2011西城中考一模数学试题及答案

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2011西城中考一模数学试题及答案

‎ 北京市西城区2011年初三一模试卷 ‎ 数 学 2011. 5‎ 考生须知 ‎1.本试卷共5页,共五道大题,25道小题,满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2.在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名。‎ ‎3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上,在试卷上作答无效。‎ ‎4.在答题纸上,作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5.考试结束,请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.‎ ‎1. -2的相反数为( ).‎ ‎ A.2 B.-2 C. D.- ‎ ‎2.上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会.据统计自2010年5月1日开幕至 ‎ 5月31日,累计参观人数约为8 030 000人.将8 030 000用科学记数法表示应为 ( ) .‎ ‎ A . ‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D. ‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎3.以方程组的解为坐标的点在( ).‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎4. 右图是正方体的展开图,原正方体相对两个面上的数字和最小是( ).‎ ‎ A. 4 B. 6  C. 7 D. 8 ‎ ‎5.有四张形状、大小和质地完全相同的卡片,每张卡片的正面写有一个算式.将这四张卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张(不放回),接着再随机抽取一张.则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图.则这组数据的众数和中位数分别是( ).‎ ‎ A.7,7 B. 8,7.5 ‎ ‎ C.7,7.5 D. 8,6‎ ‎7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,∠B=30°,‎ ‎ 若AD=CD=6,则AB的长等于(  ).‎ ‎ A.9 B.12 C. D.18‎ ‎8.如图,点A在半径为3的⊙O内,OA=,P为⊙O上一点,‎ ‎ 当∠OPA取最大值时,PA的长等于( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ ‎9.分解因式:= . ‎ ‎10.如图,甲、乙两盏路灯相距20米. 一天晚上,当小明从 ‎ 路灯甲走到距路灯乙底部4米处时,发现自己的身影顶部 ‎ 正好接触到路灯乙的底部.已知小明的身高为1.6米,那么 ‎ 路灯甲的高为 米.‎ ‎11. 定义[]为函数的特征数,下面给出特征数为[,,] 的函数的一些结论:①当时,函数图象的顶点坐标是;②当时,函数在时,随的增大而减小;③无论m取何值,函数图象都经过同一个点. 其中所有的正确结论有 .(填写正确结论的序号) ‎ ‎12. 如图1,小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形,正方形的面积为 ;再把正方形的各边延长一倍得到正方形(如图2),如此进行下去,正方形的面积为 .(用含有n的式子表示,n为正整数)‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.计算: .‎ ‎14.解不等式组 并判断是否为该不等式组的解. ‎ ‎15. 如图,在平面直角坐标系xOy中,一条直线l与x轴相交于点A,‎ ‎ 与y轴相交于点,与正比例函数 y=mx(m≠0)的图象 ‎ 相交于点.‎ ‎(1)求直线l的解析式;(2)求△AOP的面积.‎ ‎16. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF平分∠ABC,AF∥DC,‎ ‎ 连接AC,CF. 求证:(1)AF=CF;(2)CA平分∠DCF.‎ ‎17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,求的值.‎ ‎18.某中学就到校的方式问题对初三年级的所有学生进行了一次调查,并将调查结果制成了表格和扇形统计图,请你根据图表信息完成下列各题:‎ ‎ (1)补全下表:‎ 初三学生人数 步行人数 骑车人数 乘公交车人数 其他方式人数 ‎60‎ ‎ (2)在扇形统计图中,“步行”对应的圆心角 的度数为 °.‎ ‎ ‎ 四、解答题(本题共20分,每小题5分)‎ ‎19.