【数学】2020届一轮复习苏教版导数背景下零点问题集合与其他知识的交汇问题学案

【数学】2020届一轮复习苏教版导数背景下零点问题集合与其他知识的交汇问题学案

一、考情分析 近几年高考命题情况来看,对这部分内容的考查题型有小题也有大题,作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题,在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型：(1)确定函数零点(图象交点及方程根的个数问题；(2)根据函数零点图象交点及方程根的个数求参数的值或取值范围问题．‎ 二、经验分享 ‎(1) 用导数确定函数零点或方程根个数的方法：‎ ‎①构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)＝0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解 ‎②利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.‎ ‎(2)解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：‎ ‎①在该区间上构造与方程相应的函数；‎ ‎②利用导数研究该函数在该区间上的单调性,若是单调函数,则进行下一步；‎ ‎③判断该函数在该区间端点处的函数值异号；‎ ‎④得出结论.‎ ‎(3) 在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．‎ 三、知识拓展 三次函数的零点 对于三次函数的导函数为,‎ ‎1.若恒成立,则是增(减)函数,有1个零点；‎ ‎2.若有两个不同实根,⑴若,则有2个零点；‎ ‎⑵若,则有1个零点；‎ ‎⑶若,则有3个零点.‎ 四、题型分析 ‎(一) 确定函数零点或方程根的个数问题 ‎【例1】【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】已知函数，，其中且，．‎ ‎（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；‎ ‎（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；‎ ‎（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.‎ ‎【解析】（1）因为，所以 令，得 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 所以为的极值点 因为，，所以函数的极值点为 因为函数与有相同的极值点，所以 所以 ‎（2）由题意，所以 因为，所以 令，得 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 所以为的极值点 因为，，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 取满足且 则 因为且，所以 所以，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 综上，函数有两个不同的零点 ‎（3）时，‎ 由，使，则有 由于 ‎①当时，，在上单调递减 所以 即，得 ‎②当时，，在上单调递增 所以 即，得 ‎③当时，‎ 在上，，在上单调递减；‎ 在上，，在上单调递增；‎ 所以 即（*）‎ 易知在上单调递减 故，而，所以不等式（*）无解 综上，实数的取值范围为或 ‎【点评】证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.‎ ‎【小试牛刀】【启东中学2018届高三上学期月考】设,函数.‎ ‎（1）证明在上仅有一个零点；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:‎ ‎【解析】（1）,,‎ 在上为增函数．‎ ‎, ,‎ 又,‎ ‎,即,‎ 由零点存在性定理可知,在上为增函数,且,‎ 在上仅有一个零点.‎ ‎（2）,设点,则,‎ 在点处的切线与轴平行, ,,‎ ‎, ,‎ 点处切线与直线平行,‎ 点处切线的斜率,‎ 又题目需证明,即,‎ 则只需证明,即.‎ 令,则,‎ 易知,当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增,‎ ‎,即,‎ ‎,‎ ‎,得证.‎ ‎ (二) 根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围 ‎【例2】【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=,若函数y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点,则a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当x＜0时,由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1,得x=﹣2或x=0, ‎ 当x≥0时,由f（x）﹣1=0得,得x=0,‎ 由,y=f（f（x）﹣a）﹣1=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=﹣2,‎ 即f（x）=a,f（x）=a﹣2,‎ 作出函数f（x）的图象如图：‎ y=≥1（x≥0）,‎ y′=,当x∈（0,1）时,y′＞0,函数是增函数,x∈（1,+∞）时,y′＜0,函数是减函数,‎ x=1时,函数取得最大值：,‎ 当1＜a﹣2时,即a∈（3,3+）时,y=f（f（x）﹣a）﹣1有4个零点,‎ 当a﹣2=1+时,即a=3+时则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点,‎ 当a＞3+时,y=f（f（x）﹣a）﹣1有1个零点 当a=1+时,则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点,‎ 当时,即a∈（1+,3）时,y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点．‎ 综上a∈,函数有3个零点．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解．‎ ‎【小试牛刀】已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx的图象与直线y＝b有两个不同交点,求b的取值范围．‎ ‎【解析】　f′(x)＝x(2＋cosx),令f′(x)＝0,得x＝0.∴当x>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,＋∞)上递增．‎ 当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(－∞,0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞,0)和(0,＋∞)上均单调,∴当b>1时,曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．‎ 综上可知,b的取值范围是(1,＋∞)．‎ ‎(三) 根据函数零点满足条件证明不等式 ‎【例3】【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．‎ ‎① 求实数的取值范围；‎ ‎② 证明：．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可；‎ ‎②问题转化为证，即证，设函数，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解析】（1）的定义域为，且．‎ 当时，成立，所以在为增函数； ‎ 当时，‎ ‎（i）当时，，所以在上为增函数；‎ ‎（ii）当时，，所以在上为减函数． ‎ ‎（2）①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；‎ 当时，的最小值为，‎ 依题意知 ，解得． ‎ 一方面，由于，，在为增函数，且函数的图 象在上不间断．‎ 所以在上有唯一的一个零点．‎ 另一方面， 因为，所以．‎ ‎，令，‎ 当时，，‎ 所以 又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．‎ 所以在有唯一的一个零点．‎ 综上，实数的取值范围是． ‎ ‎②设． ‎ 又则． ‎ 下面证明．‎ 不妨设，由①知．‎ 要证，即证．‎ 因为，在上为减函数，‎ 所以只要证．‎ 又，即证． ‎ 设函数．‎ 所以，所以在为增函数.‎ 所以，所以成立．‎ 从而成立.‎ 所以，即成立.‎