新疆昌吉市教育共同体2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

新疆昌吉市教育共同体2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

昌吉市教育共同体2019-2020年高二年级第二学期期中质量检测 理科数学 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.设函数可导，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义，直接得出结果.‎ ‎【详解】根据导数的定义，有.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题.‎ ‎2.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）‎ A. -1 B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法计算，求得结果，再由纯虚数的定义，列出不等式组，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 当，即时，该复数纯虚数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘法运算，纯虚数的定义，属于基础题.‎ ‎3.现有4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为（ ）‎ A. 27 B. ‎54 ‎C. 108 D. 144‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先给最左边一个字涂色，有4种结果，再给左边第二个字涂色有3种结果，以此类推第三个字，第四个字分别都有3种结果，根据分步计数原理得到结果.‎ ‎【详解】按从左到右的顺序，逐个字涂色，‎ 第一个字有4种结果，‎ 因为相邻字不同色，‎ 故第二个字，第三个字，第四个字各有3种结果，‎ 所以，根据分步计数原理知，共有种结果.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意涂色的限制条件，属于基础题.‎ ‎4.由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）‎ A. ②①③ B. ②③① C. ①②③ D. ③①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：‎ 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；‎ 小前提：①安梦怡是高二（1）班学生；‎ 结论：②安梦怡是独生子女，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎5.（ ）‎ A. -5 B. ‎-3 ‎C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导函数的公式求出的原函数，再结合定积分定理进行求解即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的简单应用，利用导函数的公式研究原函数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A. B. 45° C. D. 135°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即曲线在点处切线的斜率为，‎ 故曲线在点处切线的倾斜角为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义求切线的倾斜角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7.如图，阴影区域的边界是直线及曲线，则这个区域的面积是（ ）‎ A. 8 B. 4‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，阴影部分的面积可看成函数在上的定积分的值，即，故选A.‎ 考点：定积分在求面积中的应用.‎ ‎8. 从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（ ）‎ A. 6 B. ‎10 ‎C. 16 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：先选副组长，．故选C．‎ 考点：组合的应用．‎ ‎9.函数在R上的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对求导，再令，即可求出单调递减区间.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 的单调递减区间为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的导函数，运用导数研究函数的单调性，属于中档题.‎ ‎10.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.‎ 详解：，不正确； ，正确；,不正确；，不正确，故选B.‎ 点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.‎ ‎11.若二次函数图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先根据二次函数的判断出的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．‎ 详解：∵函数的图象开口向上且顶点在第四象限， ‎ ‎ ‎ ‎∴函数的图象经过一，三，四象限， ∴选项A符合， 故选A．‎ 点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎12.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，再利用导函数研究函数的增减性，结合，的奇偶性判断函数的奇偶性，再结合已知可得，，即可得解.‎ ‎【详解】解：设,‎ 则，‎ 由当时，，‎ 则函数在为增函数，‎ 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，‎ 则在上为奇函数，‎ 则函数在为增函数，‎ 又，‎ 所以，‎ 则，‎ 则的解集为，‎ 即不等式的解集是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，重点考查了导数的应用，属中档题.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.曲线y＝x3－2x＋1在点处的切线方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】由，得，‎ 在点处的切线的斜率为，‎ 又，‎ 所以所求切线方程为：，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.‎ ‎14.用反证法证明“若，则或”时，应假设____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 或的否定是且 ‎15.在复平面内，复数所对应的点位于第_______象限 ‎【答案】二 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法运算化简，再根据复数的几何意义得出结论.‎ ‎【详解】，‎ 该复数在复平面内对应的点为，是第二象限的点.‎ 故答案为：二.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义.属于基础题.‎ ‎16.设曲线在点处的切线方程为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的定义域为，，由题意知 考点：导数的几何意义 三、解答题（17题10分，‎18.19.20‎.21.22每题12分，共70分）‎ ‎17.实数取什么值时，复数 ‎（1）与复数相等 ‎ ‎（2）对应的点在轴上方.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据复数相等的定义，实部、虚部分别相等，列出方程组，即可解得的值；‎ ‎（2）根据复数几何意义，写出该复数在复平面内对应的点的坐标.由该点在轴上方可知，其纵坐标大于零，解不等式即可.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎ ，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 其在复平面对应的点为，‎ 该点在轴上方，则 或.‎ ‎【点睛】本题考查了复数相等的定义，以及复数几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎18.已知函数，其导函数为.‎ ‎（Ⅰ）求在处的切线的方程;‎ ‎（Ⅱ）求直线与图象围成的图形的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，由切线的斜率，求出，由点斜式可写出切线的方程；（Ⅱ）先求出切线与函数图象交点的坐标，再由积分公式直接计算即可.‎ 试题解析： （Ⅰ）又 即：‎ ‎（Ⅱ）由 考点：1.导数的几何意义；2.积分的几何意义及运算法则.‎ ‎19.已知函数图象上在点处的切线与直线平行，‎ 求（1）函数的解析式；‎ ‎（2）求f（x）的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的导数求出切线的斜率，再结合函数经过的点的坐标，列出方程组，解得的值；‎ ‎（2）先对求导，再令，即可求出单调递减区间.‎ ‎【详解】解：（1）由得，‎ 在点处的切线与直线平行，‎ ‎，即，‎ 解得 ，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 令，即，则，‎ 故函数的单调递减区间为：‎ ‎【点睛】本题考查了导函数几何意义，导函数的计算，利用导函数求单调区间，属于中档题.‎ ‎20.已知数列，，，…，，…，‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）由以上结果推测计算的公式，并用数学归纳法给出证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）逐个计算即可；‎ ‎（2）根据（1）猜想，再按照数学归纳法的步骤，证明结论.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）猜想 ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.‎ ‎①时，，成立；‎ ‎②假设时，有成立，‎ 则当时，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 时，猜想也成立，‎ 故由①，②可知，猜想对都成立.‎ ‎【点睛】本题考查了逻辑推理，数学归纳法证明命题，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ 求：（1)函数的极值；‎ ‎（2)函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1)函数有极大值，；（2)最大值是，最小值是．‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)对函数求导,通过分解因式解出导函数为0的方程根,并根据二次函数的图象判断出导函数的正负,即原函数的单调增减区间,列出表格,进而求出极值;(2)根据定义域结合函数图象,比较端点值的大小确定出函数的最大值,极小值即为最小值.‎ 试题解析:(1) ‎ ‎ ‎ 令，得或 令，得或，令，得 ‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 时，取极大值，‎ 时，取极小值，‎ ‎（2），，‎ 由（1）可知的极大值为，极小值为，‎ 函数在上的最大值为，最小值为.‎ 点睛: 导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x ‎|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．‎ ‎22.已知函数在与时都取得极值．‎ ‎（1）求的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；‎ ‎（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．‎ ‎【详解】（1），f（x）＝3x2+2ax+b 由解得，‎ f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞,）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．‎ ‎（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，‎ 得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，‎ 所以当x时，f（x）极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．‎ 要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．‎