2021届广西南宁市普通高中高三（上）10月摸底测试数学（文）试题及答案解析

2021届广西南宁市普通高中高三（上）10月摸底测试数学（文）试题及答案解析

2021 届广西南宁市普通高中高三（上）10 月摸底测试数学（文）试 题 一、单选题 1．随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为 3000元，预计该地区今 后农民的人均年收入将以每年 6%的年平均增长率增长，那么 2025年年底该地区的农民人均年收入 为（ ） A．3000 1.06 7  元 B． 73000 1.06 元 C．3000 1.06 8  元 D． 83000 1.06 2． 已知集合 A＝{－1，a}，B＝{0,1}，若 A∩B＝{0}，则 A∪B＝( ) A．{0,1} B．{－1,0} C．{－1,0,1} D．{－1,1,2} 3．化简 cos cos3 sin 3 sin       的结果为（ ） A． tan B． tan 2 C． 1 tan D． 1 tan 2 4．设复数 z满足 2019(1 )i z i  ，则复数 z的虚部为（ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 1 2 i D． 1 2 i 5．已知α为锐角，且 7sinα＝2cos2α，则 sin ＝ A． B． C．㤵 D．㤵 6．直线 : 2 1 0l x my m    与圆 2 2: ( 2) 4C x y   交于 A B、两点，则当弦 AB最短时直线 l的 方程为（ ） A． 2 4 1 0x y   B． 2 4 3 0x y   C． 2 4 1 0x y   D． 2 4 3 0x y   7．函数    2ln 2f x x x    的单调递减区间为（ ） A．    , 2 1,    B． 1-2 - 2 （ ， ） C． 1- 1 2 （ ，） D． 1 （ ， ） 8．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的（ ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变 C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变 9．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球O的球面上，PA 平面 ABC， 2PA AB BC   ，PB 与平面 PAC所成的角为30°，则球O的表面积为（ ） A．6 B．8 C．12 D． 24 10．等比数列 na 的各项均为正数，已知向量  4 5,a a a  ，  7 6,b a a  ，且 4a b   ，则 2 1 2 2 2 10log log log (a a a   ) A．2 B．0 C． D． 22 log 5 11．若对于任意的 1 2, [ 2,0)x x   ， 1 2x x ，有 1 2 1 2 1 2 2 2x xx e x e a x x      （ ） （ ） 恒成立，则 a的最 小值为（ ） A． 2 1 e  B． 2 2 e  C． 2 3 e  D． 1 e  12．如图，设抛物线 2 2y px 的焦点为 F ，过 x轴上一定点 (2,0)D 作斜率为 2的直线 l与抛物线 相交于 ,A B两点，与 y轴交于点C，记 BCF 面积为 1S ， ACF 面积为 2S ，若 1 2 1 4 S S  ，则抛物 线的标准方程为 A． 2 2y x B． 2 8y x C． 2 4y x D． 2y x 二、填空题 13．若双曲线 2 2 2 1 4 x y a   ( 0)a  的一条渐近线方程过 (1, )a ，则此双曲线的离心率为__________. 14．若 x y， 满足约束条件 1 0 { 2 0, 2 2 0, x y x y x y         ， ，则 2z x y  的最大值为____________． 15．已知球O的体积为36 ，则球O的内接圆锥的体积的最大值为_____________． 16．已知数列 na 共 16 项，且 1 81, 4a a  ，记关于 x 的函数，    3 2 21 1 , 3n n nf x x a x a x n N      ，若  1 1 15nx a n   是函数  nf x 的极值点，且曲线  8y f x 在点   16 8 16,a f a 处的切线的斜率为 15，则满足条件的数列 na 的个数_____ . 三、解答题 17．已知函数   3 3 1f x x a x    ，   4 1 2g x x x    . （1）求不等式   6g x  的解集； （2）若存在 1 2,x x R ，使得  1f x 和  2g x 互为相反数，求 a的取值范围. 18．已知在等比数列 na 中， 1 2a  ，且 1a ， 2a ， 3 2a  成等差数列． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 满足： 2 1 2logn n n b a a   ，求数列 nb 的前 n项和 nS ． 19． 已知函数 (( 1) 3 3 )x a a f x x   ， 0a  且 1a  ． （1）试就实数 a的不同取值，写出该函数的单调增区间； （2）已知当 0x  时，函数在  0, 6 上单调递减，在  6, 上单调递增，求 a的值并写出函 数的解析式； （3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线 l，使得 l为曲线C的对称轴？ 