高中数学讲义微专题68 离心率问题

高中数学讲义微专题68 离心率问题

微专题 68 圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面 也体现了参数 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式： （其中 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆： （2）双曲线： 2、圆锥曲线中 的几何性质及联系 （1）椭圆： ， ① ：长轴长，也是同一点的焦半径的和： ② ：短轴长 ③ 椭圆的焦距 （2）双曲线： ① ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值： ② ：虚轴长 ③ 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数 的比例关系（只需找 出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形）， 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 有关，另一条边为焦距。从 而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围 有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 表示，且点坐标的 范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的 值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： ，双 曲线： 二、典型例题： ,a c ce a c  0,1e  1,+e  , ,a b c 2 2 2a b c  2a 1 2 2PF PF a  2b 2 :c 2 2 2c b a  2a 1 2 2PF PF a  2b 2 :c , ,a b c a , ,a b c , ,a b c , ,a b c  0,1e  1,+e  例 1：设 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 思路：本题存在焦点三角形 ，由线 段 的 中 点 在 轴 上 ， 为 中 点 可 得 轴 ， 从 而 ， 又 因 为 ，则直 角三角形 中， ，且 ，所 以 答 案 ： A 小 炼 有 话 说 ： 在 圆 锥 曲 线 中 ， 要 注 意 为 中 点 是 一 个 隐 含 条 件 ， 如 果 图 中 存 在 其 它 中 点 ， 则 有 可 能 与 搭 配 形 成 三 角 形 的 中 位 线 。 例 2：椭圆 与渐近线为 的双曲线有相同的焦点 , 为它们的一个公共点,且 ,则椭圆的离心率为________ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设 ，在双曲线中， ，不妨设 在第一象限，则由椭圆定义可得： ， 由双曲线定义可得： ，因为 ， 而 代入可得： 答案： 1 2,F F   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    P C 1PF y 1 2 30PF F   3 3 3 6 1 3 1 6 1 2PF F 1PF y O 1 2F F 2PF y∥ 2 1 2PF F F 1 2 30PF F   1 2PF F 1 2 1 2: : 2 :1: 3PF PF F F  1 2 1 22 ,2a PF PF c F F   1 2 1 2 2 3 2 3 F Fc ce a a PF PF     O 1 2F F O  2 2 2 1 0 2 312 x y bb    2 0x y  1 2,F F P 1 2 90F PF   1 2 2F F c ' ' ' ' 1 : : 2 :1: 52 b a b ca    P 1 2 4 3PF PF  ' 1 2 42 5 PF PF a c   1 2 90F PF   2 2 2 1 2 4PF PF c      2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 = 2 PF PF PF PFPF PF    2 21648 8 105 c c c    30 6 ce a   30 6 小 炼 有 话 说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线 的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。 例 3：如图所示，已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 交双曲线 的渐近线于 两点，且直线 的倾斜角是渐近线 倾斜角的 2 倍，若 ，则该 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用 表示，再寻找一个等量关系解出 的关系。双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ， 由直 线 的 倾 斜 角 是 渐 近 线 倾 斜 角 的 2 倍 可 得 ： ，确 定 直 线 l 的 方 程 为 ，与 渐 近 线 联 立 方 程 得 将 转 化 为 坐 标 语 言 ，则 ， 即 ， 解 得 ， 从 而 答案：B 例 4：设 分别为双曲线 的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到 ，进而与 找到联系，计算出 的比例，从而求得 解：   2 2 2 2 1 0x y a ba b    F F l ,A B l OA 2AF FB  3 2 4 2 3 3 30 5 5 2 , ,a b c , ,a b c by xa  l OA 2 2 2 2 2 2 1 OA b abak b a b a     2 2 2aby x ca b   2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 