湖北13市州14套中考数学试题分类解析汇编专题10四边形

湖北13市州14套中考数学试题分类解析汇编专题10四边形

湖北13市州（14套）2012年中考数学试题分类解析汇编 专题10：四边形 一、 选择题 ‎1. （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】‎ A．11＋ B．11－‎ C．11＋或11－ D．11－或1＋‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。‎ ‎【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。‎ ‎ 如图1，由AB＝5，BE=x，得。‎ ‎ 由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得，‎ ‎ 解得（负数舍去）。‎ ‎ 由BC＝6，DF=y，得。‎ 由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得，‎ ‎ 解得（负数舍去）。‎ ‎ ∴CE＋CF=（6－）＋（5－）=11－。‎ ‎ 如图2，同理可得BE= ，DF=。‎ ‎ ∴CE＋CF=（6＋）＋（5＋）=11＋。‎ ‎ 故选C。‎ ‎2. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】‎ A． 8 B． ‎4 ‎C． 8 D． 6‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，‎ ‎∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2。‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=2。‎ 由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，‎ ‎∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。‎ 故选C。‎ ‎3. （2012湖北宜昌3分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于【 】‎ A．20 B．‎15 ‎‎ C．10 D．5‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。1419956‎ ‎【分析】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠B=60°，BA=BC。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。∴△ABC的周长=3AB=15。故选B。‎ ‎4. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A． B．‎2 ‎‎ C．3 D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，设BF、CE相交于点M，‎ ‎∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，‎ ‎∴△BCM∽△BGF，∴，即。‎ 解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。‎ ‎∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。‎ ‎∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，‎ 菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。‎ ‎∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。‎ ‎5. （2012湖北荆州3分）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】‎ A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：‎ 第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，‎ 第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，‎ ‎…，‎ 依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，‎ 所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。‎ ‎6. （2012湖北黄冈3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是【 】‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，‎ 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG。‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD。‎ 故选C。‎ ‎7. （2012湖北十堰3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为【 】‎ A．22 　　　　B．‎24 ‎　　　　C．26 　　　　D．28 ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，‎ 又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB。∴∠AMB=∠DMC。‎ 在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，∠AMB=∠DMC，MB=MC， ‎ ‎∴△AMB≌△DMC（SAS）。∴AB=DC。‎ ‎∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24。故选B。‎ ‎8. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF 相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】‎ ‎①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质 三角形三边关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵在菱形ABCD中，∠A＝60º，∴∠BCD＝60º，∠ADC＝120º，AB=AD。‎ ‎ ∴△ABD是等边三角形。‎ ‎ 又∵E是AB的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝30º。∴∠CDG＝90º。同理，∠CBG＝90º。‎ ‎ 在四边形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120º。故结论①正确。‎ ‎ 由HL可得△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30º。∴BG=DG=CG。‎ ‎ ∴BG＋DG＝CG。故结论②正确。‎ ‎ 在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB不成立。故结论③不正确。‎ ‎ ∵DE=ADsin∠A=ABsin60º=AB，‎ ‎∴。故结论④正确。‎ 综上所述，正确的结论有①②④三个。故选C。‎ ‎9. （2012湖北襄阳3分）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【 】‎ A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等、相似三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，‎ ‎∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。‎ ‎∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE。‎ ‎∴△AED≌△BFA（AAS）。故结论A正确。‎ ‎∴DE=AF，AE=BF，∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B正确。‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BGF。‎ ‎∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故结论C正确。‎ 由△ABF∽△AGB得，即。‎ 由勾股定理得，。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎∵（只有当∠BAG=300时才相等，由于G是的任意一点，∠BAG=300不一定），‎ ‎∴不一定等于，即DE﹣BG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。　‎ ‎10. （2012湖北鄂州3分）如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。‎ ‎【分析】如图，连接OB．‎ ‎∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°。‎ 又∵∠1=∠2，∴∠DOE=120°。‎ 又∵OA=2，‎ ‎∴扇形ODE的面积为。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。‎ ‎【分析】连接BE，‎ ‎∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，‎ ‎∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。‎ ‎∴△AME的面积=△AMB的面积。‎ ‎∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。‎ ‎∴当n≥2时，。‎ ‎2. （2012湖北咸宁3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当，时，四边形BGEF的周长为 ▲ ．‎ ‎【答案】28。‎ ‎【考点】梯形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质。‎ ‎【分析】∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，∴四边形BGEF是平行四边形。‎ ‎∵BE平分∠ABC且交CD于E，∴∠FBE=∠EBC。‎ ‎∵EF∥BC，∴∠EBC=∠FEB。∴∠FBE=FEB。∴EF=BF。∴四边形BGEF是菱形。‎ ‎∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，∴EF=（AD+BC）=×（2+12）=7。‎ ‎∴四边形BGEF的周长=4×7=28。‎ ‎3. （2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC 的长为 ▲ .‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的判定。‎ ‎【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，‎ ‎∵AB=5，∠B=60°，∴∠BAE=30°。∴BE=2.5 。‎ 同理可得CF=2.5。‎ 又∵AD=4，∴EF=AD=4（矩形的性质）。‎ ‎∴BC =BE+EF+FC=5+4=9。‎ ‎4. （2012湖北十堰3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；．‎ ‎【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。‎ ‎∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。‎ ‎∴△AOE∽△COF。∴。‎ ‎∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。‎ 在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=。‎ ‎∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=。‎ 三、解答题 ‎1. （2012湖北黄石7分）如图，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF. ‎ 求证：∠DAE=∠BCF.‎ ‎【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC。∴∠ADE=∠BCF。‎ ‎ 又∵BE=DF， ∴BF=DE。‎ ‎ ∴△ADE≌△CBF（SAS）。∴∠DAE=∠BCF 。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，由SAS证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可。‎ ‎2. （2012湖北宜昌11分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．‎ ‎（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？‎ ‎（2）求证：△ABG∽△BFE；‎ ‎（3）设AD=a，AB=b，BC=c ‎ ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；‎ ‎ ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．‎ ‎【答案】解：（1）不可以。理由如下：‎ 根据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED。‎ ‎∴AE＜ED。∴点E不可以是AD的中点。‎ ‎（2）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，‎ ‎∵由折叠知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG。∴∠EBF=∠BEF。‎ ‎∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形。‎ ‎∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB。‎ 在等腰△ABG和△FEB中，‎ ‎∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，‎ ‎∴∠BAG=∠FBE。∴△ABG∽△BFE。‎ ‎（3）①∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC。‎ ‎ ∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，∴∠DAB=∠BDC=90°。‎ ‎ 又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴△ABD∽△DCB。‎ ‎∴。‎ ‎∵AD=a，AB=b，BC=c，∴BD=‎ ‎∴，即a2+b2=ac。‎ ‎②由①和b=2得关于a的一元二次方程a2﹣ac+4=0，‎ 由题意，a的值是唯一的，即方程有两相等的实数根，‎ ‎∴△=0，即c2﹣16=0。‎ ‎∵c＞0，∴c=4。‎ ‎∴由a2﹣‎4a+4=0，得a=2。‎ 由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠C=45°。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），直角梯形的性质，三角形三边关系，直线平行的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE＞EG，从而判断点E不可能是AD的中点。‎ ‎（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明。‎ ‎（3）①根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。‎ ‎②把b=2代入a、b、c的关系式，根据a是唯一的，可以判定△=c2﹣16=0，然后求出c=4，再代入方程求出a=2，然后由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，得出∠C=45°。