中考数学一模试卷含解析14

中考数学一模试卷含解析14

山东省青岛市胶州市2016年中考数学一模试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．下列四个数中，相反数是﹣的数是（　　）‎ A．5 B． C．﹣5 D．﹣‎ ‎2．如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在一个不透明的袋子中有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎4．已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小数表示为（　　）‎ A．0.000124 B．0.0124 C．﹣0.00124 D．0.00124‎ ‎5．如图，▱ABCD的周长为16，∠BAD的平分线AE交CD于点E，若BE=2，则CE等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．如图，AB是⊙O的弦，CD与⊙O相切于点A，若∠BAD=66°，则∠B等于（　　）‎ A．24° B．33° C．48° D．66°‎ ‎7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎8．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．分解因式：4x2﹣4=　　　　　　．‎ ‎10．质检部门从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：‎ 甲厂：3，4，5，6，8，8，8，10‎ 乙厂：4，6，6，6，8，9，12，13‎ 已知两个厂家在广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种特征数？‎ 甲：　　　　　　乙：　　　　　　．‎ ‎11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆的三等分点，AC，BD的延长线交于点E，若CE=2，则⊙O中阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎12．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为　　　　　　．‎ ‎13．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价　　　　　　元．‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为（1，﹣1），B（1，1），C（﹣1，1）、D（﹣1，﹣1），曲线AA1A2A3A4…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次是点B，C，D，A循环，则点A2016的坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、作图题：（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.‎ ‎15．已知：如图，线段a，∠α．‎ 求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a．‎ ‎　‎ 四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．化简：（）÷．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的解析式．‎ ‎18．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转盘，那么可直接获得10元的购物券．‎ 转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．‎ ‎19．如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？‎ ‎（参考数值：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ ‎20．某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 ‎10‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎9‎ 乙 ‎10‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ 小明根据统计结果计算了甲的平均数和方差，方法如下：‎ ‎=（10+8+9+8+10+9）=9（环）‎ s2= [（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]=‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）请参考小明的方法分别计算乙的平均数和方差；‎ ‎（2）请根据调查结果，从平均数和方差的角度分析选谁去参加比赛较为合适？‎ ‎21．某校九年级准备用360元钱购买一批签字笔奖励优秀学生，在购买时发现，每支签字笔可以打九折，打折后购买的数量比打折前多10支．‎ ‎（1）求打折前每支笔的售价是多少元？‎ ‎（2）由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共80件，笔袋每个原售价为7元，两种物品都打九折，且购买签字笔的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的360元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？‎ ‎22．如图，茬四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AC平分∠BCD，且AC⊥AB，接DE，交AC于F．‎ ‎（1）求证：AD=CE；‎ ‎（2）若∠B=60°，试确定四边形ABED是什么特殊四边形？请说明理由．‎ ‎23．（10分）（2016•胶州市一模）如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B（，），C（2，）．‎ 请根据以上信息，解答下列问题；‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；‎ ‎（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？