aby x c abc abca b y or yb a b a by a             2AF FB  2A By y  2 2 2 2 2 22 3 abc abc a b a b   : : 3 :1: 2a b c  2 33e  21 FF， )0,0(12 2 2 2  bab y a x P ,4 9||||,3|||| 2121 abPFPFbPFPF  3 4 3 5 4 9 1 2 2PF PF a  ,4 9||||,3|||| 2121 abPFPFbPFPF  ,a b e 1 2 2PF PF a  即 解得： （舍）或 答案：B 例 5：如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个 顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点 T，线段 与椭圆的交点 恰为线 段 的中点，则该椭圆的离心率为 . 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意 义，所以考虑将点的坐标用 进行表示，在利用条件求出离 心。首先直线 的方程含 ，联立方程后交点 的 坐标可用 进行表示（ ），则 中点 ，再利用 点在椭圆上即可求出离心率 解：直线 的方程为： ； 直线 的方程为： ，联立方程可得： 解得： ， 则 在椭圆 上， 解得： 答案： 例 6：已知 F 是双曲线 的左焦    2 2 1 2 1 2 1 24PF PF PF PF PF PF      2 2 2 29 4 9 9 9 4 0b a ab b ab a      2 9 9 4 0b b a a         1 3 b a   4 3 b a  : : 3: 4 :5a b c  5 3 ce a   xOy 1 2 1 2, , ,A A B B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    F 1 2A B 1B F OT M OT , ,a b c 1 2 1,A B B F , ,a b c T , ,a b c  2 , b a cacT a c a c       OT    , 2 b a cacM a c a c        M e 1 2A B 1x y a b  1B F 1x y c b  bx ay ab cy bx bc        2 ( )( , )ac b a cT a c a c    ( )( , )2( ) ac b a cM a c a c    2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1, 10 3 0, 10 3 0( ) 4( ) c a c c ac a e ea c a c          2 7 5e   2 7 5e   2 2 2 1x a b 2y－ ＝  0, 0a b  点， 是该双曲线的右顶点，过点 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 思路：从图中可观察到若 为锐角三角形，只需要 为锐角。由对称性可得只需 即可。且 均可用 表示， 是通径的一半，得： ， ，所以 ， 即 答案：B 小 炼 有 话 说 ：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角 的问题转变为边的比值问题 （2）本题还可以从直线 的斜率入手， ，利用 即可求出 离心率 例 7：已知椭圆 的左、 右焦点分别为 ， 若 椭 圆 上 存 在 点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 思路： 为焦点三角形 的内角，且对边为焦半径 ，所以利 用正弦定理对等式变形： ，再由 解得： ，再利用焦半径的范围为 可得（由于依 题 意 ， 非 左 右 顶 点 ， 所 以 焦 半 径 取 不 到 边 界 值 ） ： E F x ,A B ABE e  1,  1,2  1,1 2  2,1 2 ABE AEB 0, 4AEF      ,AF FE , ,a b c AF 2bAF a FE a c    2 tan 1AF bAEF FE a a c     2 2 1 1 2c a c a ea a c a         1,2e AE   2 ,0 , , bE a A c a      1,0AEk     2 2 2 2 1 0x y a ba b       1 2,0 , ,0F c F c P 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   0, 2 1 2 ,12       20, 2        2 1,1 1 2 2 1,PF F PF F  1 2PF F 2 1,PF PF 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   12 1 1 2 2 sin sin PFPF F c c PF F a PF a     2 1 2PF PF a  2 2 2aPF a c   ,a c a c  P ,a c a c  ，解得 答案：D 例 8：已知 是椭圆 的左右焦点，若椭圆上存在点 ，使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路一：考虑在椭圆上的点 与焦点连线所成的角中，当 位于椭圆短轴顶点位置时， 达到最大值。