【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第6节正弦定理和余弦定理学案
第6节 正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
[微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A. B. C. D.
解析 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.
答案 C
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
4.(2018·沈阳质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于( )
A.2 B.1 C. D.
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴＝，∴b＝.
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B. C. D.2
解析 由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
所以AB＝4.
答案 A
6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________.
解析 由sin B＝2sin C，cos A＝，A为△ABC一内角
可得b＝2c，sin A＝＝，
∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
答案
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝( )
A. B. C. D.
(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
解析 (1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
结合b0，
所以sin C0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.
解 ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
考点三 和三角形面积、周长有关的问题多维探究
角度1 与三角形面积有关的问题
【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.
解 (1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0，
得tan A＝－，又00，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵00.
∴cos A＝，即＝，则bc＝.
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.
答案 B
二、填空题
6.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析 由＝，得sin B＝sin A＝，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).
答案 3
7.(2019·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
解析 根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，
由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝＝＝.
答案
8.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________.
解析 由＝⇒＝⇒a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案
三、解答题
9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高.
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.
(1)若B＝，求A，C；
(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.
解 (1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，
于是sin A＝1或sin A＝－(舍).
因为00，
所以a－2b＝0，即a＝2b，②
联立①②解得b＝2，a＝4.
所以S△ABC＝absin C＝14.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋
acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A.4π B.8π C.9π D.36π
解析 由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.
又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.
∴2R＝＝6，R＝3.
故△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.
答案 C
12.(2019·武汉模拟)在△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为( )
A.6sin＋3 B.6sin＋3
C.2sin＋3 D.2sin＋3
解析 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝
2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin.
于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.
答案 C
13.(2019·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.
解析 因为cos A＝sin Acos C，
所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
答案 3
14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acos，
得asin B＝acos，
即sin B＝cos，
可得tan B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a
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