2019-2020学年广西来宾市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广西来宾市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广西来宾市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合A与集合B,结合交集的运算即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2．已知直线：与直线：，则（ ）‎ A．，平行 B．，垂直 C．，关于轴对称 D．，关于轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,可知两条直线都经过轴上的同一点,且两条直线的斜率互为相反数,即可得两条直线的对称关系.‎ ‎【详解】‎ 因为,都经过轴上的点,且斜率互为相反数,‎ 所以,关于轴对称.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了两条直线的位置关系,关于轴对称的直线方程特征,属于基础题.‎ ‎3．在空间直角坐标系中，已知球的球心为，且点在球的球面上，则球的半径为（ ）‎ A．4 B．5 C．16 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.‎ ‎【详解】‎ 球的球心为,且点在球的球面上,‎ 所以设球的半径为 则.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题.‎ ‎4．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则.‎ B．若，，则.‎ C．若，，则.‎ D．若，，则.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断 ；由或相交，判断.‎ ‎【详解】‎ 若，，则或，不正确；‎ 若，，则，或相交，不正确；‎ 若，，可得没有公共点，即，正确；‎ 若，，则或相交，不正确,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎5．设函数若是奇函数，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出的值，再根据奇函数的性质，可得到的值，最后代入，可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是奇函数 ‎．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.‎ ‎6．一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是（ ）‎ A．西与楼，梦与游，红与记 B．西与红，楼与游，梦与记 C．西与楼，梦与记，红与游 D．西与红，楼与记，梦与游 ‎【答案】B ‎【解析】将该正方体折叠,即可判断对立面的字.‎ ‎【详解】‎ 以红为底,折叠正方体后,即可判断出:‎ 西与红,楼与游,梦与记互为对面.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了空间正方体的结构特征,展开图与正方体关系,属于基础题.‎ ‎7．已知，，，则的边上的高线所在的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先计算，得到高线的斜率，又高线过点，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，高线过点 ‎∴边上的高线所在的直线方程为，即.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为是解题的关键.‎ ‎8．已知函数在上存在零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为在上单调递增,‎ 根据零点存在定理可得,‎ 解得.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎9．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 指数函数为增函数，则，‎ 对数函数是上的增函数，则，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长均为，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出几何体的实物图，并将该几何体的体积用表示，结合题中条件可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体由一个正方体截去四分之一而得，其体积为，‎ 即，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三视图计算空间几何体的体积，解题的关键就是作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎11．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.若直线与圆相切，则的值为（ ）‎ A．9 B．7 C．-21或9 D．-23或7‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可得圆心坐标和半径,结合点到直线距离公式即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 圆心在轴上的圆与直线切于点.‎ 可得圆的半径为3,圆心为.‎ 因为直线与圆相切,‎ 所以由切线性质及点到直线距离公式可得,‎ 解得或7.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系,切线性质及点到直线距离公式的应用,属于基础题.‎ ‎12．已知为偶函数，当时，，当时，，则满足不等式的整数的个数为（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由时的解析式,可先求得不等式的解集.再根据偶函数性质,即可求得整个定义域内满足不等式的解集,即可确定整数解的个数.‎ ‎【详解】‎ 当时,,解得,所以；‎ 当时,,解得,所以.‎ 因为为偶函数,‎ 所以不等式的解集为.‎ 故整数的个数为8.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法,偶函数性质的应用,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．两平行直线与之间的距离______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据平行线间距离公式可直接求解.‎ ‎【详解】‎ 直线与平行 由平行线间距离公式可得 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平行线间距离公式的简单应用,属于基础题.‎ ‎14．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 连接、、，，，‎ 在正方体中，，，，‎ 所以，四边形为平行四边形，，‎ 所以，异面直线与所成的角为.‎ 易知为等边三角形，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15．若，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据指数式与对数式的转化,将指数式化为对数式,结合换底公式及对数运算式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为 根据指数式与对数式的转化可得,,‎ 由换底公式可知,‎ 则.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数式与对数式的转化,对数换底公式及简单运算性质的应用,属于基础题.‎ ‎16．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 三棱锥的侧面积为，所以 故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ 三、解答题 ‎17．设集合，，.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，求；‎ ‎（3）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）（3）‎ ‎【解析】（1）先可求出，再利用交集，并集的运算求解即可；‎ ‎（2）由（1）得，然后代入，即可求得；‎ ‎（3）由可得到，解不等式组求出的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，‎ 所以， ；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当时，，‎ 所以.；‎ ‎（3）因为，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交并补的运算，考查集合的包含关系的含义，是基础题.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，，，，分别为棱，的中点，，，且.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）若四棱锥的高为3，求该四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）9‎ ‎【解析】（1）根据,可知,由可证明,又根据中位线可证明即可由平面与平面平行的判定定理证明平面平面.‎ ‎（2）利用勾股定理,求得.底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱锥的体积公式求得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为为的中点,且,所以.‎ 因为,所以,所以四边形为平行四边形,‎ 所以.‎ 在中,因为,分别为,的中点,所以,‎ 因为,,‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）因为,所以,‎ 又,‎ 所以.‎ 所以四边形的面积为,‎ 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面与平面平行的判定,四棱锥体积的求法,属于基础题.‎ ‎19．已知函数满足，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在上的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用换元法令,求得的表达式,代入即可求得参数,即可得的解析式;‎ ‎（2）根据函数单调性,即可求得在上的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令,则,‎ 则.‎ 因为,所以,解得.‎ 故的解析式为.‎ ‎（2）由（1）知,在上为增函数.‎ 因为,,‎ 所以在上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了换元法求二次函数的解析式,根据函数单调性求函数的值域,属于基础题.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，且.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）若四棱锥的体积为4，求四面体的表面积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）9‎ ‎【解析】（1）由已知可得， 根据线面垂直的判定得平面，进而可得平面，由面面垂直的判定可得证.‎ ‎（2）根据四棱锥的体积可得.过作于，连接，可证得平面，.可求得，可求得四面体的表面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，‎ 又，∴平面，则.‎ 又，∴平面.‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：∵,且，‎ ‎∴.∴.‎ 过作于，连接，∵.∴平面，则.‎ ‎∵.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故四面体的表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，四棱锥的体积和表面积的计算，关键在于熟记各线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理，严格地满足所需的条件，属于中档题.‎ ‎21．已知直线：与圆：交于，两点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】（1）将圆的一般方程化为标准方程,根据两个交点,结合圆心到直线的距离即可求得的取值范围.‎ ‎（2）根据垂径定理及,结合点到直线距离公式,即可得关于的方程,解方程即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得圆的标准方程为,圆心,半径,‎ 则到的距离,‎ 解得,即的取值范围为.‎ ‎（2）因为,‎ 解得 所以由圆心到直线距离公式可得.‎ 解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系判断,直线与圆相交时的弦长关系及垂径定理应用,属于基础题.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）解方程；‎ ‎（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；‎ ‎（3）若不等式对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 ‎（3）‎ ‎【解析】（1）由已知得，解方程即可；‎ ‎（2）任取，且，则，分 和讨论可得答案；‎ ‎（3）将不等式对恒成立问题转化为，的最小值问题，求出的最小值即可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知.‎ 所以，得或，‎ 所以或；‎ ‎（2）任取，且，则. ‎ 因为，且，‎ 所以，.‎ 当时，恒成立，‎ ‎，即；‎ 当时，恒成立，‎ ‎，即.‎ 故在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（3），，‎ 令，.‎ 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判断和证明，考查函数不等式恒成立问题，转化为最值问题即可，是中档题.‎