在2011年春运期间,我国南方发生大范围冻雨灾害,导致某地电路出现故障,该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米,抢修车装载着所需材料先从供电局出发,15分钟后,电工乘吉普车从同一地点出发,结果他们同时到达抢修工地.已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍,求这两种车每小时分别行驶多少千米.‎ ‎20.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,为CD边上的点,=3.将纸片沿某条直线折叠,使点B落在点处,点A的对应点为,折痕分别与AD,BC边交于点M,N.‎ ‎ (1)求BN的长;(2)求四边形ABNM的面积. ‎ ‎21.如图,D是⊙O的直径CA延长线上一点,点 B在⊙O上,‎ ‎ 且AB=AD=AO.‎ (1)求证:BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,‎ ‎ △BEF的面积为8,且cos∠BFA=,‎ ‎ 求△ACF的面积.‎ ‎22.我们约定,若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移,或绕其任一边的中点旋转180°得到的,则称△A1是由△A复制的.以下的操作中每一个三角形只可以复制一次,复制过程可以一直进行下去.如图1,由△A复制出△A1,又由△A1复制出△A2,再由△A2复制出△A3,形成了一个大三角形,记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的,通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠.‎ ‎ (1)图1中标出的是一种可能的复制结果,小明发现△A∽△B,其相似比为_________.在图1的基础上继续复制下去得到△C,若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形),则△C中含有______个小三角形;‎ ‎ (2)若△A是正三角形,你认为通过复制能形成的正多边形是________;‎ 图图2‎ ‎ (3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形,在图2的方框内画出草图,并仿照图1作出标记.‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)‎ ‎23.抛物线,a>0,c<0,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)抛物线经过点,Q.‎ ‎① 判断的符号;‎ ‎② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A,点B(点A在点B左侧),请说明,.‎ ‎24.如图1,平面直角坐标系xOy中,A,B.将△OAB绕点O顺时针旋转a角(0°<a<90°)得到△OCD(O,A,B的对应点分别为O,C,D),将△OAB沿轴负方向平移m个单位得到△EFG(m>0,O,A,B的对应点分别为E,F,G),a,m的值恰使点C,D,F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上.‎ ‎(1)∠AOB= °,a= °;‎ ‎(2)求经过点A,B,F的抛物线的解析式;‎ ‎(3)若(2)中抛物线的顶点为M,抛物线与直线EF的另一个交点为H,抛物线上 的点P满足以P,M,F,A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等 ‎(点P不与点H重合),请直接写出满足条件的点P的个数,并求位于直线EF 上方的点P的坐标.‎ ‎25.在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA延长线上的点,BE与AD的交点为P. ‎ ‎ (1)若BD=AC,AE=CD,在图1中画出符合题意的图形,并直接写出∠APE的度数;‎ ‎ (2)若,,求∠APE的度数.‎ 北京市西城区2011年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分标准 2011. 5‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C A B C C D B 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎①③‎ ‎,‎ ‎11题阅卷说明:全对得4分,仅填①或③得2分,其余情况均不得分.‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.解:原式 = ………………………………………………………4分 ‎ =. …………………………………………………………………………5分 ‎①②‎ ‎14.解:‎ 由①得. ………………………………………………………………………1分 ‎ 由②得x≤1.…………………………………………………………………………3分 ‎∴ 原不等式组的解集是<x≤1. ………………………………………………4分 ‎∵ , ‎ ‎∴ 不是该不等式组的解.………………………………………………… 5分 图1‎ ‎15.