【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版7-1不等关系与不等式学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版7-1不等关系与不等式学案

‎§7.1 不等关系与不等式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.‎ ‎2.了解不等式(组)的实际背景.‎ 以理解不等式的性质为主,本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质;以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.属低档题.‎ ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 (a,b∈R)‎ ‎(2)作商法 (a∈R,b>0)‎ ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n>1)‎ a,b同为正数 可开方性 a>b>0⇒> ‎(n∈N+,n>1)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b,ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0,m>0,则 ‎①<;>(b-m>0).‎ ‎②>;<(b-m>0).‎ 概念方法微思考 ‎1.若a>b,且a与b都不为0,则与的大小关系确定吗?‎ 提示 不确定.若a>b,ab>0,则<,即若a与b同号,则分子相同,分母大的反而小;若a>0>b,则 >,即正数大于负数.‎ ‎2.两个同向不等式可以相加和相乘吗?‎ 提示 可以相加但不一定能相乘,例如2>-1,-1>-3.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.( × )‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × )‎ ‎(4)a>b>0,c>d>0⇒>.( √ )‎ ‎(5)ab>0,a>b⇔<.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ->0⇒>⇒a>b⇒a2>b2,‎ 但由a2-b2>0⇏->0.‎ ‎3.设bb+d D.a+d>b+c 答案 C 解析 由同向不等式具有可加性可知C正确.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.若a>b>0,c0 B.-<0‎ C.> D.< 答案 D 解析 ∵cac,‎ 又∵cd>0,∴>,即>.‎ ‎5.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不一定成立,如a=6,b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎6.若-<α<β<,则α-β的取值范围是__________.‎ 答案 (-π,0)‎ 解析 由-<α<,-<-β<,α<β,‎ 得-π<α-β<0.‎ 题型一 比较两个数(式)的大小 例1 (1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(  )‎ A.pq D.p≥q 答案 B 解析 (作差法)p-q=+-a-b ‎=+=(b2-a2)· ‎==,‎ 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.‎ 若a=b,则p-q=0,故p=q;‎ 若a≠b,则p-q<0,故pb>0,比较aabb与abba的大小.‎ 解 ∵==a-b,‎ 又a>b>0,故>1,a-b>0,‎ ‎∴a-b>1,即>1,‎ 又abba>0,∴aabb>abba,‎ ‎∴aabb与abba的大小关系为:aabb>abba.‎ 思维升华 比较大小的常用方法 ‎(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④结论.‎ ‎(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论.‎ ‎(3)函数的单调性法.‎ 跟踪训练1 (1)已知p∈R,M=(2p+1)(p-3),N=(p-6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为________.‎ 答案 M>N 解析 因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N.‎ ‎(2)若a>0,且a≠7,则(  )‎ A.77aa<7aa7‎ B.77aa=7aa7‎ C.77aa>7aa7‎ D.77aa与7aa7的大小不确定 答案 C 解析 =77-aaa-7=7-a,‎ 则当a>7时,0<<1,7-a<0,‎ 则7-a>1,∴77aa>7aa7;‎ 当01,7-a>0,‎ 则7-a>1,∴77aa>7aa7.‎ 综上,77aa>7aa7.‎ 题型二 不等式的性质 例2 (1)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中正确的是(  )‎ A.若a>b,c≠0,则ac>bc B.若a>b,则ac2>bc2‎ C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,则< 答案 C 解析 对于选项A,当c<0时,不正确;‎ 对于选项B,当c=0时,不正确;‎ 对于选项C,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴一定有a>b.故选项C正确;‎ 对于选项D,当a>0,b<0时,不正确.‎ ‎(2)已知四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;‎ ‎④a>b>0,能推出<的是________.(填序号)‎ 答案 ①②④‎ 解析 运用倒数法则,a>b,ab>0⇒<,②④正确.又正数大于负数,所以①正确.‎ 思维升华 常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.‎ 跟踪训练2 (1)已知a,b,c满足cac B.c(b-a)<0‎ C.cb20‎ 答案 A 解析 由c0.‎ 由b>c,得ab>ac一定成立.