‎ ‎（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？‎ ‎24．（10分）（2016•胶州市一模）问题提出：“任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？”‎ 为解决上面的问题，我们先来研究几种简单的情况：‎ ‎（1）已知矩形A的边长分别为12和1，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？‎ 解：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意得 ‎，消去y化简得3x2﹣13x+12=0‎ ‎∵△=169﹣144＞0，‎ ‎∴x1=　　　　　　，x2=　　　　　　，‎ ‎∴已知矩形A的边长分别为12和1时，存在另一矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一．‎ ‎（2）如果已知矩形A的边长分别为6和2，请依照上面的方法研究：是否存在满足要求的矩形B？‎ 问题解决：如果已知矩形A的边长分别为m和n，请你研究，当m和n满足什么条件时，矩形B存在？‎ 应用提升：如果在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下面的问题：（直接写出结果即可，不需说明理由）．‎ ‎①该图象所表示矩形A的两边长各为多少？‎ ‎②该图象所表示矩形B的两边长各为多少？‎ ‎25．（12分）（2016•胶州市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，CD是∠ACB的平分线，动点P从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动（点P与A，C不重合），过点P作PE∥AB，分别交CD，CB于F，E，连接PD，设点P的运动时间为t妙，△PDF的面积为s．‎ ‎（1）求当t为何值时，四边形PDBE是平行四边形；‎ ‎（2）求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）试确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PDF与Rt△ABC的面积之比等于2：25？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．下列四个数中，相反数是﹣的数是（　　）‎ A．5 B． C．﹣5 D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据相反数的概念解答即可．‎ ‎【解答】解：的相反数是﹣，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ ‎【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一条纵向实线，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．在一个不透明的袋子中有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与先后摸出的两个球颜色不相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有4种等可能的结果，先后摸出的两个球颜色不相同的有2种情况，‎ ‎∴先后摸出的两个球颜色不相同的概率是： =．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎4．已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小数表示为（　　）‎ A．0.000124 B．0.0124 C．﹣0.00124 D．0.00124‎ ‎【考点】科学记数法—原数．‎ ‎【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据“1.24×10﹣3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到．‎ ‎【解答】解：把数据“1.24×10﹣3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到为0.001 24．故选D．‎ ‎【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．‎ 将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．‎ 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．‎ ‎　‎ ‎5．如图，▱ABCD的周长为16，∠BAD的平分线AE交CD于点E，若BE=2，则CE等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，得出AB=BE=2，由▱ABCD的周长为16得出AB+BC=8，求出BC=6，即可得出CE的长．‎ ‎【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴∠DAE=∠AEB，‎ ‎∵AE是∠BAD的平分线，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE，‎ ‎∴∠BAE=∠AEB，‎ ‎∴AB=BE=2，‎ ‎∵▱ABCD的周长为16，‎ ‎∴AB+BC=8，‎ ‎∴BC=6，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=6﹣2=4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，熟练掌握平行四边形的性质，证明AB=BE是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，AB是⊙O的弦，CD与⊙O相切于点A，若∠BAD=66°，则∠B等于（　　）‎ A．24° B．33° C．48° D．66°‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】因为OA=0B，所以∠B=∠AOB，欲求∠B，只要求出∠OAB的大小即可．