【数学】2020届一轮复习(理)通用版选修4-4-2参数方程作业

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【数学】2020届一轮复习(理)通用版选修4-4-2参数方程作业

课时跟踪检测(七十七) 参数方程 ‎1.设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率;‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.‎ 解:(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),‎ 所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率k=.‎ ‎(2)由圆C的参数方程(θ为参数),得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.‎ 由直线l的参数方程(t为参数,α为倾斜角),‎ 得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),‎ 即kx-y+4-3k=0.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,‎ 即<2,解得k>.‎ 即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ 解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α;‎ 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,‎ 所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-,‎ 故2cos α+sin α=0,‎ 于是直线l的斜率k=tan α=-2.‎ ‎3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acos θ(a>0).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于M,N两点,点P(-2,0),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.‎ 解:(1)由ρsin2θ=2acos θ(a>0)两边同乘以ρ得,‎ 曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0).‎ 由直线l的参数方程为(t为参数),消去t,‎ 得直线l的普通方程为x-y+2=0.‎ ‎(2)将代入y2=2ax,得t2-2at+8a=0,‎ 由Δ>0得a>4,‎ 设M,N对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=2a,t1t2=8a,‎ ‎∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,‎ ‎∴|t1-t2|2=|t1t2|,∴(2a)2-4×8a=8a,∴a=5.‎ ‎4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解:(1)C1的普通方程为+y2=1,‎ C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.‎ 当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.‎ ‎5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若射线l:y=kx(x≥0)分别交C1,C2于A,B两点(A,B异于原点),当k∈(1,]时,求|OA|·|OB|的取值范围.‎ 解:(1)由可得(x-1)2+y2=cos2α+sin2α=1,‎ 即C1的普通方程为(x-1)2+y2=1.‎ 方程ρcos2θ=sin θ可化为ρ2cos2θ=ρsin θ (*),‎ 将代入(*)式,可得x2=y,‎ 所以C2的直角坐标方程为x2=y.‎ ‎(2)因为A,B异于原点,‎ 所以联立可得A;‎ 联立可得B(k,k2).‎ 故|OA|·|OB|=···|k|=2|k|.‎ 又k∈(1,],所以|OA|·|OB|∈(2,2].‎ ‎6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos θ=tan θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2交于A,B两点,点P的极坐标为,求+的值.‎ 解:(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得,曲线C1的普通方程为4x+3y-2=0.‎ 由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得,曲线C2的直角坐标方程为y=x2.‎ ‎(2)由点P的极坐标为,可得点P的直角坐标为(2,-2),∴点P在曲线C1上.将曲线C1的参数方程(t为参数)代入y=x2,得9t2-80t+150=0,‎ 设t1,t2是点A,B对应的参数,‎ 则t1+t2=,t1t2=>0.‎ ‎∴+===.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且l过点A,曲线C1的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值;‎ ‎(2)过点B(-1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点,求|BM|·|BN|的值.‎ 解:(1)由直线l过点A,得cos=a,故a=,‎ 则易得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ 由点到直线的距离公式,得曲线C1上的点到直线l的距离d==‎ eq f(|r(7)sin(α+φ)-2|,r(2)),,‎ ‎∴dmax==.‎ 即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.‎ ‎(2)由(1)知直线l的倾斜角为,‎ 则直线l1的参数方程为(t为参数).‎ 易知曲线C1的普通方程为+=1.‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程,‎ 得t2+7t-5=0,‎ 设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-,‎ 根据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|=|t1t2|=.‎ ‎8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=8cos,直线l与圆C交于A,B两点.‎ ‎(1)若OA⊥OB,求直线l的普通方程;‎ ‎(2)设P(,1)是直线l上的点,若|AB|=λ|PC|,求λ的值.‎ 解:(1)消去参数t,得直线l的普通方程为x+y=+m,将圆C的极坐标方程ρ=8cos的两边同时乘ρ,‎ 得ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,‎ 则圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=16,‎ 所以圆C的圆心C(2,2),半径为4,且经过原点O,数形结合得,若OA⊥OB,则直线l经过圆心C,‎ 即2+×2=+m,解得m=3,‎ 即直线l的普通方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由P(,1)是直线l上的点,得m=1,‎ 此时直线l的参数方程为(t为参数),‎ 代入到圆C的方程(x-2)2+(y-2)2=16中,‎ 得t2+2t-12=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-2,t1t2=-12,‎ 所以|AB|=|t1-t2|===2,‎ 又|PC|=2,|AB|=λ|PC|,所以λ=.‎
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