2021高考数学一轮复习第8章立体几何初步规范答题系列3高考中的立体几何问题教学案文北师大版

2021高考数学一轮复习第8章立体几何初步规范答题系列3高考中的立体几何问题教学案文北师大版

规范答题系列3 高考中的立体几何问题 ‎(对应学生用书第142页)‎ ‎[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，立体几何解答题主要出现在18题或19题的位置上，解答题一般有两个问题，第一个问题重点考查线、面的平行、垂直关系，第二个问题，有三个热点题型：一是考查空间几何体的体积；二是考查点面距离；三是与平行、垂直有关的存在性问题．‎ ‎[典例示范]　(本题满分12分)‎ ‎(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.‎ ‎(1)证明：BE⊥平面EB1C；‎ ‎(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥EBB1C1C的体积②.‎ ‎[信息提取]　看到①想到线面垂直的判定定理及其几何体中与BE有关的垂直关系；‎ 看到②想到四棱锥的底面形状和如何求高．‎ ‎[规范解答](1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1 1分 BE平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 2分 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，‎ 所以BE⊥平面EB1C1. 4分 ‎(2)由(1)知∠BEB1＝90°. 5分 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 6分 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 7分 故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝ 6.8分 如图，作EF⊥BB1，垂足为F，‎ 则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 10分 所以四棱锥EBB1C1C的体积 V＝×3×6×3＝18.12分 ‎[易错防范]　‎ 易错点 防范措施 证明时书写步骤不规范，缺少BE平面ABB1A1及B1C1∩EC1＝C1等必要条件 严格按照线面垂直的判定定理及性质定理的要求书写 得不到AE＝AB＝3这个结论，而是凭感觉直接使用这个结论 在计算过程中，需要用到的结论，都需要通过推理得到 - 2 -‎ ‎[通性通法]　证明线面垂直的方法较多，常用的有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理等．体积的计算是高考的重点与热点，其方法灵活多样，而直接求解、分割、补形、等积变换是常见方法．‎ ‎[规范特训]　(2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥PABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.‎ ‎(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比．‎ ‎[解](1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，‎ 由余弦定理可得PC＝2，‎ ‎∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，‎ 又PC⊥AB，AB∩BC＝B，‎ ‎∴PC⊥平面ABC，‎ ‎∵PC平面PAC，‎ ‎∴平面PAC⊥平面ABC.‎ ‎(2)设三棱锥FACE的高为h1，三棱锥PABC的高为h，‎ 则VFACE＝×S△ACE×h1‎ ‎＝×S△ABC××h× ‎＝×S△ABC×h× ‎＝×VPABC.‎ ‎∴三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比为1∶2.‎ - 2 -‎