‎ ‎【解答】解：∵CD与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥CD，‎ ‎∴∠OAD=90°，‎ ‎∵∠BAD=66°，‎ ‎∴∠OAB=90°﹣∠BAD=24°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠B=∠OAB=24°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、圆的性质，利用切线的性质以及半径相等是解题的关键，属于基础题中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得 ‎∠CDF=∠CBF．‎ ‎【解答】解：如图，连接BF，‎ 在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，‎ ‎∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，‎ ‎∵EF是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，‎ ‎∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，‎ ‎∵在△BCF和△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCF≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠CDF=∠CBF=60°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．‎ ‎【分析】根据二次函数图象可知“a＞0，b＜0，c＜0”，由此即可判定出一次函数、反比例函数图象所在的象限，结合四个选项即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0；‎ ‎∵抛物线对称轴大于0，即﹣＞0，‎ ‎∴ab＜0，‎ ‎∴b＜0；‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在负半轴，‎ ‎∴c＜0．‎ 当a＞0，b＜0时，一次函数y=ax+b的图象过第一、三、四象限；‎ 当c＜0时，反比例函数图象在第二、四象限．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象，解题的关键是找出“a＞0，b＜0，c＜0”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象得出系数a、b、c的符号是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．分解因式：4x2﹣4=　4（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】所求代数式中含有公因数4，可先提取公因数，然后再运用平方差公式分解因式．‎ ‎【解答】解：原式=4（x2﹣1）=4（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：4（x+1）（x﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解彻底．‎ ‎　‎ ‎10．质检部门从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：‎ 甲厂：3，4，5，6，8，8，8，10‎ 乙厂：4，6，6，6，8，9，12，13‎ 已知两个厂家在广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种特征数？‎ 甲：　众数　乙：　平均数　．‎ ‎【考点】众数；算术平均数；中位数．‎ ‎【分析】分析8在两个厂家的数据中是众数、平均数、中位数中的哪一个数．‎ ‎【解答】解：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；‎ 对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求数据的平均数可得，平均数=（4+6+6+6+8+9+12+13）÷8=8，故运用了平均数．‎ 故答案为众数；平均数．‎ ‎【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．‎ ‎　‎ ‎11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆的三等分点，AC，BD的延长线交于点E，若CE=2，则⊙O中阴影部分的面积为　π﹣　．‎ ‎【考点】扇形面积的计算．‎ ‎【分析】连接DC、OC、OD，可得△OAC、△ODC、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBC的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOC=∠BOD，则AB∥CD，S△ODC=S△BDC；根据阴影部分的面积=S扇形OAC﹣S△OAC+S扇形ODC求解即可．‎ ‎【解答】解：连接OC、OD，CD，点D、C是半圆的三等分点，‎ ‎∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，‎ ‎∵OA=OC=OD=OB ‎∴△OAC、△ODC、△OBD、△CDE都是等边三角形，‎ ‎∴AB∥CD，S△ODC=S△BDC；‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S扇形OAC﹣S△OAC+S扇形ODE=×2﹣×22=π﹣；‎ 故答案为：π﹣．‎ ‎【点评】本题考查了扇形面积公式的运用．关键是将阴影部分面积转化为规则图形的面积的和或差．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为　3　．‎ ‎【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求GF的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A=∠B=90°，‎ ‎∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，‎ ‎∵∠GEF=90°，‎ ‎∴∠GEA+∠FEB=90°，‎ ‎∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．‎ ‎∴△AEG∽△BFE，‎ 从而推出对应边成比例：，‎ 又∵AE=BE，‎ ‎∴AE2=AG•BF=2，‎ 推出AE=（舍负），‎ ‎∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，‎ ‎∴GF的长为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】此题考查相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解．