贵州省安顺市平坝第一高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

贵州省安顺市平坝第一高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

安顺市平坝第一高级中学2018-2019学年第二学期期末考试 高二数学理科试卷 ‎1.答题前考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4.考试结束后，将答题卡交回。‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。‎ 第I卷（选择题共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）‎ ‎1.设，则=‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．‎ ‎【详解】因为，所以，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．‎ ‎2.设，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用计算出定积分的值.‎ ‎【详解】依题意得，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A. 2 B. －1 C. 1 D. －2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，直线与曲线相切于点，‎ 则点满足直线，代入可得，解得，‎ 又由曲线，则，‎ 所以，解得，即，‎ 把点代入，可得，解答，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.若函数在（0，2）内单调递减，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. ≥3 B. =3 C. ≤3 D. 0< <3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，问题得解。‎ ‎【详解】由题可得：在恒成立.‎ 即：在恒成立。‎ 又，所以.‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题。‎ ‎5.设函数在上可导，导函数为图像如图所示，则()‎ A. 有极大值，极小值 B. 有极大值，极小值 C. 有极大值，极小值 D. 有极大值，极小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图象，求得的符号，得到函数的单调性，再根据函数极值的概念，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可得当时，，则，函数单调递减；‎ 当时，，则，函数单调递减增；‎ 当时，，则，函数单调递减增；‎ 当时，，则，函数单调递减增，‎ 所以有极大值，极小值，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的单调性与极值之间的关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)‎ P(K2>k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ A. 25% B. 95%‎ C. 5% D. 97.5%‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵k＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”， 故选D．‎ ‎7.请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置 A. （45,44） B. （45,43）‎ C. （45,42） D. 该数不会出现 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给数的排列规律得到第行的最后一个数为，然后根据可推测2019所在的位置．‎ ‎【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为，‎ 由于，，‎ 所以故2019是第45行的倒数第4个数，‎ 所以数字2019的位置为（45,42）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．‎ ‎（2）解决归纳推理问题的基本步骤 ‎①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；‎ ‎②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．‎ ‎8.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同安排方法共有（　　）‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，将4人分成3组，有种分法；‎ ‎②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，‎ 将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，‎ 此时有种情况，‎ 则有种不同的安排方法；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎9.已知二项式，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把二项式化为，求得其展开式的通项为，求得，再令，求得，进而即可求解．‎ ‎【详解】由题意，二项式展开式的通项为，‎ 令，可得，即，解得，‎ 所以二项式为，则，‎ 令，即，则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（）‎ 附：若，则，‎ A. 171 B. 239 C. 341 D. 477‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布求得质量在的袋数的概率，再根据袋数服从二项分布，利用二项分布期望的计算公式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，某种袋装面粉质量服从正态分布，可得，‎ 又由，‎ 所以，所以，‎ 则面粉质量在的袋数服从二项分布，即，‎ 则，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正态分布中概率的计算，以及二项分布的期望的求解，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性和二项分布期望的计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎11.一个正方形花圃，被分为5份A、B、C、D、E，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．‎ A. 24 种 B. 48 种 C. 84 种 D. 96种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 区域A、C、D两两相邻，共有种不同的种植方法，讨论区域E与区域A种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果.‎ ‎【详解】区域A、C、D两两相邻，共有种不同的种植方法，‎ 当区域E与区域A种植相同颜色的花时，种植B、E有种不同的种植方法，‎ 当区域E与区域A种植不同颜色的花时，种植B、E有种不同的种植方法，‎ ‎∴不同的种植方法有种，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题．‎ ‎12.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，对函数求导得到函数的单调性，进而将原不等式转化为，，进而求解.‎ ‎【详解】根据题意，设，‎ 则导数；‎ 函数在区间上，满足，则有，‎ 则有，即函数在区间上为增函数；‎ ‎，‎ 则有，解可得：；即不等式的解集为；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，考查了解不等式的问题；解函数不等式问题，可以直接通过函数的表达式得到结果，如果直接求解比较繁琐，可以研究函数的单调性，零点等问题，将函数值大小问题转化为自变量问题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）．‎ ‎13.二项式的展开式中的系数为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据二项展开式的通项求得的系数，进而得到的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．‎ 详解：二项式的展开式的通项为，‎ 令，可得的系数为，‎ 由题意得，‎ 解得．‎ ‎∴．‎ 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．‎ ‎14.已知函数，则________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，令x=0即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 令x=0得，‎ 所以.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满足题意，不满足排除．