2015高考数学人教A版本（9-6空间向量及其运算）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（9-6空间向量及其运算）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-6空间向量及其运算课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与‎2a－b互相垂直，则k值是(　　)‎ A．1　　　　 B.　　 　‎ C.　　 　 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，‎ ‎2a‎－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，‎ ‎∵两向量垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0，∴k＝.‎ ‎2．对空间任意一点O，若＝＋＋，则A、B、C、P四点(　　)‎ A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与O点的位置有关 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＋＋＝1，‎ ‎∴P、A、B、C共面．‎ ‎3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则λ等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．－2或 D．2或－ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 解得λ＝－2或.‎ ‎4．(2013·山东济宁)正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A.a B.a ‎ C.a D.a ‎[答案]　A ‎[解析]　设＝a，＝b，＝c，‎ ‎∵＝，∴＝＝(＋＋)‎ ‎＝(a＋b＋c)，‎ ‎∵N为BB1的中点，∴＝＋ ‎＝＋＝a＋c，‎ ‎∴＝－＝(a＋c)－(a＋b＋c)‎ ‎＝a－b＋c，‎ ‎∴||2＝(a－b＋c)2＝a2＋a2＋a2＝a2，∴||＝a.‎ ‎5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a、b、c三向量共面，a，b不共线，‎ ‎∴存在实数m、n使c＝ma＋nb，‎ 即(7,5，λ)＝(‎2m－n，－m＋4n,‎3m－2n)，‎ ‎∴∴λ＝.‎ ‎6．如图，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c ‎[答案]　A ‎[解析]　＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－＋)＝c－a＋b，故选A.‎ 二、填空题 ‎7.‎ ‎(2013·琼海一模)如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D‎1A1，A1B，AB的中点，点N在正方形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A‎1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D‎1C.‎ ‎[答案]　点N在EG上　点N在EH上 ‎[解析]　(1)∵EM∥BD∥B1D1，A‎1C1⊥B1D1，‎ ‎∴EM⊥A‎1C1，‎ ‎∵EG∥AA1，A‎1C1⊥AA1，∴GE⊥A‎1C1.‎ ‎∴A‎1C1⊥平面GEM.故当N在EG上时，MN⊥A‎1C1；‎ ‎(2)∵EH∥A1D∥B‎1C，EM∥B1D1，EH∩EM＝E，‎ ‎∴平面HEM∥平面B1D‎1C，‎ ‎∴当N在EH上时，MN∥平面B1D‎1C.‎ 自己用向量法验证结论成立．‎ ‎8．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　设＝λ，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.‎ ‎∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，‎ 又＝(0,4，－3)，⊥，‎ ‎∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，‎ ‎∴λ＝－，∴＝，‎ ‎∴||＝＝5.‎ ‎9.‎ 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD的中点．若＝x＋y＋z，则x＝________，y＝________，z＝________.‎ ‎[答案]　－　－　 ‎[解析]　＝＋＝＋ ‎＝(＋)＋(－)‎ ‎＝(－－＋)＋(－)‎ ‎＝－－＋，‎ ‎∴x＝－，y＝－，z＝.‎ 三、解答题 ‎10．四棱锥P－ABCD中，AB、AD、AP两两垂直，AB＝1，AD＝2，AP＝3，F为PC的中点，E为PD上，且PD＝3PE，用 ‎(1)、、表示；‎ ‎(2)求的模．‎ ‎[解析]　(1)＝－＝(＋＋)‎ ‎－[＋(－)]＝－＋＋.‎ ‎(2)由条件知，||＝1，||＝2，||＝3，‎ ‎∴||2＝(－＋＋)2‎ ‎＝||2＋||2＋||2＝，‎ ‎∴||＝.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11.‎ ‎(2013·晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设OA＝a，OB＝OC＝b，则·＝·(－)＝·－·＝||·||·cos－||·||·cos＝ab－ab＝0，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝0.‎ ‎12．(2013·舟山月考)平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．4 D．8‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，‎ 2＝a2＋b2＋c2＋‎2a·c＋2b·c＋‎2c·a＝12＋22＋32＋2×1×3cos60°＋2×2×3cos60°＋2×1×2cos60°＝25，‎ 因此||＝5.