广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末模拟考试数学（理）试题

广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末模拟考试数学（理）试题

广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末模拟考试数学（理）试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共40分）‎ 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则 A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}‎ ‎2．若向量=（2,3），=（4,7），则=‎ A．（-2,-4） B． (2,4) C．(6,10) D．(-6,-10)‎ ‎3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A． B． C．y= D． ‎ ‎4．一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 ‎ ‎ ，则正视图中x的值为 ‎ A. 5 B. ‎4 C. 3 D. 2 ‎ ‎5．已知实数满足，则函数 有极值的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎6．△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）‎ A． B. C. 或 D. ‎ ‎7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎8.设． A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)‎ ‎9．设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.‎ ‎10．已知某位同学五次数学成绩分别是：121，127,123，，125，若其平均成绩是124，则这组 数据的方差是_______.‎ ‎11．A B O C ‎(第12题)‎ 已知递增的等差数列满足，，则 。‎ ‎12．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·=_______.‎ ‎13．已知在锐角中，,则 ‎ 的取值范围为________.‎ ‎14．设，将个数依次放入编号为 的个位置，得到排列.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列 ‎，将此操作称为变换，将分成两段，每段个数，‎ 并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，‎ 并对每段作变换，得到，例如，当时，，此时 位于中的第个位置.‎ ‎（1）当时，位于中的第___个位置；‎ ‎（2）当时，位于中的第___个位置.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．（本小题满分12分）‎ 已知函数，的最大值是1，其图象经过点．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）已知，且，，求的值．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎2012年3月2日‎，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的 PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ 组别 PM2.5（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 频率 第一组 ‎(0,15]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎(15,30]‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎(30,45]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第四组 ‎(45,60]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第五组 ‎(60,75]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第六组 ‎(75,90)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎(Ⅰ) 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：‎ ‎（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？ ‎ ‎（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知数列中，。‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和;‎ ‎(3)若存在，使关于的不等式成立，求常数的最小值。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设函数在内有极值．(注：是自然对数的底数．)‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）若，，求证：．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设函数. ‎ ‎(Ⅰ)当x=6时, 求的展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(Ⅱ)对任意的实数x, 证明＞‎ ‎(Ⅲ)是否存在, 使得an＜＜恒成立? 若存在, 试证明你的结论并求出a的值；若不存在, 请说明理由. ‎ ‎ ★ 高三理科数学 参考答案 一、选择题（40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8[‎ 答案 C A A C C A D A 二、填空题（30分）‎ ‎9． 10．4 11． 12． 13． 14．.‎ 三、解答题（80分）‎ ‎15．解：（1）依题意有，则，将点代入得，‎ 而，，（4分），故；（6分）‎ ‎（2）依题意有，‎ 而，，（10分）‎ 故.（12分）‎ ‎16.解：(Ⅰ) 众数约为22.5微克/立方米, 中位数约为37.5微克/立方米．(2分)‎ ‎（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为 ‎（微克/立方米）．(‎ 因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．（5分）‎ ‎（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.随机变量的可能取值为0,1,2.且x ～.‎ 所以，‎ 所以变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（天）或（天）.（12分）‎ ‎17. 解：设从2011年起，该车第年啤酒和葡萄酒年生产量分别为吨和吨，经过年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为吨和吨。‎ ‎（1）设第年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为吨，依题意，=，‎ ‎=，（）， 2分 则=+=，‎ 当且仅当，即时取等号， ‎ 故年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为吨。 6分 ‎（2）依题意，，得，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的。…12分 ‎18. 解：（Ⅰ）因为 ‎ 所以 - -------1分 两式相减得 ‎ 所以 ------------2分 因此数列从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列 所以----3分 故 ------------4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当 ‎ 当时，， ------------5分 ‎ ， ------------6分 ‎ 两式相减得 ------------7分 ‎ 又也满足上式， ------------8分 ‎ 所以 ------------9分 ‎（Ⅲ）等价于， ------------10分 由（Ⅰ）可知当时， ‎ 设 则， ------------12分 ‎，又及， ------------13分 所求实数的取值范围为, - -----14分 ‎19解：（I）函数的定义域是；‎ ‎，当时，有，所以，由上式分子是二次函数，题意就转化为在有解且符合极值点要求，令，不妨设，由且可得；因此，只要，，得．‎ ‎（II）由得或；由得或；所以得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．‎ 由，则，由得，所以，，由且得，由，又在是递增的，所以，．即．‎ ‎20.解（Ⅰ）：展开式中二项式系数最大的项是第4项，第4项是=.‎ ‎（Ⅱ）证法一：因 证法二：‎ 因 而,故只需对和进行比较。‎ 令，有 由，得,因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值,故当时，，从而有，亦即,故有恒成立。所以，原不等式成立。‎ ‎（Ⅲ）对，且 有 ‎, ‎ 又因，故 ‎∵，从而有成立，‎ 即存在，使得恒成立。‎