易错点：如果学生没有发现相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对．‎ ‎　‎ ‎13．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价　4　元．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】设每件应降价x元，根据平均每天可销售20件，每件赢利44元，若每件降价1元，则每天可多销售5件，列出方程，求出x的值即可得出答案．‎ ‎【解答】解：设每件应降价x元，根据题意得：‎ ‎（44﹣x）（20+5x）=1600，‎ 解得：x1=4，x2=36（不合题意，舍去），‎ 答：则每件应降价4元；‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为（1，﹣1），B（1，1），C（﹣1，1）、D（﹣1，﹣1），曲线AA1A2A3A4…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次是点B，C，D，A循环，则点A2016的坐标是　（1，﹣4033）　．‎ ‎【考点】规律型：点的坐标．‎ ‎【分析】由题意可知，正方形的 边长为2，每旋转一次边长增加2，每次旋转的角度为90°，在第一象限的纵坐标为，在第二象限的横坐标为﹣1，在第三象限的纵坐标为﹣1，在第四象限的横坐标为1，其余坐标除符号变化之外，±[4+2（n﹣1）]±1‎ ‎【解答】由题意可知：正方形的边长2‎ ‎∵A（1，﹣1），B（1，1），C（﹣1，1）、D（﹣1，﹣1）‎ A1 （4﹣1，1）A2 （﹣1，6﹣1），A3（﹣8+1，﹣1），A4 （1，﹣10+1）‎ ‎ A5 （12﹣1，1），A6 （﹣1，14﹣1），A7 （﹣16+1，﹣1），A8 （ 1，﹣18+1）‎ ‎…‎ ‎ A2016 （ 1，﹣[4+（2016﹣1）×2]+1 ）‎ 即：A2016 的坐标是（1，﹣4033）‎ ‎【点评】本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2‎ ‎　‎ 三、作图题：（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.‎ ‎15．已知：如图，线段a，∠α．‎ 求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】先作∠MAN=α，再在AM上截取AC=a，然后过点C作AM的垂线交AN于B，则△ABC满足条件．‎ ‎【解答】解：如图，△ABC为所作．‎ ‎【点评】本题考查了作与﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．‎ ‎　‎ 四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．化简：（）÷．‎ ‎【考点】分式的混合运算．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣•=﹣=．‎ ‎【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的解析式．‎ ‎【考点】待定系数法求一次函数解析式．‎ ‎【分析】由点A在直线y=﹣2x上且A点纵坐标为2求得点A坐标，将点A、B坐标代入y=kx+b，求出待定系数k、b的值即可．‎ ‎【解答】解：在函数y=﹣2x中令y=2得：﹣2x=2，‎ 解得：x=﹣1，‎ ‎∴点A坐标为（﹣1，2），‎ 将点A（﹣1，2）、点B（1，0）代入y=kx+b，得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴一次函数解析式为：y=﹣x+1．‎ ‎【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，根据题意求得点A、B坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转盘，那么可直接获得10元的购物券．‎ 转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】应计算出转转盘所获得的购物券与直接获得10元的购物券相比较便可解答．‎ ‎【解答】解：根据题意得：转转盘所获得的购物券为：50×+30×+20×=11.5（元），‎ ‎∵11.5元＞10元，‎ ‎∴选择转转盘对顾客更合算．‎ ‎【点评】此题考查了概率公式，关键是计算出转转盘所获得的购物券的钱数．‎ ‎　‎ ‎19．如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？‎ ‎（参考数值：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】光线交CD于点E，过点E作EF⊥AB，可得矩形BDEF，设DE=x米，则AF=（30﹣x）米，在RT△AFE中根据tan37°=列出关于x的方程，解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，光线交CD于点E，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，‎ 由题意知，AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴∠ABD=∠CDB=∠EFB=∠AFE=90°，‎ ‎∴四边形BDEF是矩形，‎ ‎∴BD=EF=32米，FB=DE，‎ 设DE=x米，则AF=（30﹣x）米，‎ 在RT△AFE中，∵∠AEF=37°，‎ ‎∴tan37°=，‎ 即： =，‎ 解得：x=6，‎ 答：新楼的影子在居民楼上的高为6米．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念、正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 ‎10‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎9‎ 乙 ‎10‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ 小明根据统计结果计算了甲的平均数和方差，方法如下：‎ ‎=（10+8+9+8+10+9）=9（环）‎ s2= [（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]=‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）请参考小明的方法分别计算乙的平均数和方差；‎ ‎（2）请根据调查结果，从平均数和方差的角度分析选谁去参加比赛较为合适？