高中数学必修1奇偶型习题

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高中数学必修1奇偶型习题

‎1.3.2 奇偶性 ‎1.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是(  )‎ ‎                ‎ ‎ A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 ‎2.已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)<f(1), 则下列不等式中一定成立的是(  )‎ ‎ A.f(-1)<f(-3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1)‎ ‎3.下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数.‎ 其中正确的命题个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.已知f(x)、g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,而f(x)·g(x)是偶函数,写出满足条件的一组函数为:f(x)=__________,g(x)=__________.‎ 课堂巩固 ‎1.(2008全国高考卷Ⅱ,理3文4)函数f(x)=-x的图象关于(  )‎ A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 ‎2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)等于(  )‎ A.1 B. C.-1 D.- ‎3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则(  )‎ A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2)‎ C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定 ‎4.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(2,5)上是(  )‎ A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.增减性不确定 ‎5.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17,则f(5)=________.‎ ‎6.若f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是__________.‎ ‎7.(2008上海高考,文9)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.‎ ‎8.判断下列函数的奇偶性:‎ ‎(1)f(x)=;‎ ‎(2)f(x)=a(x∈R);‎ ‎(3)f(x)= ‎9.已知函数f(x)=x2-2|x|.‎ ‎(1)判断并证明函数的奇偶性;‎ ‎(2)判断函数f(x)在(-1,0)上的单调性并加以证明.‎ ‎1.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是……‎ ‎(  )‎ A.bf(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)‎ ‎8.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________, b=________.‎ ‎9.已知函数f(x)具有如下两个性质:①对任意的x1,x2∈R(x1≠x2)都有>0;②图象关于点(1,0)成中心对称图形.写出函数f(x)的一个解析表达式为______________________________________.‎ ‎10.如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数,且最大值为10,最小值为6,那么 f(x)在[-7,-2]上是增函数还是减函数?求函数f(x)在[-7,-2]上的最大值和最小值.‎ ‎11.已知函数f(x)=.‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性.‎ ‎(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?请证明你的结论.‎ 答案与解析 ‎1.3.2 奇偶性 课前预习 ‎1.B F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).‎ 又x∈(-a,a)关于原点对称,‎ ‎∴F(x)是偶函数.‎ ‎2.D ∵f(-3)=f(3),‎ ‎∴f(3)<f(1).‎ ‎∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数.‎ ‎3.A 函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故①错;‎ 函数y=是奇函数,但不过原点,故②错;‎ 函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故④错.‎ ‎4.x-1 x+1(答案不唯一)‎ 课堂巩固 ‎1.C ∵x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内每一个x,都有f(-x)=-+x=-f(x),‎ ‎∴该函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.‎ ‎2.C ∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1.‎ ‎3.A f(x)是R上的偶函数,‎ ‎∴f(-x1)=f(x1).‎ 又f(x)在(0,+∞)上是减函数,x2>-x1>0,‎ ‎∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1).‎ ‎4.B ∵f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),‎ ‎∴m=0.∴f(x)=-x2+3.‎ ‎∴在(2,5)上为减函数.‎ ‎5.-13 整体思想:f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17⇒(a·57-5b)=-15,‎ ‎∴f(5)=a·57-b·5+2=-15+2=-13.‎ ‎6.{x|0<x<2} 偶函数的图象关于y轴对称,可先作出f(x)的图象,利用数形结合的方法求解.‎ 画图可知f(x)<0的解集为{x|-1<x<1},‎ ‎∴f(x-1)<0的解集为{x|0<x<2}.‎ ‎7.-2x2+4 f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2.‎ ‎∵f(x)是偶函数,∴2a+ab=0,‎ 解得a=0或b=-2.‎ 当a=0时,f(x)=bx2,这与f(x)∈(-∞,4]相矛盾,故a≠0.‎ 当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2∈(-∞,4],得2a2=4,此时f(x)=-2x2+4.‎ ‎8.解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.‎ ‎(2)函数的定义域为R,当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a≠0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.‎ ‎(3)函数的定义域为R,当x>0时,-x<0,此时f(-x)=(-x)2[1+(-x)]=x2(1-x)=f(x);当x<0时,-x>0,此时f(-x)=(-x)2[1-(-x)]=x2(1+x)=f(x);‎ 当x=0时,-x=0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=f(x).‎ 综上,f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.‎ ‎9.解:(1)是偶函数.定义域是R,‎ ‎∵f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),∴函数f(x)是偶函数.‎ ‎(2)f(x)是单调递增函数.‎ 证明:当x∈(-1,0)时,f(x)=x2+2x,‎ 设-1-2,即x1+x2+2>0.‎ ‎∵f(x1)-f(x2)=(x-x)+2(x1-x2)‎ ‎=(x1-x2)(x1+x2+2)<0,‎ ‎∴f(x1)f(6)=f(10).‎ ‎8. 0 偶函数定义域关于原点对称,‎ ‎∴a-1+2a=0.∴a=.‎ ‎∴f(x)=x2+bx+1+b.‎ 又∵f(x)是偶函数,∴b=0.‎ ‎9.y=x-1,y=(x-1)3,y=(x-1)5,…,y=(x-1)n(n为正奇数)‎ ‎①对任意的x1,x2∈R(x1≠x2)都有>0,则函数在R上为增函数,而函数y=x3在R上为增函数;②图象关于(1,0)点成中心对称图形,则函数y=x3向右平移一个单位,即函数y=(x-1)3的图象关于(1,0)点成中心对称图形.另外,函数y=x-1,y=(x-1)3,y=(x-1)5,…,y=(x-1)n(n为正奇数)都是符合题意的函数.‎ ‎10.解:f(x)在[-7,-2]上是增函数.证明如下:‎ 任取x1,x2∈[-7,-2],且x1<x2,则2≤-x2<-x1≤7.‎ 因为f(x)在区间[2,7]上是增函数,‎ 所以f(-x2)<f(-x1).‎ 又因为f(x)是奇函数,所以f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),‎ 即-f(x2)<-f(x1),f(x1)<f(x2).‎ 所以函数f(x)在[-7,-2]上是增函数.‎ 于是其最大值为f(-2)=-f(2)=-6,最小值为f(-7)=-f(7)=-10.‎ 点评:奇函数的图象关于原点对称,它们在关于原点对称的单调区间上具有相同的单调性;偶函数的图象关于y轴对称,它们在关于原点对称的区间上的单调性恰好相反.‎ ‎11.解:(1)因为f(x)的定义域为R,‎ 又f(-x)===f(x),‎ 所以f(x)为偶函数.‎ ‎(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.‎ 证明:取x10,x1+x2<0,‎ 且x+1>0,x+1>0.‎ 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
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