【数学】2019届一轮复习人教A版复数及其运算学案

【数学】2019届一轮复习人教A版复数及其运算学案

‎【考情概览】‎ 年份 题号 考点 难度层次 考查内容，方式，模型等 学 素养 ‎2018‎ ‎9‎ 复数的运算 简单 复数除法运算 数学计算 ‎2017‎ ‎9‎ 复数的概念与运算 简单 复数分类与运算 数学计算 ‎2016‎ ‎9‎ 复数的概念与运算 简单 复数相等条件及运算 数学计算 ‎2015‎ ‎9‎ 复数的概念与运算 简单 复数分类与运算 数学计算 ‎2014‎ ‎1‎ 复数的运算 简单 复数的除法运算 数学计算 ‎2013‎ ‎9‎ 复数的概念与运算 简单 复数相等条件与运算 数学计算 ‎2012‎ ‎1‎ 复数的运算 简单 复数除法运算 数学计算 ‎2011‎ ‎1‎ 复数的运算 简单 复数除法运算 数学计算 ‎2010‎ ‎1‎ 复数的运算 简单 复数除法运算 数学计算 ‎2009‎ ‎1‎ 复数的运算 简单 复数除法运算 数学计算 ‎【应试策略】‎ ‎1.考纲扫描：‎ ‎①理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；‎ ‎②了解复数的代数表示法及其几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；‎ ‎③会进行复数代数形式的四则运算；‎ ‎2.高考考向：‎ 命题以复数四则的运算为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.‎ ‎【真题展示】‎ ‎1.【2018天津，理9】 i是虚数单位，复数 .‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2017天津，理9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为实数，则．‎ ‎3.【2016高考天津，理9】已知，i是虚数单位，若(1i)(1bi）=a，则的值为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎4.【2015高考天津，理9】是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是纯虚数，所以，即.‎ ‎5.【2014天津，理1】是虚数单位，复数（　　） ‎ ‎（A） （B）　 （C） （D）‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】，故选A．学 ‎ ‎6.【2013天津，理9】已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝__________.‎ ‎【答案】1＋2i ‎【解析】由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得 解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.‎ ‎7.【2012天津，理1】i是虚数单位，复数(　　)‎ A．2＋i　　　B．2－i　　　C．－2＋i　　　D．－2－i ‎【答案】B ‎ ‎【解析】．‎ ‎8.【2011天津，理1】是虚数单位，复数=(　　)‎ A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】.学 ‎ ‎9.【2010天津，理1】i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．1＋i B．5＋5i C．－5－5i D．－1－i ‎【答案】A　‎ ‎ ‎ ‎10.【2009天津，理1】i是虚数单位,等于（ ）‎ A.1+2i B.－1－2i C.1－2i D.－1+2i ‎【答案】D ‎【解析】因为.‎ ‎ 【对症下药】‎ 一、基础知识扫描：‎ ‎1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)‎ 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)‎ 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为 ＝a＋bi，则向量 ‎| |＝|a＋bi|＝ 的长度叫做复数 ＝a＋bi的模 ‎2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 ‎(1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R).‎ ‎(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎3.复数的运算 设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)加法： 1＋ 2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎(2)减法： 1－ 2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎(3)乘法： 1· 2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(4)除法：＝＝ ‎＝(c＋di≠0).‎ 二、解题思想方法归纳：‎ ‎1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.‎ ‎2.复数 ＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数 ＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.‎ 三、易错防范：‎ ‎1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.‎ ‎2.两个虚数不能比较大小.‎ ‎3.注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.‎ ‎【考题预测】‎ ‎1．【2018天津河西区模拟】若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　)‎ A．{－1} B．{1}‎ C．{1，－1} D．∅‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{－1,1}．选C ‎2.【2018天津二十二中模考】是虚数单位，（ ）‎ ‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，选A．学 ‎ ‎3.【2018天津河西区一模】若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A、2 B、4 C、6 D、6‎ ‎【答案】C ‎ 4．【2018衡水金卷】如图，在复平面内，复数 1， 2对应的向量分别是，则| 1＋ 2|＝(　　)‎ A．2 B．3 C．2 D．3 ‎【答案】A ‎【解析】 1＝－2－i， 2＝i， 1＋ 2＝－2，故选A.‎ ‎5. 【2018耀华中学期末】设 是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A.若 2≥0，则 是实数 B.若 2＜0，则 是虚数 C.若 是虚数，则 2≥0 D.若 是纯虚数，则 2＜0‎ ‎【答案】C ‎【解析】举反例说明，若 ＝i，则 2＝－1＜0，故选C. 学 ‎ ‎6.【2018天津红桥区模拟】已知复数 ＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“ 为纯虚数”的一个充分不必要条件是(　)‎ A.θ＝ B.θ＝ C.θ＝ D.θ＝ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎7. 【2018天津滨海新区联考】若复数 满足i· ＝－(1＋i)，则 的共轭复数的虚部是(　　)‎ A.－i B.i C.－ D. ‎【答案】C ‎【解析】　i· ＝－(1＋i)⇒ ＝＝＝(－1＋i)，‎ 则 的共轭复数＝(－1－i)，其虚部是－.‎ ‎8. 【2018天津五中期末】i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)‎ A.－2 B.－1 C.0 D. ‎【答案】C ‎【解析】∵＝＝－i＝a＋bi，∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0.‎ ‎9. 【2018天津师大附中期末】若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝(　　)‎ A.－3 B.－1 C.1 D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.‎ ‎10．【2018天津南开区一模】已知复数 ＝1＋，则1＋ ＋ 2＋…＋ 2 015＝(　　)‎ A．1＋i B．1－I C．i D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ＝1＋＝1＋＝i，‎ ‎∴1＋ ＋ 2＋…＋ 2 015＝＝＝＝0. 学 ‎ ‎11.【2018天津武清区大良中学期末】在复平面上，复数对应的点到原点的距离为________．‎ ‎【答案】 ‎ 12.【2018天津模拟】已知复数 1＝cos15°＋sin15°i和复数 2＝cos45°＋sin45°i，则 1· 2＝________.‎ ‎【答案】＋i ‎【解析】 1· 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝＋i.‎ ‎13.【2018天津新华中学模拟】设f(n)＝＋(n∈N )，则集合{f(n)}中元素的个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】f(n)＝＋＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…‎ ‎∴集合中共有3个元素.‎ ‎14.【2018天津八中模拟】.定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】　因为x＝＝＝－i.所以y＝＝＝－2.‎ ‎15.【2018天津耀华中学模拟】已知复数 ＝x＋yi，且| －2|＝，则的最大值为________.‎ ‎【答案】