山东省临沂市郯城县2020届高三上学期期末考试数学试题

山东省临沂市郯城县2020届高三上学期期末考试数学试题

‎2020届高三上学期期末教学质量检测卷 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是函数的定义域，是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算．‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．‎ ‎2.复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过复数的运算法则对复数进行化简，得到，即可得出复数所对应的点的坐标，问题得解．‎ ‎【详解】，‎ 所以复数所对应的点为，它在第二象限，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则以及复数所对应的点的坐标，考查运算能力，考查推理能力，是简单题．‎ ‎3.已知向量，若，则的值为（　　）‎ A. 4 B. ‎-4 ‎C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再利用求出的值.‎ ‎【详解】‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.已知，，，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎． ． 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.展开式的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项求解结果．‎ ‎【详解】展开式的通项公式为，‎ 当，即时，常数项为：，‎ 故答案选D．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．‎ ‎6.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.‎ ‎【详解】双曲线一条渐近线为，渐近线 与直线垂直，‎ 得，即，代入 故选C ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.‎ ‎7.已知圆上的点到直线的最短距离为，则的值为( )‎ A. -2或2 B. 2或 C. -2或 D. 或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程求得圆心坐标和半径，根据圆上的点到直线的最短距离为，得出，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．‎ ‎【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径，‎ 设圆心到直线的距离为，则，‎ 因为圆上的点到直线的最短距离为，‎ 所以，即，解得或，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中把圆上的点到直线的最短距离转化为，再利用点到直线的距离公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8.已知函数，（是自然对数的底数），若关于的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解方程，得，再作函数的图像，及直线的图象，在两个图象有两个交点的前提下可知，存在实数，使得，再建立与的函数关系，再利用导数判断的单调性求最值即可.‎ ‎【详解】解：∵，∴恒成立，‎ ‎∴，∴，‎ 作函数，的图象如下，结合图象可知，存在实数，使得，‎ 故，令，则，‎ 故在递减，在递增，∴，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化及导数的应用，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ 则下列判断中正确的是（ ）‎ A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 净利润占比小于0即为亏损,即可判断A；占比相同,但总收入与总净利润不同,即可判断B；空调类电器净利润占比超过,显然主要净利润由其提供,可判断C；去掉亏损的冰箱类电器的销售数据,则总净利润提高,则空调类电器销售净利润占比降低,即可判断D.‎ ‎【详解】对于选项A,因为,说明2018年度冰箱类电器销售亏损,故A正确；‎ 对于选项B,虽然小家电类营业收入占比和净利润占比相同,但总营业收入和总净利润不同,故小家电类电器营业收入和净利润不同,故B错误；‎ 对于选项C,空调类电器净利润占比,故C正确；‎ 对于选项D,剔除冰箱类电器销售数据后,空调类电器销售净利润占比为,显然有所降低,故D正确；‎ 故选:ACD ‎【点睛】本题考查利用统计数据分析实际问题,属于基础题.‎ ‎10.下列命题中，是真命题的是（ ）‎ A. 已知非零向量，若则 B. 若则 C. 在中，“”是“”的充要条件 D. 若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.‎ ‎【详解】对A，，所以，故A正确；‎ 对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；‎ 对C，，‎ 所以或，显然不是充要条件，故C错误；‎ 对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.‎ ‎11.设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“美丽函数”的定义，分别求得个数函数的值域，即可作出判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意知，函数定义域为，，，使得成立，‎ 所以函数的值域关于原点对称，‎ 对于A中，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；‎ 对于B中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；‎ 对于C中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；‎ 对于D中，函数的值域为，关于原点对称，符合题意，‎ 故选BCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中正确理解题意，分别求解函数的值域，判定值域是否关于原点对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎12.如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )‎ A. ∥平面 B. 平面∥平面 C. 直线与直线所成角的大小为 D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB，利用勾股定理证明即可.‎ ‎【详解】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又 ‎∥ON，所以，故ABD均正确.‎ ‎【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点 ‎(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．‎ ‎(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.