2013天津卷（文）数学试题

2013天津卷（文）数学试题

‎2013·天津卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知集合A＝{x∈||x|≤2}，B＝{x∈|x≤1}，则A∩B＝(　　)‎ A．(－∞，2] B．[1，2]‎ C．[－2，2] D．[－2，1]‎ ‎1．D　[解析] A∩B＝{x∈|－2≤x≤2}∩{x∈|x≤1}＝{x∈|－2≤x≤1}．‎ ‎2． 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)‎ A．－7 B．－4‎ C．1 D．2‎ ‎2．A　[解析] 可行域如图：‎ 联立得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.‎ ‎3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)‎ 图1－1‎ A．7 B．6‎ C．5 D．4‎ ‎3．D　[解析] 当n＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1；当n＝2时，S＝－1＋(－1)2×2＝1；当n＝3时，S＝1＋(－1)3×3＝－2；当n＝4时，S＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n＝4.‎ ‎4． 设a，b∈，则“(a－b)·a2<0”是“a0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．‎ ‎11．x2－＝1　[解析] 由抛物线的准线方程为x＝－2，得a2＋b2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得＝2，得a＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎12． 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ ‎12.　[解析] 由题意得＝－＝＋－＝－，＝＋，‎ 所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1－2＋||×1×＝1，解之得||＝或0(舍去)．‎ ‎13． 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．‎ 图1－2‎ ‎13.　[解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝5.由切割线定理得AE2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，‎ 由cos∠ABE＝－cos∠DAB，‎ 得－＝，‎ 即－＝，解之得BD＝.‎ ‎14． 设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．‎ ‎14.　[解析] ＋＝＋＝＋＋≥＋2≥－＋1＝.‎ ‎15．， 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z 评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1，1，2)‎ ‎(2，1，1)‎ ‎(2，2，2)‎ ‎(1，1，1)‎ ‎(1，2，1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1，2，2)‎ ‎(2，1，1)‎ ‎(2，2，1)‎ ‎(1，1，1)‎ ‎(2，1，2)‎ ‎(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎(i)用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”．求事件B发生的概率．‎ ‎15．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6.‎ 从而可估计该批产品的一等品率为0.6.‎ ‎(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．‎ ‎(ii)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}, 共6种．‎ 所以P(B)＝＝.‎ ‎16．， 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求sin2B－的值．‎ ‎16．解：(1)在△ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝，可得b＝.‎ ‎(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得cos 2B＝2cos2 B－1＝－，sin 2B＝2sin Bcos B＝.‎ 所以sin2B－＝sin 2Bcos－cos 2Bsin＝.‎ ‎17．，、 如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．‎ ‎(1)证明EF∥平面A1CD；‎ ‎(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ 图1－3‎ ‎17．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.‎ ‎(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.‎ ‎(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．‎ 设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.‎ 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.‎ ‎18．， 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．‎ ‎18．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，‎ 代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝.又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．‎ 由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)‎ ‎＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2‎ ‎＝6＋.‎ 由已知得6＋＝8，解得k＝±.‎ ‎19． 已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明Sn＋≤(n∈*)．‎ ‎19．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3，4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×－n－1＝(－1)n－1·.‎ ‎(2)证明：Sn＝1－－n，Sn＋＝1－－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.‎ 当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.‎ 故对于n∈*，有Sn＋≤.‎ ‎20． 设a∈[－2，0]，已知函数f(x)＝ ‎(1)证明f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；‎ ‎(2)设曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1，2，3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明x1＋x2＋x3>－.‎ ‎20．解：(1)证明：设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝x3－x2＋ax(x≥0)，‎ ‎①f′1(x)＝3x2－(a＋5)，a∈[－2，0]，从而当－11时，f′2(x)>0，即函数f2(x)在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ 综合①②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ ‎(2)证明：由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，内单调递减，在区间，＋∞内单调递增，且f′2(0)－f′1(0)＝a＋a＋5>0.因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．结合图像不妨设x1<0－＋.‎ 设t＝，则a＝.‎ 因为a∈[－2，0]，所以t∈，，‎ 故x1＋x2＋x3>－t＋＝(t－1)2－≥－，即x1＋x2＋x3>－.‎