所以若椭圆上存在 的点 ，则短轴顶点与焦点连线所成的 角 ， 考 虑 该 角 与 的 关 系 ， 由 椭 圆 对 称 性 可 知 ， ， 所 以 ，即 ，进而 即 ， 解得 ，再由 可得 思 路 二 ： 由 可 得 ， 进 而 想 到 焦 点 三 角 形 的 面 积 ： ， 另 一 方 面 ： ， 从 而 ，因为 在椭圆上，所以 ，即 ， 再同思路一可解得： 思路三： 可想到 ，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设 ， 则 有 ， 则 ，即 点一定在以 为圆心， 为半径的圆上，所以只需要该 圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径 时才可有交点，所以 ，同思路一 可解得 注：本题对 在圆上也可由 判定出 在以 为直径的圆上，进而写出圆方程 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 1 0 a c a a caa c a ca c a a ac c e e                      2 1,1e  1 2,F F   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    P 1 2PF PF 5 ,15      2 ,12      50, 5      20, 2      P P 1 2F PF 1 2PF PF P 90   , ,a b c 2 452OPF     2 2tan 1OF cOPF OP b    2 2 2 2 2c b c b c a c      2 2 1 2 c a  2 1 2e  2 2e   0,1e 2 ,12e      1 2PF PF 1 2 90F PF   1 2F PF 1 2 2 21 2tan 2F PF F PFS b b  1 2 1 2 1 2F PF P PS F F y c y     2 2 P P bc y b y c    P  ,Py b b  2 P by b b cc    2 ,12e      1 2PF PF 1 2 0PF PF        1 2, , ,0 , ,0P x y F c F c    1 2, , ,PF c x y PF c x y        2 2 2 1 2 0PF PF x y c      P O c r b c b 2 ,12e      P 1 2PF PF P 1 2F F 思路四：开始同思路三一样，得到 所在圆方程为 ，因为 在椭圆上，所以联 立圆和椭圆方程： 代入消去 可得： ，整理 后可得： ，由 可得： ，同思路一即可 解得： 答案： 小 炼 有 话 说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同 的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐 标方程用代数方式计算求解 例 9：设点 分别为椭圆 的左右焦点，若在椭圆上存在异于点 的点 ，使得 ，其中 为坐标原点，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点 ”，则 的横纵坐标分别位于 中，所以致力于计算 的坐标，设 ，题目中 ，由 可得 也在以 为 直 径 的 圆 上 。 即 ， 所 以 联 立 方 程 ： ， 即 ， 由 已 知 可 得 也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得： ，再根据 的范围可得： ，解得 答案：D P 2 2 2x y c  P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x a y a b x y c      x  2 2 2 2 2 2 2b c y a y a b   4 2 2 4 2 2 bc y b y c    ,y b b  4 2 2 2 by b c bc    2 ,12e      2 ,12e      1 2,A A   2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,A A P 2PO PA O e 10, 2      20, 2       1 ,12      2 ,12       P P    , , ,a a b b  P  0 0,P x y  2 ,0A a 2PO PA P 2OA 2 2 2 2 4 a ax y      2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 1 0 1 a ax y b x ax bax y a b                   2 2 2 2 0c x ax ba     2 ,0A a 2 2 2 0 02 2 a b abax xc c   0x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 aba a b c a c c ec          2 ,12e      小 炼 有 话 说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一 交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标 例 10：如图，已知双曲线 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ， 点 为双曲线的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该双曲线 离心率 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 思路：本题与焦半径相关，所以考虑 的几何含义， 可得 为直角三角形， 且 ，结合 可得 ，因为 关 于原点对称，所以 即为 的左焦半径。