2013年海南省中考数学试卷(含答案)

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2013年海南省中考数学试卷(含答案)

海南省2013年中考数学试卷 一、选择题(共14小题,每小题3分,满分41分)在下列各题的选项中,有且只有一个是正确的。‎ ‎1.(3分)(2013•海南)﹣5的绝对值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎﹣5‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎﹣‎ 考点:‎ 绝对值.‎ 分析:‎ 根据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可.‎ 解答:‎ 解:﹣5的绝对值是5.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了绝对值的定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2013•海南)若代数式x+3的值为2,则x等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎﹣1‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎﹣5‎ 考点:‎ 解一元一次方程 分析:‎ 根据题意,列出关于x的一元一次方程x+3=2,通过解该方程可以求得x的值.‎ 解答:‎ 解:由题意,得 x+3=2,‎ 移项,得 x=﹣1.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查解一元一次方程的解法;解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2013•海南)下列计算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x2•x3=x6‎ B.‎ ‎(x2)3=x5‎ C.‎ x2+x3=x5‎ D.‎ x6÷x3=x3‎ 考点:‎ 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方 分析:‎ 根据同底数幂的乘法、幂的乘方,合并同类项,同底数幂的除法求出每个式子的值,再进行判断即可.‎ 解答:‎ 解:A、x2•x3=x5,故本选项错误;‎ B、(x2)3=x6,故本选项错误;‎ C、x2和x3不是同类项,不能合并,故本选项错误;‎ D、x6÷x3=x3,故本选项正确;‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方,合并同类项,同底数幂的除法的应用,主要考查学生的计算能力和辨析能力.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2013•海南)某班5位学生参加中考体育测试的成绩(单位:分)分别是35、40、37、38、40.则这组数据的众数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎37‎ B.‎ ‎40‎ C.‎ ‎38‎ D.‎ ‎35‎ 考点:‎ 众数 分析:‎ 根据众数的定义,找出这组数据中出现次数最多的数,即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:在这组数据35、40、37、38、40中,‎ ‎40出现了2次,出现的次数最多,‎ 则这组数据的众数是40,‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了众数,掌握众数的定义是本题的关键,众数是一组数据中出现次数最多的数.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2013•海南)如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体,它的俯视图为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图 分析:‎ 找到从上面看所得到的图形即可.‎ 解答:‎ 解:此几何体的俯视图有2列,从左往右小正方形的个数分别是2,2,‎ 故选A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握所看的位置.‎ ‎ ‎ ‎6.(2分)(2013•海南)下列各数中,与的积为有理数的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎3‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎2﹣‎ 考点:‎ 实数的运算 分析:‎ 根据实数运算的法则对各选项进行逐一解答即可.‎ 解答:‎ 解:A、×=,故本选项错误;‎ B、×3=3,故本选项错误;‎ C、×2=6,故本选项正确;‎ D、×(2﹣)=2﹣3,故本选项错误.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查的是实数的运算,熟知实数运算的法则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2013•海南)“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰,标准排水量57000吨,满载排水量67500吨,数据67500用科学记数法表示为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎675×102‎ B.‎ ‎67.5×102‎ C.‎ ‎6.75×104‎ D.‎ ‎6.75×105‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:将67500用科学记数法表示为6.75×104.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2013•海南)如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ BO=DO B.‎ CD=AB C.‎ ‎∠BAD=∠BCD D.‎ AC=BD 考点:‎ 平行四边形的性质 分析:‎ 根据平行四边形的性质(①平行四边形的对边平行且相等,②平行四边形的对角相等,③平行四边形的对角线互相平分)判断即可.‎ 解答:‎ 解:A、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分),正确,不符合题意;‎ B、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CD=AB,正确,不符合题意;‎ C、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠BAD=∠BCD,正确,不符合题意;‎ D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD,错误,符合题意;‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了平行四边形的性质的应用,注意:平行四边形的性质是:①平行四边形的对边平行且相等,②平行四边形的对角相等,③平行四边形的对角线互相平分.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2013•海南)一个三角形的三条边长分别为1、2,则x的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1≤x≤3‎ B.‎ ‎1<x≤3‎ C.‎ ‎1≤x<3‎ D.‎ ‎1<x<3‎ 考点:‎ 三角形三边关系 分析:‎ 已知两边,则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和,这样就可求出第三边长的范围.