‎ 详解】点代入抛物线方程得：‎ ‎，解得：；‎ 抛物线方程为：，准线方程为：，‎ 点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：‎ 故答案为2,2‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.‎ ‎14.已知，则的值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的值，分别求出的值，再求和即可.‎ ‎【详解】解：因为，所以 ‎，‎ ‎，‎ 则，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题.‎ ‎15.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种．‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分步计数原理，首先将5人分成三组，计算出分组的方法，然后将三组进行全排，即可得到答案．‎ ‎【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组，‎ 若分为1、1、3的三组，有＝10种分组方法；‎ 若分为1、2、2的三组，＝15种分组方法；则有10+15＝25种分组方法；‎ ‎②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有种情况，‎ 则有25×6＝150种分派方法；‎ 故答案为150．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的运用，属于基础题．‎ ‎16.三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点到平面的距离 ‎【详解】△ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r＝1．‎ ‎∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，‎ 那么球的半径R,解得h=2,又 ‎ 由 知 ，得 故点到平面的距离为 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明 ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，即 ‎ 从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎（2）由（1）可知，，． ‎ 则当时． ‎ 故当时 ‎ ‎ 又当时，满足题意，故． ‎ 法二：则当时，‎ 那么 又当时，，当时，满足题意，‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．‎ ‎18.在中，角、、所对的边分别为、、，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且的面积，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边角互化思想得，然后在等式两边同时除以 ‎，利用余弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，从而可求出的值；‎ ‎（2）由正弦定理边角互化思想得出，然后利用三角形的面积公式可求出的值.‎ ‎【详解】（1）因为，故，‎ ‎，故，‎ 因此，；‎ ‎（2）因为，故，即，‎ 的面积为，即，故，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明平面，从而得出；‎ ‎（2）证明出平面，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后计算出平面、的法向量，利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取中点，联结、，‎ 为等边三角形，为的中点，.‎ 是的中点，为中点，，，.‎ ‎，平面，‎ 平面，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，则、、两两垂直，‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则、、、、.‎ 设平面的法向量为，，.‎ 由，得，令，得，，‎ 所以，平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，，‎ 由，得，取，得，.‎ 所以，平面的一个法向量为.‎ 则.‎ 结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量（单位：万件）的统计表：‎ 月份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 销售量（万件）‎ 但其中数据污损不清，经查证，，.‎ ‎（1）请用相关系数说明销售量与月份代码有很强的线性相关关系；‎ ‎（2）求关于的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（3）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元）（），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）‎ 参考公式及数据：，相关系数，当时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) (3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据中条件，计算相关系数的值，即可得出结论；‎ ‎（2）根据题中数据，计算出，即可得到回归方程；‎ ‎（3）将代入（2）的结果，结合题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 ‎ ， ， ，‎ ‎ ‎ ‎∴， 因为 ‎ 所以销售量与月份代码有很强的线性相关关系. ‎ ‎(2) 由及(Ⅰ)得 所以关于的回归方程为 ‎ ‎（3）当时，代入回归方程得（万件） ‎ 第8个月的毛利润为 ‎ ‎ ，预测第8个月的毛利润不能突破万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求，以及线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知椭圆：过点，且离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得 解得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线，‎ 由消去得，，‎ 解得．‎ 设，‎ 则，‎ 由题意，易知与的斜率存在，所以．‎ 设直线与的斜率分别为，‎ 则，，‎ 要证，即证，‎ 只需证，‎ ‎∵，，‎ 故，‎ 又，，‎ 所以 ‎，‎ ‎∴，．‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导后得到，对分情况进行讨论：、、、；‎ ‎（2）由（1）知在上单调递减，不妨设，从而把不等式中的绝对值去掉得：，进而构造函数，把问题转化为恒成立问题，求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，或，，所以在，上单调递增；‎ ‎，，所以在上单调递减.‎ 当时，或，，所以在，上单调递增；‎ ‎，，所以在上单调递减.‎ 当时，，，所以在上单调递减；‎ ‎，，所以在上单调递增.‎ ‎（2）因为，由（1）得，在上单调递减，不妨设，‎ 由得，‎ 即.‎ 令，‎ ‎，只需恒成立，‎ 即恒成立，‎ 即，‎ 即.因为（当且仅当时取等号），‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解决问题的难点．‎