‎ ‎(2)若<<0,则下列不等式:‎ ‎①a+b|b|;③a0,‎ 所以a+bb>0,给出下列四个不等式:‎ ‎①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(  )‎ A.①②③ B.①②④‎ C.①③④ D.②③④‎ 答案 A 解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立;‎ 由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数,‎ ‎∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;‎ ‎∵a>b>0,∴>,‎ ‎∴()2-(-)2‎ ‎=2-2b=2(-)>0,‎ ‎∴>-,③成立;‎ 若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,‎ a3+b3<2a2b,④不成立.‎ 故选A.‎ 方法二 令a=3,b=2,‎ 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立,故选A.‎ 命题点2 求代数式的取值范围 例4 已知-1 B.a2bn 答案 C 解析 (特值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知A,B,D项均不正确;‎ C项,<⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)‎ ‎⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|,‎ ‎∵ab,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b C.若<,则ab,c>d,则a-c>b-d 答案 C 解析 A项,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;‎ B项,当c<0时,ac>bc⇒a0,所以ab2 B.1>b>a C.+<2 D.aeb>bea 答案 D 解析 由题意知,ba>1,+>2,‎ ‎∵beb>0,-b>-a>0‎ ‎∴-bea>-aeb,∴aeb>bea,故选D.‎ ‎3.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(  )‎ A.a+>b+ B.> C.a->b- D.> 答案 A 解析 取a=2,b=1,排除B与D;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以,当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立,故选A.‎ ‎4.(2018·沈阳模拟)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是(  )‎ A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|‎ 答案 C 解析 ∵x>y>z且x+y+z=0,‎ ‎∴3x>x+y+z=0,3z0,z<0,‎ 又y>z,∴xy>xz.‎ ‎5.设x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则(  )‎ A.P>Q B.P0,所以P>2;‎ 又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x≤1,‎ 所以Q≤2.于是P>Q.故选A.‎ ‎6.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是(  )‎ A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<π C.-<2α-β< D.0<2α-β<π 答案 C 解析  ∵-<α<,∴-π<2α<π.‎ ‎∵-<β<,∴-<-β<,‎ ‎∴-<2α-β<.‎ 又α-β<0,α<,∴2α-β<.‎ 故-<2α-β<.‎ ‎7.设0a,B不对;‎ a>b>0⇒a2>ab,D不对,故选C.‎ ‎8.若a=,b=,c=,则(  )‎ A.ae),y′=,‎ 易知当x>e时,函数f(x)单调递减.‎ 因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即cb;==log6251 024>1,‎ 所以b>c.即cay(0ln(y2+1) B.sin x>sin y C.x3 答案 C 解析 方法一 因为实数x,y满足ax>ay(0bln a B.aln bbea,故选B.‎ 二、填空题 ‎11.已知a+b>0,则+与+的大小关系是________.‎ 答案 +≥+ 解析 +-=+ ‎=(a-b)·=.‎ ‎∵a+b>0,(a-b)2≥0,‎ ‎∴≥0.‎ ‎∴+≥+.‎ ‎12.已知有三个条件:①ac2>bc2;②>;③a2>b2,其中能成为a>b的充分条件的是________.‎ 答案 ①‎ 解析 由ac2>bc2可知c2>0,即a>b,故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件;②当c<0时,ab的充分条件.‎ ‎13.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:‎ ‎①若ab>0,bc-ad>0,则->0;‎ ‎②若ab>0,->0,则bc-ad>0;‎ ‎③若bc-ad>0,->0,则ab>0.‎ 其中正确的命题是________.(填序号)‎ 答案 ①②③‎ 解析 ∵ab>0,bc-ad>0,‎ ‎∴-=>0,∴①正确;‎ ‎∵ab>0,又->0,即>0,‎ ‎∴bc-ad>0,∴②正确;‎ ‎∵bc-ad>0,又->0,即>0,‎ ‎∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确.‎ ‎14.设α∈,T1=cos(1+α),T2=cos(1-α),则T1与T2的大小关系为________.‎ 答案 T10,求证:≤;‎ ‎(2)已知c>a>b>0,求证:>.‎ 证明 (1)∵bc≥ad,bd>0,∴≥,‎ ‎∴+1≥+1,∴≤.‎ ‎(2)∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0.‎ ⇒< ‎⇒⇒>.‎ ‎16.已知1
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