解:(1)如图1.‎ 设直线的解析式为(k,b为常数且k≠0).‎ ‎ ∵ 直线经过点,点,‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ‎ ∴ 直线的解析式为. ……………………………………………2分 ‎(2)∵ 直线的解析式为,‎ ‎ ∴ 点A的坐标为.………………………………………………………3分 ‎ ∵ 点P的坐标为,‎ ‎ ∴ =.………………………………………5分 ‎16. 证明:如图2.‎ 图2‎ ‎(1)∵ 平分,‎ ‎ ∴ .………………1分 ‎ 在△ABF与△CBF中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △ABF≌△CBF. ………………………………………………………2分 ‎ ∴ .………………………………………………………………3分 ‎(2)∵ ,‎ ‎ ∴ .……………………………………………………… 4分 ‎ ∵ ∥,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ,即平分. ………………………………5分 ‎17. 解:由题意,.…………………………………………1分 ‎ ∴ . ………………………………………………………………………2分 ‎ ∴ 原式 ……………………………………………………3分 ‎ ‎ ‎.…………………………………………………4分 ‎∵ ,‎ ‎∴ 原式.………………………………………………………………5分 ‎18. 解:(1)‎ 初三学生人数 步行人数 骑车人数 乘公交车人数 其它方式人数 ‎300‎ ‎99‎ ‎132‎ ‎9‎ ‎………………………………………………………………………………4分 阅卷说明:每空1分.‎ ‎ (2)72.………………………………………………………………………………5分 四、解答题(本题共20分,每小题5分)‎ ‎19.解:设抢修车每小时行驶千米,则吉普车每小时行驶千米.‎ ‎ .………………………………………………………………………2分 ‎ 解得. ………………………………………………………………………3分 ‎ 经检验,是原方程的解,并且符合题意. ………………………………4分 ‎ ∴ .‎ ‎ 答:抢修车每小时行驶20千米,吉普车每小时行驶30千米.………………………5分 ‎20.解:如图3.‎ ‎(1)由题意,点A与点,点与点分别关于直线对称, ‎ 图3‎ ‎ ∴,. ………………………………………………1分 ‎ 设,则.‎ ‎ ∵ 正方形,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ . ‎ ‎∵ =3,‎ ‎ ∴ . ‎ 解得.‎ ‎ ∴ .……………………………………………………………………2分 ‎ (2)∵ 正方形,‎ ‎∴ AD∥BC,.‎ ‎∵ 点M,N分别在AD,BC边上,‎ ‎∴ 四边形ABNM是直角梯形. ‎ ‎∵ ,,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ,.‎ ‎ ∵ ,,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 在Rt△中,∵,,,‎ ‎∴ .‎ ‎ ∵ ,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 在Rt△中,∵ ,,,‎ ‎ ∴ .…………………………………………………………………4分 ‎ ∴ .…………………5分 图4‎ ‎21.(1)证明:连接BO.(如图4) ‎ ‎ ∵ AB=AD, ‎ ‎∴ ∠D=∠ABD.‎ ‎ ∵ AB=AO,‎ ‎ ∴ ∠ABO=∠AOB.‎ ‎ 又∵ 在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°,‎ ‎ ∴ ∠OBD=90°.‎ ‎∴ BD⊥BO.…………………………………………………………………1分 ‎ ∵ 点B在⊙O上,‎ ‎ ∴ BD是⊙O的切线 . ……………………………………………………2分 ‎(2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF ,‎ ‎ ∴ △ACF∽△BEF . ………………………………………………………3分 ‎ ∵ AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,‎ ‎ ∴ ∠ABC=90°.‎ ‎∵ 在Rt△BFA中,∠ABF=90°,cos∠BFA=,‎ ‎ ∴ .………………………………………………………4分 ‎ 又∵ =8 ,‎ ‎ ∴ =18 . ……………………………………………………………5分 ‎22.解:(1)1∶2,121 .……………………………………………………………………2分 图5‎ ‎ (2)正三角形或正六边形.…………………………………………………………4分 ‎ (3)如图5. …………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ 阅卷说明:第(2)问全对得2分,仅填正三角形或正六边形得1分,其余情况均不得分;第(3)问其它符合题意的图形同样给分.