山东省东营市一中2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省东营市一中2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

东营市一中2018级高二下学期期中考试 ‎（满分：150分 考试时间：120分钟）‎ 一、选择题（共80分，每题5分，其中1-8题为单选，9-12为多选，13-16为单选）‎ ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设函数，则满足的x的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有 种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若函数在区间内恒有，则的单调增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9-12为多选题 ‎9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算的观测值，则可以推断出（ ）‎ 满意 不满意 男 ‎30‎ ‎20‎ 女 ‎40‎ ‎10‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ A．该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为 B．调研结果显示，该学校女生比男生对食堂服务更满意 C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 ‎10．下列有关说法正确的是（ ）‎ A．当时，； B．若，则 C．函数的最小值为2 D．若，则的最小值为3‎ ‎11．下列命题正确的是（ ）‎ A．已知幂函数在上单调递减则或 B．函数的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是．‎ C．已知函数，若，则的取值范围为 D．已知函数满足，，且与的图像的交点为则的值为8‎ ‎12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）‎ A．是偶函数 B．是奇函数 C．在R上是增函数 D．的值域是 ‎13-16为单选 ‎13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种 A．36 B．48 C．60 D．16‎ ‎14．已知的展开式的所有项系数之和为27，则实数________，展开式中含的项的系数是___________．‎ A．，23 B．，16 C．2，16 D．2，23‎ ‎15．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎16．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二．解答题：本题共6小題，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知奇函数的定义域为，当时，．‎ ‎（1）求函数在上的值域；‎ ‎（2）若时，函数的最小值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，，，分别是和的中点．‎ ‎（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎19．（本小題满分12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）‎ ‎（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布（，约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%‎ ‎（Ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）‎ ‎（Ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．（说明表示的概率．参考数据：，）‎ ‎20．（本小题满分12分）某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．‎ 项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．‎ 项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为和．‎ ‎（1）若投资项目一，记为盈利的物流仓的个数，求（用表示）；‎ ‎（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为千万元，求（用表示）；‎ ‎（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费（单位：万元）对年销量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年宣传费（万元）‎ ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 年销售量（吨）‎ ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24.0‎ ‎25.5‎ 经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式 ‎，两边取对数，即，令，即对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：‎ ‎75.3‎ ‎24.6‎ ‎18.3‎ ‎101.4‎ ‎（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于21吨的概率．‎ ‎（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入108万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由．（其中为自然对数的底数，）‎ 附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎（1）求在上的单调区间；‎ ‎（2）当时，设函数时，证明．‎ ‎（3）证明：．‎ 期中考试答案 一、选择题（共80分，每题5分，其中1-8题为单选，9-12为多选，13-16为单选）‎ ‎1．C 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．BD 11．BD 12．BC． 13．A 14．A 15．B 16．B 二、解答题 ‎17．（1）设，则时，所以．‎ 又因为为奇函数，所以有，‎ 所以当时，， 3分 所以在上的值域为， 4分 ‎（2）令∴‎ ‎∴，‎ ‎∴令， 5分 ‎∴当时，∴在上单调递增，∴无最小值 6分 当时，∴在上单调递减，∴ 7分 当时，∴在上单调递减，在单调递增 ‎∴ 8分 综上所述：∴当时，无最小值 当时，‎ 当时， 10分 ‎18．（Ⅰ）取中点O，连接，，．‎ 因为，所以． 1分 又侧面底面，面面，平面，‎ 所以平面，易知． 2分 又在菱形中，，O为中点，则 故建立以O为坐标原点，分别为轴的坐标系． 3分 因为菱形，且，，‎ 则，‎ 又，是中点，则、，‎ 所以 4分 设面的一个法向量为，直线与平面所成角，‎ 则 取，则，‎ 故， 6分 所以，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为． 8分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 所，‎ 所以平面的一个法向量为， 9分 因，‎ 设平面的一个法向量为，二面角为，‎ 则即．‎ 令，则，即 11分 所以，‎ 所以，‎ 故所求二面角的正弦值为． 12分 ‎19．解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：‎ ‎ 3分 ‎（2）（Ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为，‎ 根据题意，，即 5分 由得，， 7分 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分．‎ ‎（Ⅱ）因为，∴， 9分 所以Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以 12分 ‎20．（1）解：由题意，‎ 则盈利的物流仓数的均值． 2分 ‎（2）若投资项目二，则的分布列为 ‎1‎ 盈利的均值. 5分 ‎（3）若盈利，则每个物流仓盈利（千万元），‎ 所以投资建设10个物流仓，盈利的均值为（千万元）‎ ‎ 8分 ‎①当时，，解得．‎ 而．故选择项目一．‎ ‎②当时，，解得．此时选择项目一．‎ ‎③当时，，解得．‎ 此时选择项目二． 12分 备注：在计算正确的前提下，若考虑投资风险，仅用，确定选择项目一．‎ ‎21．（Ⅰ）记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年中有3年的年销量低于21吨，故 ‎ 3分 ‎（Ⅱ）对两边取对数得，令得，由题中数据得：，，‎ ‎，，‎ 所以， 6分 由，‎ 得，故所求回归方程为 7分 ‎（Ⅲ）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知 ‎ 10分 当即时，利润取得最大值500万元），故2019年该公司计划投入108万元宣传费的决策不合理 12分 ‎22．（1）‎ ‎∴ 1分 故函数在的单调性为：‎ 当时，的递减区间为； 2分 当时，的递减区间为，递增区间为； 3分 当时，的递增区间为； 4分 当时，的递减区间为，递增区间为 5分 ‎（2）由题意得，即 要证，需证，即证 6分 设，则要证，等价于证：令，则， 7分 ‎∴在区间内单调递增，，‎ 即，故 8分 ‎（3）由（1）知时，在为增函数，‎ ‎∴，‎ 即， 9分 令， 10分 得，‎ 即，‎ 所以， 11分 上式中，‎ 然后个不等式相加得．‎ 故不等式成立． 12分