‎ ‎3. （2012湖北恩施8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．‎ ‎【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形。‎ 又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC。∴AE=AF。‎ ‎∴平行四边形AEDF是菱形。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定。‎ ‎【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。‎ ‎4. （2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．‎ 理解与作图：‎ ‎（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的 反射四边形EFGH．‎ 计算与猜想：‎ ‎（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？‎ 启发与证明：‎ ‎（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想．‎ ‎【答案】解：（1）作图如下： ‎ ‎（2）在图2中， ，‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。 ‎ 在图3中，，，‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。‎ 猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。‎ ‎（3）延长GH交CB的延长线于点N，‎ ‎∵，，‎ ‎∴。‎ 又∵FC=FC，‎ ‎∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。‎ ‎∴EF=MF，EC=MC。‎ 同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。‎ ‎∵，，，∴。‎ ‎∴GM=GN。‎ 过点G作GK⊥BC于K，则。‎ ‎∴。‎ ‎∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。‎ ‎【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。‎ ‎（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。‎ ‎（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。‎ ‎5. （2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC ‎ 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. ‎ 求证：AM⊥DF.‎ ‎【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。‎ ‎ 又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。‎ 在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF， OE=OF ，‎ ‎∴△AOE≌△DOF（SAS）。∴∠OAE=∠ODF。‎ ‎∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，‎ 然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。‎ ‎6. （2012湖北随州10分）如图，已知直角梯形ABCD ,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点.‎ ‎ (1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；‎ ‎ (2)若OC=‎8 cm，OD=‎6 cm,求CD的长.‎ ‎【答案】解：（1）在CD上取中点F，连接OF，‎ ‎ ∵O为AB的中点，∴由梯形中位线可知OF=(AD+BC)，OF∥AD∥BC。‎ ‎ 又∵AD+BC=CD，∴OF=CD=CF。∴∠FOC=∠FCO。‎ ‎ 又由OF∥BC得∠FOC=∠OCB，∴∠OCF=∠OCB。‎ 在CD上取点E，使DE=DA，则CE=CB。‎ 在△OBC和△OEC中，∵CE=CB，∠OCB=∠OCE，OC=OC，‎ ‎∴△OBC≌△OEC（SAS）。∴∠B=∠OEC，OE=OD。‎ ‎∵∠B=900, ∴∠OEC=90°。∴OE⊥CD。‎ 又∵O为AB的中点，∴OE=OD=OA为⊙O的半径。‎ ‎∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。‎ ‎（2）由（1）知，OF=CF=DF，∴O点在以CD为直径的⊙F上。‎ ‎ ∴∠COD=90°。‎ 在Rt△COD中，OD=‎6cm，OC=‎8cm，‎ ‎∴根据勾股定理得：。‎ ‎【考点】直角梯形的性质，梯形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）在CD上取中点F，连接OF，由已知，根据梯形中位线定理和平行的性质，可由SAS得出△OBC≌△OEC，从而由∠B=900，证得OE⊥CD。由OE=OD=OA为⊙O的半径得出以AB为直径的⊙O与CD相切于E。‎ ‎（2）由（1）可知O点在以CD为直径的⊙F上，根据直径所对的圆周角为直角得到∠DOC为直角，在直角三角形COD中，由OD与OC的长，利用勾股定理即可求出CD 的长。 ‎ ‎7. （2012湖北孝感8分）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．‎ 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到 中点四边形EFGH．‎ ‎(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ；(2)证明你的结论．‎ ‎【答案】解：（1）平行四边形．‎ ‎（2）证明：连接AC，‎ ‎∵E是AB的中点，F是BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，EF=AC。‎ 同理HG∥AC，HG=AC。 ‎ ‎∴EF∥HG，EF=HG。∴四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎【考点】新定义，三角形中位线定理，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据四边形的形状及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，从而可判断出四边形EFGH的形状。‎ ‎8. （2012湖北襄阳7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．‎ ‎（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD。‎ 又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA。∴∠DEC=∠AEB。‎ 又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB（SAS）。‎ ‎∴AB=CD。‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形。‎ ‎（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形。理由如下：‎ ‎∵E为BC的中点，BC=2AD，∴BE=EC=AD。‎ 又∵AD∥BC，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形。∴AB=ED。‎ ‎∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC。∴四边形AECD是菱形。‎ 过A作AG⊥BE于点G，‎ ‎∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形。‎ ‎∴∠AEB=60°，∴AG=。‎ ‎∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。‎