若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由． 20．如图所示，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，E F G H， ， ， 分别是 1 1 1 1AB AC AB AC， ， ， 的中点， 求证：（1） B C H G， ， ， 四点共面； （2）平面 1EFA //平面 BCHG． 21．已知点  1, 2A 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)y x a b a b     上的一点，椭圆C的离心率与双曲线 2 2 1x y  的离心率互为倒数，斜率为 2直线 l交椭圆C于 B，D两点，且 A， B，D三点互 不重合. （1）求椭圆C的方程； （2）若 1k ， 2k ，分别为直线 AB， AD的斜率，求证： 1 2k k 为定值. 22．已知函数 ( ) lnaf x b x x   ，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝x. （1）求函数 f(x)的单调区间及极值； （2）若∀x≥1，f(x)≤kx恒成立，求 k的取值范围． 23．某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了 60 名学生（其 中初中组和高中组各 30 名）进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了 统计，将每组学生去图书馆的次数分为 5组：          0,4 , 4,8 , 8,12 , 12,16 , 16,20 ，分别制 作了如图所示的频率分布表和频率分布直方图. 分组 人数 频率  0,4 3  4,8 9  8,12 9  12,16 0.2  16,20 0.1 （1）完成频率分布表，并求出频率分布直方图中a的值； （2）在抽取的 60 名学生中，从在一个月内去图书馆的次数不少于 16 次的学生中随机抽 取 3 人，并用 X 表示抽得的高中组的人数，求 X 的分布列和数学期望. 【答案与解析】 1．B 设经过 x年，该地区的农民人均年收人为 y元，可列出函数表达式 3000 1.06xy   ，从而可求解. 设经过 x年，该地区的农民人均年收人为 y元， 根据题意可得 3000 1.06xy   ，从 2018到 2025年共经过了 7年， 2025年年底该地区的农民人均年收入为 73000 1.06 元. 故选：B 本题考查了指数函数在生活中的应用，解题的关键是建立函数模型，属于基础题. 2．C 由 A∩B＝{0}，得0 A ,所以 0a  ， A∪B={－1,0,1}. 3．B 利用三倍角公式把 cos3 和sin3 展开式代入式子， 得到原式 3 3 cos (4cos 3cos ) (3sin 4sin ) sin            ，再利用二倍角公式以及同角三角函数间的基本关系进一 步化简即可． 3 2 3 cos cos3 cos (4cos 3cos ) 4cos sin tan 2 sin3 sin (3sin 4sin ) sin 2cos2 sin                           ， 故选 B. 本题属于三角函数的化简求值问题，解答本题要掌握三倍角公式． 4．B 利用 i4＝1，复数的运算法则、虚部的定义即可得出． ∵i4＝1，∴i2019＝（i4）504•i3＝﹣i． ∴       1 1 1 1 1 1 2 2 i iiz i i i           i． ∴ 1 1 2 2 z i   ，其虚部为 1 2 ． 故选 B． 本题考查了复数的周期性、复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 5．A 由已知得 sin2 sin 㤵 2 䁠 0，从而求出 sin和 cos的值，再由两角和的正弦公式即能求出结 果． ∵为锐角，且 sin 䁠 2cos2，∴sin 䁠 2 㤵 2sin2 ， ∴sin2 sin 㤵 2 䁠 0，∴sin 䁠㤵 2（舍去）舍去 䁠 ， ∴ㄠ 䁠 㤵 2 䁠 ， ∴舍去 䁠 舍去ㄠ ㄠ舍去 䁠 2 2 䁠 ，故选 A． 本题主要考查三角函数值的求法，同角三角函数关系式，两角和正弦公式的合理运用，是中档题． 6．B 先求出直线经过定点 1( ,1) 2 P ，圆的圆心为  0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l 时 弦 AB最短，根据 1CP lk k   求出m的值，即可求出直线 l的方程. 解：由题得， (2 1) ( 1) 0x m y    ， 2 1 0 1 0 x y      ，解得： 1 2 1 x y      ， 所以直线 l过定点 1( ,1) 2 P ， 圆 2 2: ( 2) 4C x y   的圆心为  0,2C ，半径为 2， 当CP l 时，弦 AB最短，此时 1CP lk k   ， 由题得 2 1 210 2 CPk      ， 1 2lk  ， 所以 2 1 2m   ， 4m   ， 所以直线 l的方程为： 2 4 3 0x y   . 故选：B. 