‎ ‎【考点】方差；算术平均数．‎ ‎【分析】（1）根据小明计算平均数与方差的方法列出算式进行计算即可得出乙的平均数和方差；‎ ‎（2）根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）=（10+7+10+10+9+8）=9（环），‎ s2= [（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]=；‎ ‎（2）选甲去参加比赛较为合适．理由如下：‎ ‎∵=，甲的方差＜乙的方差，‎ ‎∴甲的成绩比较稳定，‎ ‎∴选甲去参加比赛更合适．‎ ‎【点评】本题考查的是平均数、方差的计算和性质，掌握平均数、方差的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．某校九年级准备用360元钱购买一批签字笔奖励优秀学生，在购买时发现，每支签字笔可以打九折，打折后购买的数量比打折前多10支．‎ ‎（1）求打折前每支笔的售价是多少元？‎ ‎（2）由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共80件，笔袋每个原售价为7元，两种物品都打九折，且购买签字笔的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的360元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？‎ ‎【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．‎ ‎【分析】（1）根据打折后购买的数量比打折前多10本，进而得出等式求出答案；‎ ‎（2）设购买签字笔的数量为y件，购买总金额为w元，根据总金额=购买签字笔的价格+购买笔袋的价格列出w关于y的函数解析式，根据y的取值范围以及一次函数的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）设打折前每支笔的售价是x元，由题意得：‎ ‎+10=，‎ 解得：x=4，‎ 经检验，x=4是原方程的根，‎ 答：打折前每支笔的售价是4元；‎ ‎（2）学校预算的360元钱不够．‎ 设购买签字笔的数量为y件，购买总金额为w元，由题意得 w=4×0.9y+7×0.9（80﹣y）=﹣2.7y+504（y≤40）．‎ ‎∵﹣2.7＜0，‎ ‎∴当y=40时，w最小，‎ 此时，w=﹣2.7×40+504=396＞360，‎ ‎396﹣360=36．‎ 故学校预算的360元钱不够用，至少还需要再添加36元钱．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系，列出关系式，注意分式方程必须检验．‎ ‎　‎ ‎22．如图，茬四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AC平分∠BCD，且AC⊥AB，接DE，交AC于F．‎ ‎（1）求证：AD=CE；‎ ‎（2）若∠B=60°，试确定四边形ABED是什么特殊四边形？请说明理由．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）先由角平分线和平行线的得出AD=CD，从而得出△AFD≌△CFE，即可；‎ ‎（2）先判断出四边形AECF是平行四边形，再判断出AB=BE即可．‎ ‎【解答】解：连接，∵AC平分∠BCD，‎ ‎∴∠BCA=∠DCA，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DCA=∠DAC，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵AB⊥AC，E是BC的中点，‎ ‎∴AE=CE=BE=BC，‎ ‎∴DE⊥AC，AF=CF，‎ ‎∴∠AFD=∠CFE=90°，‎ ‎∴△AFD≌△CFE，‎ ‎∴AD=CE，‎ ‎（2）当∠B=60°，时，四边形ABED是菱形，‎ ‎∵AB⊥AC，DE⊥AC，‎ ‎∴AB∥DE，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AE=BE，∠B=60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴AB=BE ‎∴平行四边形AECF是菱形．‎ ‎【点评】此题是全等三角形的判定与性质，主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，解本题的关键是△AFD≌△CFE．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2016•胶州市一模）如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B（，），C（2，）．‎ 请根据以上信息，解答下列问题；‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；‎ ‎（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？‎ ‎（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）将点B、C坐标代入y=﹣x2+bx+c列不等式组求出b、c的值即可得解析式，令x=0可得y的值，即喷水装置OA的高度；‎ ‎（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；‎ ‎（3）令y=0可得对应x的值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，将点B（，），C（2，）代入y=﹣x2+bx+c，‎ 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y与x的函数关系式为：y=﹣x2+2x+，‎ 当x=0时，y=，‎ ‎∴喷水装置OA的高度为米；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+，‎ ‎∴当x=1时，y取得最大值，‎ 故喷出的水流距水面的最大高度是米；‎ ‎（3）当y=0时，解方程﹣x2+2x+=0，‎ 解得：x1=1﹣，x2=1+，‎ ‎∵x1=1﹣＜0，不合题意，舍去，‎ ‎∴x2=1+，‎ 答：水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外．