2020届二轮复习常用数学方法——分离变量法学案（全国通用）

2020届二轮复习常用数学方法——分离变量法学案（全国通用）

高考数学解题技巧（方法类）‎ ‎8．分离变量法 一、题型与方法介绍 分离变量法是高考数学中一种十分常用的方法，高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系．‎ 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法．两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知．‎ ‎ 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题．分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循．以下定理均为已知的范围，求的范围：‎ ‎ 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大值）．‎ ‎ 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）．‎ ‎ 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）．‎ 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域．‎ 二、方法技巧与例题解析 例1． 已知函数,且恒成立,求的取值范围．‎ ‎【解析】方法一 (利用二次函数):问题转化为不等式组恒成立． ‎ 在上的最大值与最小值，利用以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性，此方法比较复杂，此处略．‎ 方法二(分离变量法):问题转化为在上恒成立(除时注意符号) ． ‎ 由定理1得．以下过程略．‎ 例2．已知函数若存在单调递增区间，求的取值范围．‎ ‎【分析】问题转化为在上有解,即在上有解．‎ 解：问题转化为在上有(存在)解 ® 由定理1．2得．‎ 由，所以．‎ 例3．已知函数的导函数为，．‎ ‎（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围．‎ 解：（1） ‎ ‎ 即对一切恒成立即对一切恒成立 记，则在上恒成立，在上恒大于0，‎ 在上单调递增， ‎ ‎（2）即对一切恒成立 若，则不满足 ‎ 若，则对一切恒成立 若，则对一切恒成立 ‎ ．‎ 综上所述：．‎ ‎【巩固练习1】‎ ‎1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。‎ ‎2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。‎ ‎3、已知函数,．若对任意的都有，求实数的取值范围．‎ ‎4、设函数，其中常数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎5、在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。‎ ‎6、求使不等式恒成立的实数a的范围。‎ ‎7、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。‎ ‎8、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【巩固练习2】‎ ‎1、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎2、若f(x)=在上有恒成立，求a的取值范围。‎ ‎3、若f(x)=在上有恒成立，求a的取值范围。‎ ‎4、若方程有解，请求a的取值范围 ‎5、已知是上的单调递增函数，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6、求使不等式恒成立的实数a的范围。‎ ‎【巩固练习1】答案 ‎1、解：根据题意得：在上恒成立，‎ 即：在上恒成立，‎ 设，则 当时， 所以 ‎2、解：令， 所以原不等式可化为：，‎ 要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3、解：即 ‎ ‎ ‎ 若，则恒成立， ‎ 若，则，，‎ 综上所述：‎ ‎4、解：（1），又，由得：‎ ‎，由得，因此的单调增区间有与，的单调减区间有 ‎（2）时，恒成立时，恒成立。‎ 时，恒成立时，恒成立，‎ ‎5、解: ，‎ ‎，恒成立，，‎ 即恒成立，‎ ‎6、解：由于函，令，则由于的最大值取不到，即a取也满足条件，所以 ‎7、解：如果时，恒有意义，对恒成立．‎ 恒成立。令，‎ 又则对恒成立，‎ 又在上为减函数，，。‎ ‎8、分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。‎ 解：是增函数对于任意恒成立 对于任意恒成立 对于任意恒成立，‎ 令，，所以原问题，‎ 又即 易求得。‎ ‎【巩固练习2】答案 ‎1、解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，设则 ‎∴‎ ‎2、解：恒成立，即在上恒成立,‎ 只需，解得 ‎3、解：在上恒成立 ‎ 在上恒成立 ‎4、解:令 (t>0)，则 ‎5、解：在上恒成立在上恒成立 ‎6、解：由于函，显然函数有最大值，。‎