本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简 运算能力. 7．C 分析：求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可. 详解：由 2 2 0x x    可得 2 1x   ，设 2t 2x x    , 因为函数 2t 2x x    在 1- 1 2 （ ，）上递减， y lnt 递增， 所以函数  f x 的单调递减区间为 1- 1 2 （ ，），故选 C. 点睛：本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断 可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一 是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含 义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）. 8．D 解：按照平均值的定义和方差的定义可知，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数 的平均数改变，方差不变。选 D 9．C 取 AC中点D，连接 ,BD PD，证明 BD 平面 PAC，故 DPB 为 PB与平面PAC所成的角为 30°，球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D，计算得到答案. 取 AC中点D，连接 ,BD PD， 2AB BC  ，则 BD AC . PA 平面 ABC， BD 平面 ABC，故 PA BD . PA AC A ，故 BD 平面 PAC，故 DPB 为 PB与平面PAC所成的角为 30°. 2 2PB  ，故 2BD  ， 6PD  ， 2 2AC  ，故 2 ABC    . 球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D， 根据OA OP 知， 1, , 1 2 OH AP AH HP OD AP    ，故 2 2 2 3R OD AD   ， 故球的表面积为 24 12R  . 故选：C. 本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心O在平面 ABC的投影为 ABC 的外心D是解题的关 键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．C 利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出． 向量 a＝（ 4a ， 5a ），b  ＝（ 7a ， 6a ），且 a •b  ＝4， ∴ 4 7a a + 5 6a a ＝4， 由等比数列的性质可得： 1 10a a ＝……＝ 4 7a a ＝ 5 6a a ＝2， 则 2 1 2 2 2 10log log loga a a    log2（ 1 2a a • 10a ）＝  5 5 2 1 10 2log log 2 5a a   ． 故选 C． 本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中 档题． 11．C 由原不等式恒成立可转化为        1 2 1 22 2x xx e a x e a     恒成立，构造函数 ( ) ( 2)( )xf x x e a   ，根据函数在[ 2,0) 上单调递减求参数 a的取值范围即可求解. 由题意，不妨设 1 2 0x x  ， 则 1 2 1 2 1 2 2 2x xx e x e a x x      （ ） （ ） 可变为 1 2 1 2 1 22 2 ( )x xx e x e a x x    （ ） （ ） ， 即    1 2 1 2 1 22 2 2 2x xx e x e a x x        （ ） （ ） 整理得：        1 2 1 22 2x xx e a x e a     所以函数 ( ) ( 2)( )xf x x e a   在[ 2,0) 上为减函数，  ( ) 1xf x e x a   Q ， 令 ( ) 0f x „ ， 得 ( 1)xe x a „ 设 (( )) 1xg e xx  ， 则 max( )a g x… 因为 ( ) 0xg x xe   ， 所以 (( )) 1xg e xx  在[ 2,0) 上为减函数， 即 max 2 3( ) ( 2)g x g e     所以 2 3a e … ，即 a的最小值为 2 3 e  . 故选：C 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查了转化 思想，属于难题. 12．C 根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据 三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数 p的值． 