四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学理卷含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试
数学（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U=R,集合A＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则等于
A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1}
C. {-1} D. {x|-1
0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若，则k=______
15. 若数列{an}满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得am0)的最小值;
(II)若x>1时，函数y=f(x)的图象总在函数的图象的上方，求 实数t的取值范围；
(III)求证：
绵阳市高2013级第三次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．
BDACA BCDBC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．2-i 12．11 13． 14． 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．
则由题意得年销售量为100-2x，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．
故当x=15时，y取最大值．
此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．
∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分
（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．
∴ P(X=0)=；
P(X=0．5)=；
P(X=1)=．
∴ X的分布列为：
X
0
0．5
1
P
∴ X的数学期望E(X)=×0+×0．5+×1=．
∴ X的数学期望为．………………………………………………………12分
17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，
∵ △PAB为等边三角形，
∴ PO⊥AB．①
又平面PAB⊥平面ABCD，
∴ PO⊥平面ABCD，
∴ PO⊥AD．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD⊥AB．②
∵ AB与PO交于点O，
由①②得：AD⊥平面PAB，
∴ 平面PAD⊥平面PAB． ……………………………………………………6分
（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3，
∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0，)，D(-1，3，0)．
∴ =(2，-2，0)，=(1，0，)，=(0，3，0)，
C
D
P
F
A
B
z
可求得平面ADP的法向量n=(，0，-1)，
若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则
sinθ=|cos|=，
又由图形可知，θ为锐角，
∴cosθ=．
∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为． …………………………12分
18．解：（Ⅰ）由图知：，解得ω=2．
∵ ，
∴ ，即．
由，得．
∴ ．
∴ ，
即函数y=g(x)的解析式为g(x)=． ………………………………6分
（Ⅱ）∵ 2sin2=，
∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+)，
∵ cos(A+B)=-cosC，sin(2C+)=cos2C，
于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，
解得cosC=或1（舍），
∴ C=．
由正弦定理得：=2R=4，解得c=2，
于是由余弦定理得：cosC==，
∴ a2+b2=12-ab≥2ab，
∴ ab≤4(当且仅当a=b时等号成立)．
∴ S△ABC=absinC=ab≤．
∴ △ABC的面积的最大值为． ………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，
解得d=2．……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，
∴ =．
∴ Tn=
=
=≥，
又∵ 不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，
∴ ≥，
化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分
（Ⅲ）由d=2，得 an=a1+2n-2，
又∵ =1+=，
又函数在和上分别是单调减函数，
且时y<1；时y>1．
∵ 对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，
∴ 3<<4，
解得-60)，Q(x2，y2)(y2<0)，
直线的方程可设为：x=my+1，
代入椭圆方程得：(m2+4)y2+2my-3=0
∴ y1+y2=，y1y2=，
而x1x2=(my1+1)(my2+1)=，
∴ =x1x2+y1y2=，
即≤≤，解得≤m2≤1；
∵ ；；
又∵ ，
∴
，
∴ 当≤m2≤1时，解得≤t≤．…………………………………13分
21．解：（Ⅰ）∵ =，
∴ 当2x-1>0，即x>时，>0，于是f (x)在上单调递增；
∴ 当2x-1<0，即x<时，<0，于是 (x)在上单调递减．
∵ m>0，∴ m+2>2．
①m≤≤m+2，即0时，f (x)在[m，m+2]上单调递增，∴f (x)min=f (m)=；
∴ 综上所述：当0时，f (x)min=．
…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，
则由题意得F(x)=(x>1)，
==(x>1)，
①当t≤e2时，e2x-t≥0成立，则x>1时，≥0，
即F(x)在上单增，
∴ F(1)=e2-2t≥0，即t≤，故t≤．
②当t>e2时 ，=0得x=或lnt．
∴ F(x)在(1，lnt)上单减，在(lnt，+)上单增，
∴ F(x)min=F(lnt)=-2tln(lnt)-t<0．∴不成立．
∴ 综上所述：t≤．………………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x>0时，≥2e，
∴ ≤ (x>0)，
∴ ≤．
∴
≤
<
=
=
<．…………………………………………………………14分
