【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第8讲曲线与方程学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第8讲曲线与方程学案

第8讲　曲线与方程 ‎[考纲解读]　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题．(重点)‎ ‎2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方程的两种常见题型：①根据曲线确定方程，可用待定系数法；②求轨迹方程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点．预测2020年高考将会有以下两种命题方式：①用定义法求曲线的方程；②由已知条件直接求曲线的方程．题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上．考查知识点多，能力要求较高，尤其是运算变形能力．解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用.‎ 求曲线方程的基本步骤 ‎1．概念辨析 ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)‎ ‎(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．小题热身 ‎(1)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D 解析　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，则·＝(－2－x)(3－x)＋(－y)2＝x2－6，化简得y2＝x，轨迹为抛物线．‎ ‎(2)方程x＝所表示的曲线是(　　)‎ A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分 答案　B 解析　x＝ 两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．‎ ‎(3)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ 答案　D 解析　设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.‎ ‎(4)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．‎ 答案　x2＋y2＝4(y≠0)‎ 解析　由题意得点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(除去M，N两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r＝|MN|＝2，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(y≠0)．‎ 题型 　定义法求轨迹方程 ‎1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)‎ A．x2＝12y B．y2＝－12x C．y2＝12x D．x2＝－12y 答案　A 解析　由题意得动圆圆心到点F(0,3)和直线y＝－3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.‎ ‎2．如图所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．‎ 解　由(x＋)2＋y2＝4知圆心C(－，0)，半径r＝2.‎ ‎∵·＝0，＝2，‎ ‎∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，‎ ‎∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.‎ 又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．‎ 由c＝，a＝1，得b2＝1，由此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.‎ 条件探究　若将举例说明2中的条件“圆C的方程(x＋)2＋y2＝‎4”‎改为“圆C的方程(x＋)2＋y2＝‎16”‎，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．‎ 解　由(x＋)2＋y2＝16知圆心C(－，0)，半径r＝4.‎ ‎∵·＝0，＝2，‎ ‎∴QM垂直平分AP，连接AQ，‎ 则|AQ|＝|QP|，‎ ‎∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.‎ 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 由c＝，a＝2，得b＝.‎ 因此点Q的轨迹方程为＋＝1.‎ 定义法求轨迹方程的适用条件及关键点 ‎(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明1,2.‎ ‎(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．‎ ‎(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．见巩固迁移．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆的圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．‎ 答案　－＝1(x>3)‎ 解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．‎ 题型 　直接法求轨迹方程 ‎1．(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．‎ 答案　(x－10)2＋y2＝36(y≠0)‎ 解析　设A(x，y)，由题意可知D.‎ 又∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，‎ 即(x－10)2＋y2＝36，‎ 由于A，B，C三点不共线，‎ ‎∴点A不能落在x轴上，即y≠0，‎ ‎∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且过点P所引的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ 解　(1)由题意，得c＝，e＝＝，‎ 因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，‎ 故椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是 y＝k(x－x0)＋y0，‎ 则由得 ＋＝1，‎ 即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，‎ Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，‎ 整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.‎ 又所引的两条切线相互垂直，‎ 设两切线的斜率分别为k1，k2，‎ 于是有k1k2＝－1，即＝－1，‎ 即x＋y＝13(x0≠±3)．‎ 若两切线中有一条斜率不存在，‎ 则易得或或或 经检验知均满足x＋y＝13.‎ 因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.‎ ‎(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．如举例说明1.‎ ‎(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2018·银川模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2‎ 答案　D 解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.‎ 又∵|PA|＝1，‎ ‎∴|PM|＝＝，‎ 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.故选D.‎ ‎2．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．‎ 解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O‎1A|＝|O‎1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，‎ ‎∴|O‎1M|＝.又|O‎1A|＝，∴＝，‎ 化简得y2＝8x(x≠0)．‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ 题型 　相关点法(代入法)求轨迹方程 ‎1．动点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，若P与点Q(0，－1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为(　　)‎ A．y＝2x2 B．y＝4x2‎ C．y＝6x2 D．y＝8x2‎ 答案　B 解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，因为P与点Q(0，－1)连线的中点为M，所以x0＝2x，y0＝2y＋1，又因为点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.故选B.‎ ‎2．如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.‎ ‎(1)求N点的轨迹方程；‎ ‎(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．‎ 解　(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，‎ N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，‎ ‎∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，‎ ＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，‎ 由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．‎ ‎∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.‎ ‎∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，‎ 则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，‎ 故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．‎ ‎(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，‎ 解得λ＝－或λ＝－.‎ 所以当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．‎ 代入法求轨迹方程的四步骤 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．‎ 解　设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.‎ 由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，‎ ‎∴即 ‎∴－x＋＝0，即y2＝4x.‎ 故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.‎