2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末考试数学（文）试题

2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末考试数学（文）试题

‎2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本题共12个小题）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x+3＞0}，B＝{y|y＝log3x，x＜3}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）‎ ‎2．复数z＝2+ai（a＜0）满足|z|＝，则＝（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i ‎3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（　　）‎ ‎①甲的平均成绩低，方差较大 ‎②甲的平均成绩低，方差较小 ‎③乙的平均成绩高，方差较大 ‎④乙的平均成绩高，方差较小 A．①④ B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎4．已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点（，2），且渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．x2﹣＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣＝1 D．x2﹣2y2＝1‎ ‎5．已知x，y满足不等式组，则z＝3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎6．已知△ABC的面积为，且AB＝2，AC＝3，A为钝角，则BC＝（　　）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎7．若非零向量，满足||＝||，且（+）⊥（3﹣2），则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图所示的程序框图，若输入m＝10，则输出的S值为（　　）‎ A．10 B．21 C．33 D．47‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）是奇函数，且x≥0时，f（x）＝2x+x+a，g（x）＝，若函数y＝g（x）+2x﹣b有2个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．[2，4） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）‎ ‎11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），x∈R，且f（α）＝﹣，f（β）＝．若|α﹣β|的最小值为，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）‎ A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） ‎ C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kx+]（k∈Z）‎ ‎12．已知函数f（x）＝（x2﹣a）e﹣x的图象过点（，0），若函数f（x）在（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[2，+∞） ‎ C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若sin（π+α）＝，则cos2α＝　 　．‎ ‎14．已知直线l：x﹣y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝6相交于A，B两点，则线段AB的长为　 　．‎ ‎15．已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，若三棱锥P﹣ABC的体积为，PA＝PB＝AC＝BC，∠POC＝120°，则球O的表面积为　 　．‎ ‎16．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，直线l：y＝m（2x﹣1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则m的值为　 　．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．且a1＝17，2a2﹣a1＝11．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当n为何值时，数列{an}的前n项和最大？‎ ‎18．在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：OD∥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求证：OP⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥D﹣OBC的体积．‎ ‎19．高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系．为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系，现随机抽取某校500名学生进行了调查，结果如表所示：‎ 心情 性别 男 女 总计 正常 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 焦虑 ‎270‎ ‎160‎ ‎430‎ 总计 ‎300‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎（Ⅰ）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“‎ 该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”？‎ ‎（Ⅱ）若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率．‎ 附：K2＝，n＝a+b+c+d．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ K0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）‎ ‎（1）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．‎ ‎[选修4一4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．‎ ‎（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题（本题共12个小题）‎ ‎1．‎ 选：A．‎ ‎2．‎ 选：D．‎ ‎3．‎ 选：A．‎ ‎4．‎ 选：C．‎ ‎5．‎ 选：D．‎ ‎6．‎ 选：C．‎ ‎7．‎ 选：A．‎ ‎8．‎ 选：C．‎ ‎9．‎ 选：B．‎ ‎10．‎ 选：B．‎ ‎11．‎ 选：B．‎ ‎12．‎ 选：A．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．‎ 答案为：．‎ ‎14．‎ 答案为：．‎ ‎15．‎ 答案为：16π．‎ ‎16．‎ 答案为：．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．且a1＝17，2a2﹣a1＝11．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当n为何值时，数列{an}的前n项和最大？‎ ‎【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d．由a1＝17，2a2﹣a1＝11．利用通项公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ）令an≥0，解得n即可得出．‎ 解：（I）设等差数列{an}的公差为d．∵a1＝17，2a2﹣a1＝11．‎ ‎∴2（17+d）﹣17＝11，解得d＝﹣3．‎ ‎∴an＝17﹣3（n﹣1）＝20﹣3n．‎ ‎（Ⅱ）令an＝20﹣3n≥0，解得n≤．‎ ‎∴当n＝6时，数列{an}的前n项和最大．‎ ‎18．