‎ ‎【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，‎ 如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．‎ 故答案为：乙．‎ ‎【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．‎ ‎16.函数定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内有________个极大值点。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先记导函数与轴交点依次是，且；根据导函数图像，确定函数单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】记导函数与轴交点依次是，且；‎ 由导函数图像可得：‎ 当时，，则单调递增；‎ 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 当时，，则单调递减；‎ 所以，当或，原函数取得极大值，即极大值点有两个.‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数与原函数间的关系，熟记导数的方法研究函数单调性与极值即可，属于常考题型.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中所有有理项的系数之和.‎ ‎【答案】（1）（2）-‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项，由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得，问题得解。‎ ‎（2）由，对赋值，使得的指数为正数即可求得所有理项，问题得解。‎ ‎【详解】（1）由二项式定理得展开式中第项为 ‎，‎ 所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，‎ 由题意可得，整理得，‎ 解得或（舍去），‎ 则展开式中二项式系数最大的项是第五项，‎ ‎（2）因为，‎ 若该项为有理项，则是整数，‎ 又因为，‎ 所以或或，‎ 所以所有有理项的系数之和为 ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查分析能力，转化能力及计算能力，属于基础题。‎ ‎18.已知数列，，，，，，记数列的前项和．‎ ‎1计算，，，；‎ ‎2猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】1 ，，，；2 ，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）S1＝a1，由S2＝a1+a2求得S2，同理求得 S3，S4．（2）由（1）猜想猜想，n∈N+，用数学归纳法证明，检验n＝1时，猜想成立；假设，则当n＝k+1时，由条件可得当n＝k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．‎ ‎【详解】 ；；；；‎ 猜想．‎ 证明：当时，结论显然成立；‎ 假设当时，结论成立，即，‎ 则当时，，‎ 当时，结论也成立，‎ 综上可知，对任意，．‎ 由，知，等式对任意正整数都成立．‎ ‎【点睛】本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，证明n＝k+1时，是解题的难点．‎ ‎19.今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科. 已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人. 按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．‎ ‎（I）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表. 并根据统计量判断能否有的把握认为选择物理还是历史与性别有关？‎ ‎（II）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有人，女生有人，求随机变量 的分布列和数学期望．（的计算公式见下），临界值表：‎ ‎【答案】（I）没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；（II）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，根据题意列出列联表，求得的值，即可得到结论．‎ ‎（II）由（I）知在样本里选历史有9人. 其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，进而求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式求解期望．‎ ‎【详解】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表：‎ 男生 女生 合计 选物理 ‎17‎ ‎3‎ ‎20‎ 选历史 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 合计 ‎27‎ ‎9‎ 得 而，‎ 所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关.‎ ‎（II）由（I）知在样本里选历史的有9人. 其中男生3人，女生6人．‎ 所以可能的取值有.‎ 且，；，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎0‎ 所以的期望.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在时恒成立，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；‎ ‎（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 可得，又，‎ 所以函数在点处的切线方程为。 ‎ ‎（2）因为，令，解得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在单调递增，在单调递减，‎ 所以，‎ 若，在恒成立，即恒成立，所以，‎ 所以的取值范围是。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎21.“学习强国”APP是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：‎ 分数 频数 ‎60‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎20‎ 频率 ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎（1）由频率分布表可以认为，这名党员这两天在“学习强国”上的得分近似服从正态分布，其中近似为这名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），近似这名党员得分的方差，求；‎ ‎（2）以频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取人，记抽得这两天在“学习强国”上的得分不低于分的人数为，求的分布列与数学期望.‎ 参考数据：，若，则，，‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分数统计表求得和；又，根据正态分布曲线可求得结果；（2）计算出从该地区所有党员中随机抽取人，抽得人得分不低于分的概率，可知服从于二项分布，利用二项分布概率公式求解出每个可能的取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得期望.‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ ‎（2）从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率为：‎ 由题意得，的可能取值为，且 ‎；；‎ ‎；；‎ 的分布列为：‎ ‎【点睛】本题考查正态分布中的概率求解问题、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够确定服从于二项分布，属于常规题型.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，且对任意的，都有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对a分和两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减.再对a分三种情况讨论，利用导数研究不等式的恒成立问题得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.‎ ‎（i）当时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎（ii）当时，在上，在上，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ ‎，，解得.‎ ‎∴.‎ ‎②当，即时，在上单调递增，‎ ‎，，解得.‎ ‎∴.‎ ‎③当，即时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎.‎ 则，即.‎ 令，，‎ 易得，所以在上单调递增.‎ 又∵，∴对任意的，都有.‎ ‎∴.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