‎ ‎13．底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若＝a，＝b，＝c，则向量等于(　　)‎ A．－a＋b＋c B.a＋b－c C.a－b－c D．－a－b＋c ‎[答案]　C ‎[解析]　＝＋＝＋ ‎＝(－)－ ‎＝a－b－c.‎ 二、填空题 ‎14．(2013·河北五校联盟调研)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　‎ 连接B‎1C交BC1于O，则B‎1C⊥BC1.又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD.设矩形BDD1B1两对角线BD1与B1D交点为M，则M为BD1的中点，即直线BD1与平面A1B1CD的交点，∴∠BMO就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体的棱长为1，则BD1＝，BM＝，BO＝，OM＝，‎ 在Rt△BMO中，tan∠BMO＝＝.‎ ‎15．直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A‎1M所成角为________．‎ ‎[答案]　 ‎ [解析]　‎ 由条件知AC、BC、CC1两两垂直，以C为原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0，，0)，B1(1,0，)，M(0,0，)，A1(0，，)，‎ ‎∴＝(1，－，)，＝(0，－，－)，‎ cos〈，〉＝＝0，‎ ‎∴〈，〉＝，‎ 即直线AB1与A‎1M所成角为.‎ 三、解答题 ‎16．如图，在棱长为a的正方体OABC－O‎1A1B‎1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.‎ ‎(1)写出点E、F的坐标；‎ ‎(2)求证：A‎1F⊥C1E；‎ ‎(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：＝＋.‎ ‎[解析]　(1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．‎ ‎(2)证明：∵A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，‎ ‎∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，‎ ‎∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴A‎1F⊥C1E.‎ ‎(3)证明：∵A1、E、F、C1四点共面，‎ ‎∴、、共面．‎ 选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，‎ 使＝λ1＋λ2，‎ 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)‎ ‎＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，‎ ‎∴解得λ1＝，λ2＝1.‎ 于是＝＋.‎ 考纲要求 ‎1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ 补充说明 ‎1．与平面向量对比学习 空间向量是平面向量的拓展，空间向量的概念、性质、运算及运算律与平面向量大多相同或相似，故在学习空间向量时，应注意与平面向量的类比以提高效率．‎ ‎2．平行、共线、共面问题 利用向量共线可以解决两直线平行的问题，也可以解决三点共线的问题，解题时表述一定要完整准确；利用空间向量基本定理判断四点共面的问题，用＝x＋y＋z时，关键证明x＋y＋z＝1.‎ ‎3．直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．‎ ‎(2)平面的法向量：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量可通过解方程组求出．‎ 备选习题 ‎1．已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，－1)，C(0，－1,2)，则点C到直线AB的距离为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　＝(1,1，－1)，＝(－1，－1,2)，‎ cos〈，〉＝＝＝－，‎ ‎∴sin〈，〉＝，‎ ‎∴点C到直线AB的距离d＝||·sin〈，〉＝.‎ ‎2.‎ 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.‎ ‎(1)求证：BD⊥PC；‎ ‎(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．‎ ‎[解析]　(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1，，0)，D(0,0,0)，C(－3，，0)．‎ ‎(1)设PD＝a，则P(0,0，a)，＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)，‎ ‎∵·＝3－3＝0，∴BD⊥PC.‎ ‎(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0,0，a)，＝(1,0，－a)，＝(－3，，－a)，‎ ‎∵＝λ，∴＝(－3λ，λ，－aλ)，‎ ＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)‎ ‎＝(－3λ，λ，a－aλ)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则 即 令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)，‎ ‎∵DE∥平面PAB，∴·n＝0，‎ ‎∴－‎3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，‎ ‎∵a≠0，∴λ＝.‎