‎ ‎【点评】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际意义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2016•胶州市一模）问题提出：“任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？”‎ 为解决上面的问题，我们先来研究几种简单的情况：‎ ‎（1）已知矩形A的边长分别为12和1，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？‎ 解：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意得 ‎，消去y化简得3x2﹣13x+12=0‎ ‎∵△=169﹣144＞0，‎ ‎∴x1=　　，x2=　3　，‎ ‎∴已知矩形A的边长分别为12和1时，存在另一矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一．‎ ‎（2）如果已知矩形A的边长分别为6和2，请依照上面的方法研究：是否存在满足要求的矩形B？‎ 问题解决：如果已知矩形A的边长分别为m和n，请你研究，当m和n满足什么条件时，矩形B存在？‎ 应用提升：如果在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下面的问题：（直接写出结果即可，不需说明理由）．‎ ‎①该图象所表示矩形A的两边长各为多少？‎ ‎②该图象所表示矩形B的两边长各为多少？‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）利用求根公式解方程即可；‎ ‎（2）与（1）类似求解；‎ 问题解决：依照（1）、（2）的解法，设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得3x2﹣（m+n）x+mn=0，然后根据判别式的意义求解；‎ 应用提升：①利用函数图象和待定系数法得到一次函数和反比例函数解析式，则由，利用问题解决中的结论设矩形A的边长分别为m和n，则=5.5， =7.5，然后求出m和n即可得到该图象所表示矩形A的两边长；‎ ‎②对于①中的方程组消去y化简得x2﹣5.5x+7.5=0，人家利用求根公式解方程即可得到该图象所表示矩形B的两边长．‎ ‎【解答】解：（1）x=，‎ 所以x1=，x2=3；‎ 故答案为，3；‎ ‎（2）设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意得 ‎，消去y化简得3x2﹣8x+12=0，‎ ‎∵△=64﹣144＜0，‎ ‎∴方程3x2﹣8x+12=0没有实数解，‎ ‎∴已知矩形A的边长分别为6和2时，不存在另一矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一；‎ 问题解决：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意得 ‎，消去y化简得3x2﹣（m+n）x+mn=0，‎ ‎∵△=（m+n）2﹣12mn=m2+n2﹣10mn，‎ 当m2+n2≥10mn时，△≥0，方程有实数解，‎ ‎∴当m和n满足m2+n2≥10mn时，矩形B存在；‎ 应用提升：①一次函数解析式为y=﹣x+5.5，反比例函数解析式为y=，‎ ‎∴，‎ 设矩形A的边长分别为m和n，则=5.5， =7.5，解得m=15，n=1.5，即 ‎∴该图象所表示矩形A的两边长分别为15和1.5；‎ ‎②方程组消去y化简得x2﹣5.5x+7.5=0，‎ ‎∵△=5.52﹣4×7.5＞0，‎ ‎∴x1=2.5，x2=3；‎ ‎∴该图象所表示矩形B的两边长分别为2.5和3．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查一元二次方程得应用．解决本题的关键是方程思想的运用．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2016•胶州市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，CD是∠ACB的平分线，动点P从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动（点P与A，C不重合），过点P作PE∥AB，分别交CD，CB于F，E，连接PD，设点P的运动时间为t妙，△PDF的面积为s．‎ ‎（1）求当t为何值时，四边形PDBE是平行四边形；‎ ‎（2）求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）试确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PDF与Rt△ABC的面积之比等于2：25？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）由题意得出当PD∥BC时，四边形PDBE是平行四边形，由角平分线和平行线得出∠PDC=∠BCD=∠PCD，证出PD=PC，证明△APD∽△ACB，得出对应边成比例，即可得出结果；‎ ‎（2）作DG⊥AC于G，FH⊥AC与H，得出∠GDC=∠PCD=45°，证出DG=CG，由三角函数得出tanA=，即，求出DG=4，同理：FH=，由s=△CPD的面积﹣△CPF的面积=t×4﹣×t×t=﹣t2+2t即可；‎ ‎（3）由题意得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵PE∥AB，‎ ‎∴当PD∥BC时，四边形PDBE是平行四边形，‎ ‎∵CD是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠PCD=∠BCD=∠ACB=45°，‎ ‎∴∠PDC=∠BCD=∠PCD，‎ ‎∴PD=PC，‎ ‎∵∠A=∠A，∠APD=∠ACB，‎ ‎∴△APD∽△ACB，‎ ‎∴，即，‎ 解得：t=2；‎ ‎（2）作DG⊥AC于G，FH⊥AC与H，如图所示：‎ ‎∴∠GDC=∠PCD=45°，‎ ‎∴DG=CG，‎ 在Rt△AGD和Rt△ACB中，tanA=，‎ 即，‎ 解得：DG=4，‎ 同理：FH=，‎ 由题意得：s=△CPD的面积﹣△CPF的面积=t×4﹣×t×t=﹣t2+2t，‎ ‎∴s=﹣t2+2t；‎ ‎（3）存在，理由如下：‎ 由题意得：﹣ t2+2t=××12×6，‎ 解得：t=3.6或t=2.4；‎ ‎∴当t=3.6秒或2.4秒时，△PDF与Rt△ABC的面积之比等于2：25．‎ ‎【点评】本题是相似形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．‎