数列极限数学归纳法高考名题选萃

数列极限数学归纳法高考名题选萃

数列、极限、数学归纳法·高考名题选萃 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a‎5a6=9，则log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10=‎ ‎[ ]‎ A．12 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ ‎2．已知a1，a1，a2，…an为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则 ‎[ ]‎ A．a1＋a8＞a4＋a5‎ B．a1＋a8＜a4＋a5‎ C．a1＋a8＝a4＋a5‎ D．a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定 ‎3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为二个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ‎[ ]‎ A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个 ‎4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得 ‎[ ]‎ A．当n=6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 ‎5．等差数列{an}的前m项和为30，前‎2m项和为100，则它的前‎3m项和为 ‎[ ]‎ A．130 B．170‎ C．210 D．260‎ ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ a1的取值范围是 ‎[ ]‎ A．(1，＋∞) B．(1，4)‎ 二、填空题 ‎(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是an＝________．‎ ‎11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，‎ ‎14．已知等比数列{an}(an∈R)，a1＋a2＝9，a‎1a2a3＝27，且Sn=a1‎ ‎16．在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an+1－an＝0，bn是an与an+1的等差中项，则{bn}的各项和是________．‎ ‎17．在等差数列{an}中，满足‎3a4＝‎7a7，且a1＞0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n=________．‎ 三、解答题 ‎18．(1)已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn+1－pcn}‎ 为等比数列，求常数p；‎ ‎(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．‎ ‎19．是否存在常数a，b，c使1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2=‎ 果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎21．设{an}是正数组成的数列，其前n项的和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)写出数列{an}‎ ‎22．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和．(1)证明 ‎23．已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p，q，其中p＞q，且P≠1，q≠1，设cn＝an＋bn，Sn为数列{cn}‎ ‎24．设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：‎ ‎3tSn－(2t＋3)Sn-1＝3t(t＞0，n＝2，3，4，…)．‎ ‎(1)求证：数列{an}是等比数列；‎ ‎(n＝2，3，4，…)，求bn；‎ ‎(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－…＋b2n-1b2n－b2nb2n+1．‎ ‎25．已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项bn；‎ 并证明你的结论．‎ ‎ ‎ 参考答案提示 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．B 2．A 3．B 4．C ‎5．C 6．B 7．D 8．D 二、填空题 则n≤9．当n≤9时an＞0．‎ 同理可得当n≥10时an＜0，所以n＝9时Sn取得最大值 三、解答题 ‎18．本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．‎ 解 (1)因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 ‎(cn+1－pcn)2＝(cn+2－pcn+1)(cn－pcn-1)，‎ 将cn=2n＋3n代入上式，得 ‎[2n+1＋3n+1－p(2n＋3n)]2‎ ‎=[2n+2＋3n+2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n＋3n－p(2n-1＋3n-1)]，‎ 即[(2－p)2n＋(3－p)3n]2‎ ‎=[(2－p)2n+1＋(3－p)3n+1][(2－p)2n-1＋(3－p)3n-1]，‎ 解得p＝2或p＝3．‎ ‎(2)设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn＝an＋bn．‎ 由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不为零，‎ ‎19．a＝8，b=11，c＝10‎ ‎21．(1)该数列的前3项为2，6，10．‎ ‎(2)an＝4n－2．‎ ‎22．(2)不存在 ‎(3)b1b2－b2b3＋b3b4－…＋b2n-1b2n－b2nb2n+1‎ ‎25．(1)bn=3n－2．‎