因为直线斜率为 2，经过定点  2,0D 所以直线方程为  2 2y x  ，即 2 4 0x y   作 BM y 轴， AN y 轴 因为 1 2 1 4 S S  ，即 1 4 CB CA  ，所以 1 4 BM AN  联立方程 2 2 4 0 2 x y y px      ，化简得  22 8 8 0x p x    根据一元二次方程的求根公式，得 28 16 4 p p p x     所以 2 2 1 2 8 16 8 16 , , , 4 4 p p p p p p A y B y                      因为 1 4 BM AN  ，所以 2 2 8 16 1 48 16 p p p p p p        化简得 2 16 36 0p p   ，即   18 2 0p p   因为 0p  ，所以 2p  即， 2 4y x 所以选 C 本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题． 13． 3 . 根据双曲线渐近线方程过点 (1, )a ，将点代入渐近线方程即可求得 a，即可求得离心率。 双曲线的渐近线方程为 2by x x a a     因为渐近线方程过点 (1, )a ，即渐近线方程 2y x a  过 (1, )a 代入可求得 2a  或 2a   （舍） 则 2 2 6c a b   所以离心率 6 3 2 ce a    本题考查了双曲线的标准方程及其性质的应用，渐近线方程和离心率的简单求法，属于基础题。 14． 5 2 试题分析：作出可行域，如下图： 由图像可知，目标函数 2z x y  ，在点 处，取得最大值，此时最大值为 ． 考点：简单的线性规划． 【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数 z Ax By  ，首先，作直线 Ay x B   ，并将其在可行区域内进行平移；当 0B  时，直线 Ay x B   在可行域内平移时截距越 高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当 0B  时，直线 Ay x B   在可行域内平移 时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小． 15． 32 3  分析：首先根据题中所给的球的体积求得球的半径的大小，之后利用对应几何体的轴截面，找出内 接圆锥的底面圆的半径，圆锥的高和球的半径之间满足的等量关系式，将圆锥的体积转化为高的函 数，借助于均值不等式求得最大值. 详解：设球的半径为 R，则有 34 36 3 R  ，整理得 3 27R  ，即 3R  ，设给球的内接圆锥的底 面圆的半径为 r，高为 h，则有 2 (6 )r h h  ，而该圆锥的体积 21 1 4 1 1(6 ) (6 ) 3 3 3 2 2 V r h h h h h h h           ，利用均值不等式可得当 1 1 6 2 2 h h h   的 时候，即 4h  时取得最大值，且最大值为 34 322 3 3    . 点睛：该题所考查的是有关几何体的内接问题，在解题的过程中，直角三角形中摄影定理在寻求 ,r h 的关系时起着关键性的作用，还有就是在求最大值的时候，也可以应用导数来完成. 16．1176 由题   2 22 1n n nf x x a x a     ，，  1 1 15nx a n   是函数  nf x 的极值点，即    2 22 1 1 1 12 1 0, 1, 1n n n n n n n na a a a a a a a                  1 2 2 3 7 8 1 8... 3a a a a a a a a          又 1 2 2 3 7 8, ...a a a a a a      故这七项中必有 2项取 1,5项取-1，，即 2 7C 中方法，又曲线  8y f x 在点   16 8 16,a f a 处的切线的斜率为15.，即  216 8 16 8 1616, 4, 0a a a a a      或 16 8a  ，      8 9 9 10 15 16 8 16... 4a a a a a a a a         （或-4），故这八项中必有 2项取 -1,6项取 1，（这八项中必有 6项取-1,2项取 1），故满足条件的数列 na 共有 2 8C （或 6 8C 中方法， 所以方法总数为 2 2 7 8 1176C C  个 即答案为 1176. 17．（1） 7 9, 3 5      （2） 11 1, 12 4     （1）利用零点分类讨论方法求解不等式解集即可； （2）由存在 1x R ，存在 2x R ，使得    1 2f x g x  成立，可以转化为      , ,y y f x x R y y g x x R        ，利用绝对值的性质、函数的最值，通过解绝 对值不等式求出 a的取值范围. （1） 2x  时， 4 1 2 6x x    ，解得 5 3 x  ，不合题意； 1 2 4 x  时， 4 1 2 6x x    ，解得 9 5 x  ， 1 4 x  时，1 4 2 6x x    ，解得 7 3 x   . 综上，不等式的解集是 7 9, 3 5      . （2）因为存在 1x R ，存在 2x R ，使得    1 2f x g x  成立， 所以      , ,y y f x x R y y g x x R        . 又      3 3 1 3 3 3 1 3 1f x x a x x a x a          ， 而   3 1, 2 15 3, 2 4 13 1, 4 x x g x x x x x              ，故  g x 的最小值是 7 4  ， 可知  max 7 4 g x  ，所以 73 1 4 a   ，解得 11 1 12 4 a   . 