所以有 ， 则 ，即关于 的函数，在 求值域即 可： ， 所以 答案：B 三、历年好题精选 1、已知双曲线 ， ， 是双曲线上关于原点对称的两点， 是双 曲线上的动点，直线 ， 的斜率分别为 ，若 的最小值为 ， 则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2、（2016，新余一中模拟）已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物 线的焦点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦 点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） )0,0(12 2 2 2  bab y a x A B F BFAF  ABF ]6,12[   e ]32,3[  ]13,2[  ]32,2[  ]13,3[  ,a c BFAF  ABF 2 2AB OF c  ABF 2 sin , 2 cosAF c BF c   ,A B AF B  2 2 cos sina BF AF c      2 1 1 2 cos sin 2 cos 4 ce a            ]6,12[   5 6 2 1 3 1 2, cos , 2 cos ,4 3 12 4 4 2 4 2 2                                       2, 3 1e     2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    M N P PM PN 1 2 1 2, ( 0)k k k k  1 2k k 1 2 5 2 3 2 3 2 A 2 4x y B P PA m PB m P ,A B O x y A B F A. B. C. D. 3、已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 且垂直于 轴的 直线与双曲线交于 两点，若 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、设 分别是双曲线 的左右焦点，若双曲线左支上存在一点 ， 使得 ， 为坐标原点，且 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 5、（2016 四川高三第一次联考）椭圆 和圆 ，（ 为椭圆的半焦距）对任意 恒有四个交点，则椭圆的离 心率 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆 引切线 ，设内层椭圆方程为 ，外层椭 圆方程为 若 的斜率之积为 ，则椭圆的离心率 为_______ 7、（2015，新课标 II）已知 为双曲线 的左右顶点，点 在 上， 为等腰三角 形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ） 2 1 2 1 2  5 1 2  5 1 1 2,F F   2 2 2 2 1 0x y a ba b    1F x ,A B 2ABF  2 1,   2 1,   1,1 2  3 1,  1 2,F F   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    M  1 1 0F M OM OF     O 1 2 3 3MF MF  3 1 3 1 2  6 2 6 2 2    2 2 2 2 1 0x y a ba b    2 2 2 22 btx y c      c  1,2t  e 40, 5      4 ,15      170, 17      17 4,17 5       ,AC BD   2 2 2 2 1 0x y a ba b          2 2 2 2 1 0, 1x y a b m ma mb      ,AC BD 9 16 ,A B E M E ABM 120 E A. B. C. D. 8、（2016，宜昌第一中学 12 月考）已知双曲线 的左、右焦点分别 为 ，点 在双曲线的左支上，且 ，则此双曲线离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 9、（2015，山东）平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与 抛物线 交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 离心率为 ________ 10、（2014，湖北）已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. B. C. D. 11、（2014，浙江）设直线 与双曲线 的 两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ，则该双曲线的离心率 是______ 解得： 习题答案： 1、答案：B. 解析：设 ，则 ， 两式相减得: ， 而 ， 则 ， . 5 2 3 2   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    1 2,F F M 2 17MF MF 4 3 5 3 2 7 3 xOy   2 2 1 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     2 2 : 2 0C x py p  , ,O A B OAB 2C 1C 1 2,F F P 1 2 3F PF   4 3 3 2 3 3 3 2  3 0 0x y m m      2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    ,A B  ,0P m PA PB ),(),,(),,( tsPqpNqpM  1,1 2 2 2 2 2 2 2 2  b t a s b q a p 2 2 22 22 b a tq sp   2 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2 1q t q t q t q t q t b bk k p s p s p s p s p s a a                   2b a 2 2 2 2 2 2 2 2 5 54 4 4 5 4 4 2b a c a a a c e e          2、答案：A 解析：由抛物线方程可得： ，过 作准线的垂线，垂足为 ，所以 ，所以 ，可知 取得最大值时， 最小，数形结合 可知当 与抛物线相切时， 最小。设 ，联立方程 ，即 ， 则 ， 此 时 ， 则 ， 所 以 ，则 3、解析： 为钝角三角形，且 即 ， 即 答案：B 4、答案：A 思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形 的特点，从 入 手 ， 可 得 ， 数 形 结 合 可 得 四 边 形 为 菱 形 ， 所 以 ， 可 判 定 为 直 角 三 角 形 。 ，可得 5、答案：B 解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则 对任意 恒成立，即 ， 平方变形后可得：    0, 1 , 0,1A B P M PB PM 1 sin PAm PB PAM  m PAM AP PAM : 1AP y kx  2 4 1 x y y kx      2 4 4 0x kx   0 1k     2,1P 2 2, 2PA PB  2 2 2 2 2 1a PA PB a       1 2 1 2 1 ce a     2ABF 2 2 2 1, 45AF BF AF F    1 1 2AF F F 2 2 22 2 0b c c a aca      2 2 1 0 1 2e e e      1 2MF F  1 1 0F M OM OF      1 1F M OM OF    1OMPF 1 2OM OF OF  1 2MF F 1 2 1 2: 3 :3 3 , 3MF MF MF k MF k     2 2 1 2 1 2 2 3F F MF MF k   1 2 2 1 2 2 3 3 12 3 3 F Fc ke a MF MF k k        22 22 bt c a bt c b        1,2t  2 22 b c a b c b     2 2 22 2 5 4 05 4 0 4 ,11 517 0 17 e ec ac e ea c                   6、答案： 解析：设切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，联立切线 与 内 层 椭 圆 方 程 ， 得 ： ， 所 以 ， 由 可 得 ： ， 同 理 ，所以 。即 7、答案：D 解析：设双曲线方程为 ，如 图所示： ，过点 作 轴 于 ， 在 中 ， ，所以 ，代入双曲 线 方 程 可 得 ： 可 得 ： ，从而 8、答案：A 解析：由双曲线可知 ，所以 ，因为点 ， 即 ，所以 ，即最大值为 9、答案： 解 析 ： 由 方 程 可 得 其 渐 近 线 方 程 为 ， 与 抛 物 线 联 立 可 解 得 交 点 ， 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 7 4 AC  1y k x ma  BD 2y k x mb  AC         1 2 2 2 y k x ma bx ay ab      2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 1 1 12 0b a k x ma k x m a k a b     0  2 2 1 2 2 1 1 bk a m    2 2 2 2 2 1bk ma   4 2 2 2 1 2 1 24 2 9 16 b bk k k ka a     : : 4 :3: 7a b c  7 4e    2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    2 , 120BM AB a ABM     M MN x N Rt BMN , 3BN a MN a   2 , 3M a a    22 2 2 32 1 aa a b  1 : : 1:1: 2a a b cb    2ce a  2 1 16 2MF MF MF a   1 3 aMF  1MF c a  3 a c a  4 3 c a  4 3 3 2 1C by xa  2 2 2 2 2 2 2 2( , ), ( , )pb pb pb pbA Ba a a a ,02 p     ， 由 及 ， 可 得 ： ， 即 ，从而 ，所以 10、答案：A 解析：设椭圆半长轴长为 ，双曲线半实轴长为 ，椭圆，双曲线离心率分别为 不妨设 在第一象限 由双曲线与椭圆性质可得： 由余弦定理可得： 代入 可得： 由柯西不等式可得： 11、答案： 解析：双曲线的渐近线方程为： ，分别联立 方程： 可解得： 2 2 22 2 42 2 40 AF pb p b aak pb ab a      AF OB OB bk a  2 24 4 b a a ab b   2 2 2 2 24 4 : 5: 4b a a b a    2 2: 9 : 4c a  3 2e  1a 2a 1 2,e e P 1 2 1 1 2 22 , 2PF PF a PF PF a    2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosF F PF PF PF PF F PF   2 2 1 2 1 2PF PF PF PF        2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22PF PF PF PF PF PF a a            2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4PF PF PF PF PF PF a a        2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 34 3 4c a a e e     2 2 2 1 21 2 2 2 1 2 1 11 1 1 34 = + 1 11 13 3 e ee e e e        1 2 1 1 4 3 3e e  5 2 by xa  3 3 , x y m x y m b by x y xa a               , , ,3 3 3 3 ma bm ma bmA Ba b a b a b a b a                 中点 AB 2 2 2 2 2 2 3,9 9 ma mbD b a b a       PD AB   2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 09 3 3 3 2 9 9 PD mb b ak b a bma mb a          2 24 2a b a b    2 2 2 25 5c a b b c b      5 2 ce a  