专题13-5 热点题型四 绝对值三角不等式的应用-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

专题13-5 热点题型四 绝对值三角不等式的应用-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

热点题型四 绝对值三角不等式的应用 高考中在含绝对值不等式问题中，运用绝对值三角不等式在求与绝对值运算有关的最值问题和恒成立问题时有独特的作用，需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．常见问题归纳如下；‎ ‎【基础知识整合】‎ 绝对值三角不等式 ‎ 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab>0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎【典例1】【2016高考新课标3理数】已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．‎ ‎【思路点拨】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对，当且仅当时，等号成立，对，如果，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立．‎ ‎【典例2】【2014课标Ⅱ理24】设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥2；‎ ‎（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎【考点】绝对值三角不等式、证明不等式 ‎【思路点拨】本题主要考查绝对值三角不等式，用含绝对值的三角不等式进行放缩来证明不等式。还用到绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，主要考查运算能力，属于中档题．属于高考题中常考题型.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2014浙江高考】 已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若为正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】（I）;（II）参考解析 ‎【解析】‎ 考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.‎ ‎2.【2015高考福建理】已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【考点】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．‎ ‎3．【2015高考江苏】若关于x的不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋的解集是R，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】 (1)当a<0时，由于|x＋1|＋|x－3|≥0，∴原不等式的解集为R.‎ ‎(2)当a>0时，由于|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|≥4恒成立．‎ 若使原不等式的解集为R，只需a＋≤4， 则≤0，∴a＝2.‎ 综合(1)、(2)知，实数a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．‎ 考点：绝对值三角不等式 ‎4.【2017兰州模拟】已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)，‎ ‎(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)当函数f(x)的值域为R时，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域，即解不等式|x－1|＋|x－5|－5>0，‎ 所以定义域为.‎ ‎(2)设函数f(x)的定义域为A，因为函数f(x)的值域为R，所以(0，＋∞)⊆A，‎ 由绝对值三角不等式|x－1|＋|x－5|－a≥|x－1－x＋5|－a＝4－a.‎ 所以4－a≤0，所以a≥4.‎ 考点：绝对值三角不等式 ‎5.【2017银川模拟】设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)∵∈A，∉A，∴＜a，且≥a，因此＜a≤，‎ 又a∈N*，从而a＝1.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 当且仅当(x＋1)( x－2)≤0，即－1≤x≤2时等号成立．故f(x)的最小值为3.‎ 考点：绝对值三角不等式 ‎6.【2017衡水金卷】已知a和b是任意非零实数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 考点：绝对值三角不等式 ‎【解题技巧与方法总结】‎ 对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点 ‎1．两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．‎ ‎2．该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．学。‎ ‎3．当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当b(a＋b)≤0时，|a|－|b|＝|a＋b|；‎ 当b(a－b)≥0时，|a|－|b|＝|a－b|.‎