所以实数 a的取值范围为 11 1, 12 4     . 本题考查了解绝对值不等式，考查了存在性问题，考查了绝对值的性质，考查了数学运算能力. 18．（Ⅰ） 2nna  （Ⅱ） 2 11 2n n n   （Ⅰ）设等比数列 na 的公比为q,再根据 1a , 2a , 3 2a  成等差数列求解即可. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 2nna  ，代入有 1 2 2 n nb n      ，再分组利用等比和等差数列的求和公式求 解即可. （Ⅰ）设等比数列 na 的公比为q, ∵ 1a , 2a , 3 2a  成等差数列, 2 1 32 2a a a    , 3 2 2 2nn aq a a      （Ⅱ） 2 2 1 1 12log 2log 2 2 2 2 n n n n n n b a n a                  , 2 31 1 1 12 4 6 ... 2 2 2 2 2 n nS n                                                     2 31 1 1 1+ .. 2 4 ... 2 2 2 2 2 n n                         2 1 11 2 2 11 11 21 2 n n n n n n                      . 本题主要考查了等差数列的基本量求解以及等差等比数列求和公式，属于基础题. 19．（1）当 0a  时，函数 ( )f x 的单调增区间为  ( 1),0a a  ， 0, ( 1)a a  ；当0 1a  时， 函数 ( )f x 的单调增区间为  ,0 ，  0,  ；当 1a  时，函数 ( )f x 的单调增区间为  , ( 1)a a   ，  ( 1),a a   ；（2） 3a  ， 2( ) , 03 3 3 xf x x x   ；（3） 3y x ， 3 3 y x  ． （1）根据复合函数的单调性与对勾函数的单调性级即可；（2）根据（1）的结论即可求解；（3）设 直线 l的方程  0y kx k  ， ,( )P p q   与 ,( )P p q 曲线C上关于直线 l，结合直线的斜率公式、 中点坐标公式及曲线C的方程即可求解． （1）①当 0a  时，函数 ( )f x 的单调增区间为  ( 1),0a a  ，  0, ( 1)a a  ； ②当0 1a  时，函数 ( )f x 的单调增区间为  ,0 ，  0,  ； ③当 1a  时，函数 ( )f x 的单调增区间为  , ( 1)a a   ，  ( 1),a a   ． （2）由题设及（1）中③知 ( 1) 6a a   ，且 1a  ，解得 3a  ， 因此函数解析式为 2( ) , 03 3 3 xf x x x   ． （3）假设存在经过原点的直线 l为曲线C的对称轴， 显然 ,x y轴不是曲线C的对称轴，故可设 l：  0y kx k  ． 设 ,( )P p q 为曲线C上的任意一点， ,( )P p q   与 ,( )P p q 关于直线 l对称， 且 ,p p q q   ，则P也在曲线C上， 由此得 2 2 q q p pk      ， 1q q p p k     ， 且 2 3 3 pq p   ， 2 3 3 pq p      ， 整理得 2 3 1k k   ，解得 3k  或 3 3 k   ． 所以存在经过原点的直线 3y x 及 3 3 y x  为曲线C的对称轴． 本题考查函数的单调性，直线与曲线交点的对称性．求函数单调区间常用方法：1、定义法；2、根 据基本函数单调性；3、根据复合函数单调性；4、导数法；5、图像法. 20．(1)证明见解析；(2)证明见解析. （1）利用三角形中位线的性质，证明 1 1/ /GH BC ，从而可得 / /GH BC，即可证明 B，C，H ， G四点共面； （2）证明平面 1EFA 中有两条直线 1AE、 EF 分别与平面 BCHG中的两条直线 BG、 BC平行， 即可得到平面 1EFA //平面 BCHG． (1) G H ， 分别是 1 1 1 1A B AC， 的中点， GH 是 1 1 1A B C△ 的中位线， 则 1 1/ /GH BC ， 又 1 1 / / / /BC BC GH BC ， ， B C H G ， ， ， 四点共面． (2) E F ， 分别为 AB AC， 的中点， / /EF BC ， EF  平面 BCHG BC ， 平面 BCHG， EF 平面 BCHG， 又G E， 分别是 1 1AB AB， 的中点， 1 1A B AB ， 1AG EB  ， 四边形 1A EBG是平行四边形， 1 / /A E GB ， 1A E  平面 BCHG GB ， 平面 BCHG， 1 / /AE 平面 BCHG， 又 1A E EF E ＝ ， 平面 1EFA //平面 BCHG， 本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．