‎ 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)‎ ‎23.(1)证明:∵ ,‎ ‎∴ . ………………………………………1分 ‎∵ a>0,c<0,‎ ‎∴ ,.‎ ‎∴ . ……………………………………………………………2分 图6‎ ‎(2)解:∵ 抛物线经过点P,点Q,‎ ‎ ∴ ‎ ‎① ∵ ,a>0,c<0,‎ ‎∴ ,.‎ ‎∴ <0.………3分 ‎>0.………………………4分 ‎∴ .…………………………………………………………………5分 ‎② 由a>0知抛物线开口向上.‎ ‎∵ ,,‎ ‎∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方.‎ ‎∵ 点A,B的坐标分别为A,B(点A在点B左侧),‎ ‎∴ 由抛物线的示意图可知,对称轴右侧的点B的横坐标满足.(如图6所示)………………………………………6分 ‎∵ 抛物线的对称轴为直线,由抛物线的对称性可,由(1)知,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,即.…………………………………… 7分 ‎24.解:(1)∠AOB= 30 °,a= 60 °.…………………………………………………2分 ‎(2)∵ A,B,△OAB绕点O顺时针旋转a角得到△OCD,(如图7)‎ ‎∴ OA=OB=OC=OD=4.‎ 由(1)得 .‎ ‎∴ 点C与点A关于x轴对称,点C的坐标为.‎ ‎∵ 点C,D,F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ 点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到,‎ ‎∴ ,,点F的坐标为.……………3分 ‎∴ 点F与点A关于y轴对称,可设经过点A,B,F的抛物线的解析式为.‎ ‎∴ 解得 ‎∴ 所求抛物线的解析式为. …………………………………4分 ‎(3)满足条件的点P的个数为 5 .………………………………………………5分 ‎ 抛物线的顶点为. ‎ ‎ ∵ △EFG是由△OAB沿轴负方向平移m个单位得到,‎ ‎∴ ,,∠FEG=∠AOB=30°.‎ ‎∴ 点E的坐标为.‎ 可得直线EF的解析式为. ‎ ‎∵ 点H的横坐标是方程的解,‎ 整理,得.‎ 解得 .‎ ‎∴ 点H的坐标为.‎ 由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为.……………6分 可知△AFM是等边三角形,∠MAF= 60°.‎ 由A,M两点的坐标分别为A,,‎ 可得直线AM的解析式为.‎ 过点H作直线AM的平行线l,设其解析式为(b≠8). ‎ 将点H的坐标代入上式,得 .‎ 解得,直线l的解析式为.‎ ‎∵ 直线l与抛物线的交点的横坐标是方程 的解.‎ 整理,得.解得.‎ ‎∴ 点满足,四边形的面积与四边形MFAH的面积相等.(如图8)……………………………………………7分 ‎ 点关于y轴的对称点也符合题意,其坐标为.………8分 综上所述,位于直线EF上方的点P的坐标分别为,‎ ‎,.‎ 图9‎ ‎25.解:(1)如图9,∠APE= 45 °. ……………………2分 ‎ (2)解法一:如图10,将AE平移到DF,连接BF,EF.‎ ‎ ……………………3分 则四边形AEFD是平行四边形.‎ ‎∴ AD∥EF,AD=EF. ‎ ‎∵ ,,‎ ‎∴ ,.‎ ‎∴ .……………………………………………………4分 ‎∵ ∠C=90°,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ∠C=∠BDF.‎ ‎∴ △ACD∽△BDF.………………5分 ‎ ∴ ,∠1=∠2.‎ 图10‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ∠1+∠3=90°,‎ ‎∴ ∠2+∠3=90°.‎ ‎∴ BF⊥AD .‎ ‎∴ BF⊥EF.…………………………………………………………6分 ‎∴ 在Rt△BEF中,.‎ ‎∴ ∠APE=∠BEF =30°.…………………………………………7分 解法二:如图11,将CA平移到DF,连接AF,BF,EF.………………3分 则四边形ACDF是平行四边形.‎ ‎∵ ∠C=90°,‎ ‎∴ 四边形ACDF是矩形,∠AFD=∠CAF= 90°,∠1+∠2=90°.‎ 图11‎ ‎∵ 在Rt△AEF中,,‎ 在Rt△BDF中,,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°,即∠EFB =90°.‎ ‎∴ ∠AFD=∠EFB. …………………4分 ‎ 又∵ ,‎ ‎ ∴ △ADF∽△EBF. ………………………………………………5分 ‎ ∴ ∠4=∠5.…………………………………………………………6分 ‎ ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5,‎ ‎ ∴ ∠APE=∠3=30°.………………………………………………7分
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