在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：OD∥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求证：OP⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥D﹣OBC的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知结合三角形中位线定理得OD∥PA，再由线面平行的判定可得OD∥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由已知可得AC⊥BC，求解三角形证明PO⊥OC，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，OP⊥平面ABC，可得OP＝1，再由三棱锥D﹣OBC的体积为P﹣ABC体积的求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵O，D分别为AB，PB的中点，∴OD∥PA，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，‎ ‎∴OD∥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）证明：∵AC＝BC＝，AB＝2，∴AC⊥BC，‎ ‎∵O为AB的中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1，‎ 同理，PO⊥AB，PO＝1．‎ 又PC＝，∴PC2＝OC2+PO2＝2，则∠POC＝90°，即PO⊥OC，‎ ‎∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，‎ ‎∴OP⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，OP⊥平面ABC，‎ ‎∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP＝1．‎ ‎∴．‎ ‎19．高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系．为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系，现随机抽取某校500名学生进行了调查，结果如表所示：‎ 心情 性别 男 女 总计 正常 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 焦虑 ‎270‎ ‎160‎ ‎430‎ 总计 ‎300‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎（Ⅰ）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”？‎ ‎（Ⅱ ‎）若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率．‎ 附：K2＝，n＝a+b+c+d．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ K0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，计算可得K2的观测值，结合独立性检验的知识分析可得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，分析可得抽取7人，其中有3名男生，4名女生；由组合数公式计算可得“从7人中任意抽取2人”和“抽取的两人中有女生”的选法数目，由古典概型公式计算可得答案．‎ 解：（Ⅰ）根据题意，由2×2列联表可得：‎ K2的观测值k＝＝≈9.967＞6.635；‎ 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该学校学生的考前焦虑情况与性别有关；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，其中有3名男生，4名女生，‎ 从7人中任意抽取2人，有C72＝种情况，‎ 其中抽取的两人中有女生的抽法有C42+C41C31＝18种选法；‎ 故其概率P＝＝．‎ ‎20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，又因为离心率为，从而求出b＝2，又因为a2＝b2+c2，求出a的值，从而求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2＝，又因为∠APB的平分线在y轴上，所以 k1+k2＝0，从而求出m的值，得到直线AB的方程为y＝kx+1过定点坐标．‎ 解：（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，‎ 故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，‎ ‎∴＝＝，解得b＝2，‎ 又∵a2＝b2+c2＝b2+，解得a＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得c＝a＝2，‎ ‎∴直线bx﹣y+2c＝0的方程为2x﹣y+4＝0，‎ 令x＝0得，y＝4，即P（0，4），‎ 设直线AB的方程为y＝kx+m，‎ 联立方程组，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，‎ 则直线PA的斜率k1＝＝k+，‎ 则直线PB的斜率k2＝＝k+，‎ 所有k1+k2＝2k+＝2k+＝，‎ ‎∵∠APB的平分线在y轴上，‎ ‎∴k1+k2＝0，即＝0，‎ 又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1，‎ ‎∴直线AB的方程为y＝kx+1，过定点（0，1）．‎ ‎21．已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）‎ ‎（1）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．‎ ‎【分析】（1）当a＝1时，，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；‎ ‎（2）令，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．利用导数研究函数的单调性即可得出g（x）大值．‎ ‎【解答】（1）解：当a＝1时，，‎ 对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，‎ ‎∴，．‎ ‎（2）证明：令，x∈（1，+∞），‎ 在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）max＜0，x∈（1，+∞）．‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，‎ 从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；‎ ‎∴g（x）＜g（1），又，‎ ‎∴g（x）＜0，即f（x）＜2ax恒成立．‎ ‎[选修4一4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．‎ 所以c＝1，a＝，b＝1，‎ 所以椭圆的方程为，转换为极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是，（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x+y﹣2＝0．‎ 设交点M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 所以，整理得9x2﹣16x+6＝0，‎ 所以，，‎ 所以|x1﹣x2|＝＝．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．‎ ‎（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范围．‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+3|﹣2，‎ 不等式|f（x）|＜4即为﹣4＜f（x）＜4，‎ 即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6，‎ 所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3，‎ 则原不等式的解集为（﹣9，3）；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，‎ 可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，‎ 由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，‎ 可得﹣t2+4t+1≥4，即t2﹣4t+3≤0，‎ 解得1≤t≤3．‎ 则实数t的取值范围是[1，3]．‎