角线．那么M点的坐标可用C的坐标向左或向右平移AB个单位来得出．‎ ‎②当M在x轴下方时，平行四边形以AB为对角线．可通过构建全等三角形来求M点的坐标，过M作MN⊥AB于N，‎ 那么△MNB≌△COA，可据此来求出M点的坐标；‎ ‎（4）如果要△PBC的面积最大，那么P到AB的距离就要最大，因此P点必在与BC平行且只与抛物线有一个交点的直线上，设这条直线为PE（E在x轴上），可设出直线PE的函数解析式（其斜率与直线BC相同），然后联立抛物线的解析式可得出一个关于x的方程，由于这两个函数只有一个交点，因此方程的△=0，由此可求出直线PE的解析式．进而可求出P点的坐标．进而可求出△BCP的面积．‎ 解答： 解：‎ ‎（1）依题意，设OA=k，OB=3k，OC=3k（k＞0）‎ ‎∴A（﹣k，0）、B（2k，0），C（0，3k）‎ ‎∴AB=4k，OC=3k S△OAP=AB．OC=4k．3k=6‎ ‎∴k=1‎ ‎∴点A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）；‎ ‎（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）‎ ‎∵图象过A（﹣1，0）、B（3，0）‎ ‎∴y=a（x+1）（x﹣3）‎ ‎∵图象过C（0，3）‎ ‎∴a=﹣1‎ ‎∴y=﹣（x+1）（x﹣3）‎ 即∴y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（3）存在．‎ 理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．‎ ‎①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．‎ 由（2）知，AB=4，‎ ‎∴|x|=4，y=OC=3．‎ ‎∴x=±4．‎ ‎∴点M的坐标为M（4，3）或（﹣4，3）．‎ ‎②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．‎ 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．‎ ‎∵四边形AMBC是平行四边形，‎ ‎∴AC=MB，且AC∥MB．‎ ‎∴∠CAO=∠MBN．‎ ‎∴△AOC≌△BNM．‎ ‎∴BN=AO=1，MN=CO=3．‎ ‎∵OB=3，‎ ‎∴ON=3﹣1=2．‎ ‎∴点M的坐标为M（2，﹣3）‎ 综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．M1（4，3）或M2（﹣4，3）或M3（2，﹣3）；‎ ‎（4）若存在点P使△BCP的面积最大，则点P在与直线BC平行且和抛物线只有一个交点的直线PE上，设PE与x轴相交于点E，‎ 直线BC为y=﹣x+3‎ ‎∴设直线PE为y=﹣x+b（如图）．‎ ‎∴．‎ ‎∴﹣x2+2x+3=﹣x+b即 ‎∴x2﹣3x+b﹣3=0‎ ‎∵抛物线与直线只有一个交点 ‎∴△=（﹣3）2﹣4（b﹣3）=0‎ ‎∴b=在直线PE：y=﹣x+中，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴P（，）‎ ‎∵PE∥BC ‎∴S△BCP=S△BCE=BE×CO=××3=．‎ ‎∴△BCP的最大面积为．‎ 点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定、函数图象的交点等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