（1） 2 2 1 4 2 y x   ；（2）证明见解析. （1）设椭圆的焦距为 2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率 2 2 ce a   ，再由点  1, 2A 代入 椭圆方程，根据 2 2 2 a b c ，即可求出 , ,a b c，从而可得椭圆方程； （2）设直线 BD的方程为 2y x m  ，根据题意得 0m  ，设  1 1,B x y ，  2 2,D x y ，联立直 线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算 1 2k k ，即可得出结果. （1）设椭圆的焦距为 2c，由双曲线方程 2 2 1x y  易得双曲线的离心率为 2， 则椭圆的离心率 2 2 ce a   ， 将  1, 2A 代入 2 2 2 2 1y x a b   ，得 2 2 2 1 1 a b   ， 又 2 2 2 a b c ，解得 2 2 a b c     ， 所以椭圆 C的方程 2 2 1 4 2 y x   ； （2）证明：设直线 BD的方程为 2y x m  ， 又 A， B，D三点不重合，∴ 0m  ， 设  1 1,B x y ，  2 2,D x y ， 则由 2 2 2 1 4 2 y x m y x         消去 y ，整理得 2 24 2 2 4 0x mx m    ， 所以 1 2 2 2 x x m   ， 2 1 2 4 4 mx x   ， 28 64 0m     ，则 2 2 2 2m   ， 设直线 AB， AD的斜率分别为 1k ， 2k ， 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 y y x m x mk k x x x x                  2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 422 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 4 2 2 21 4 2 4 m mm mm x x x x x x m m mm                    所 以 1 2 0k k  ，即直线 AB， AD的斜率之和为定值. 本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，涉及双曲线的离心率，属于常考题型. 22．（1）单调增区间为 1 , 2      ，单调减区间为 10, 2       ，   =2 2ln 2f x  极小值 ，无极大值．（2） k≥1. （1）可由切线方程求得 a与 b的值，再还原函数的导数，通过分类讨论得出函数的增减性 （2）可通过分离参数与构造函数的方法将参数问题转化为恒成立问题，利用导数进行求解 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，   2 bx af x x   , 故 f′(1)＝b－a＝1， 又 f(1)＝a，点(1，a)在直线 y＝x上， ∴a＝1，则 b＝2. ∴   1 2lnf x x x   且，   2 2 1xf x x   , 当 10 2 x  时，f′(x)<0，当 1 2 x  时，f′(x)>0. 故函数 f(x)的单调增区间为 1 , 2      ，单调减区间为 10, 2       ，   1= 2 2ln 2 2 f x f       极小值 ，无极大值． (2)由题意知， 2 ( ) 2 ln 1 ( 1)f x xk x x x x   … … 恒成立， 令 2 2ln 1( ) ( 1)xg x x x x   … ， 则 2 3 3 2 2ln 2 2( ln 1)( ) ( 1)x x x xg x x x x x         ， 令 h(x)＝x－xlnx－1(x≥1)， 则 h′(x)＝－lnx(x≥1)， 当 x≥1时，h′(x)≤0，h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 故 h(x)≤h(1)＝0，故 g′(x)≤0， ∴g(x)在[1，＋∞)上为减函数， 故 g(x)的最大值为 g(1)＝1，∴k≥1. 分离参数是解决参数问题常用方法，适用于新构造函数能很快求出增减性，判断最值的情况。 23．（1）见解析；（2）见解析. 试题分析：（1）根据频率分布直方图中矩形和面积为 1 可求 a的值； （2）抽得的高中组的人数 X 服从超几何分布，利用超几何分布的原理列分布列求期望即可. 试题解析： （1）频率分布表如图所示： 分组 人数 频率  0,4 3 0.1  4,8 9 0.3  8,12 9 0.3  12,16 6 0.2  16,20 3 0.1 由频率分布直方图知  2 0.025 2 0.050 4 1a      ，解得 0.1a  . （2）由频率分布表知，初中组一个月内去图书馆的次数不少于 16 次的学生有 3人，高中组一个月 内去图书馆的次数不少于 16 次的学生的频率为0.025 4 0.1  ，所以，人数为0.1 30 3  人， 所以 X 的可能取值为 0，1，2，3， 于是     0 3 1 2 3 3 3 3 3 3 6 6 1 90 , 1 20 20 C C C CP X P X C C       ，     2 1 3 0 3 3 3 3 3 3 6 6 9 12 , 3 20 20 C C C CP X P X C C       ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 所以   1 9 9 1 30 1 2 3 20 20 20 20 2 E X          .