‎ 解答:‎ 解:根据题意得:2﹣1<x<2+1,‎ 即1<x<3.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 考查了三角形三边关系,本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2013•海南)今年我省荔枝喜获丰收,有甲、乙两块面积相同的荔枝园,分别收获8600kg和9800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意,可得方程(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 由实际问题抽象出分式方程 分析:‎ 根据关键描述语是:“两块面积相同的荔枝园”;等量关系为:甲试验田的面积=乙试验田的面积,假设出甲试验田每亩收获荔枝x千克,求出即可.‎ 解答:‎ 解:设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意,可得方程:‎ ‎=.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2013•海南)现有四个外观完全一样的粽子,其中有且只有一个有蛋黄.若从中一次随机取出两个,则这两个粽子都没有蛋黄的概率是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法 分析:‎ 根据概率的求法,先画出树状图,求出所有出现的情况,即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:用A表示没蛋黄,B表示有蛋黄的,画树状图如下:‎ ‎∵一共有12种情况,两个粽子都没有蛋黄的有6种情况,‎ ‎∴则这两个粽子都没有蛋黄的概率是=‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了画树状图求概率,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2013•海南)如图,在⊙O中,弦BC=1.点A是圆上一点,且∠BAC=30°,则⊙O的半径是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 圆周角定理;等边三角形的判定与性质 分析:‎ 连接OB,OC,先由圆周角定理求出∠BOC的度数,再OB=OC判断出△BOC的形状,故可得出结论.‎ 解答:‎ 解:连接OB,OC,‎ ‎∵∠BAC=30°,‎ ‎∴∠BOC=2∠BAC=60°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴△BOC是等边三角形,‎ ‎∴OB=BC=1.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出圆心角是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2013•海南)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ AB=BC B.‎ AC=BC C.‎ ‎∠B=60°‎ D.‎ ‎∠ACB=60°‎ 考点:‎ 菱形的判定;平移的性质 分析:‎ 首先根据平移的性质得出ABCD,得出四边形ABCD为平行四边形,进而利用菱形的判定得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,‎ ‎∴ABCD,‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形,‎ 当AB=BC时,‎ 平行四边形ABCD是菱形.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定,得出ABCD是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2013•海南)直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;平行线之间的距离;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形 分析:‎ 分别过点A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF,故可得出CF及CE的长,在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长,再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF,故可得出CD的长,在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长.‎ 解答:‎ 解:别过点A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=BC,‎ ‎∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°,‎ ‎∴∠EBC=∠ACF,∠BCE=∠CAF,‎ 在△BCE与△ACF中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCE≌△ACF(ASA)‎ ‎∴CF=BE=3,CE=AF=4,‎ 在Rt△ACF中,‎ ‎∵AF=4,CF=3,‎ ‎∴AC===5,‎ ‎∵AF⊥l3,DG⊥l3,‎ ‎∴△CDG∽△CAF,‎ ‎∴=,=,解得CD=,‎ 在Rt△BCD中,‎ ‎∵CD=,BC=5,‎ ‎∴BD===.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是相似三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出相似三角形是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分)‎ ‎15.(4分)(2013•海南)因式分解:a2﹣b2= (a+b)(a﹣b) .‎ 考点:‎ 因式分解-运用公式法 专题:‎ 因式分解.‎ 分析:‎ 利用平方差公式直接分解即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).‎ 故答案为:(a+b)(a﹣b).‎ 点评:‎ 此题考查了平方差公式的应用.解题的关键是熟记公式.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2013•海南)点(2,y1),(3,y2)在函数y=﹣的图象上,则y1 < y2(填“>”或“<”或“=”).‎ 考点:‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 分析:‎ 根据反比例函数图象所经过的象限与函数图象的增减性进行填空.‎ 解答:‎ 解:∵函数y=﹣中的﹣2<0,‎ ‎∴函数y=﹣的图象经过第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,‎ ‎∴点(2,y1),(3,y2)同属于第四象限,‎ ‎∵2<3,‎ ‎∴y1<y2.‎ 故填:<.‎ 点评:‎ 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.解答该题时,利用了反比例函数图象的增减性.当然了,解题时也可以把已知两点的坐标分别代入函数解析式,求得相应的y值后,再来比较它们的大小.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2013•海南)如图,AB∥CD,AE=AF,CE交AB于点F,∠C=110°,则∠A= 40 °.‎ 考点:‎ 平行线的性质;等腰三角形的性质 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据平行线的性质得∠C=∠EFB=110°,再利用邻补角的定义得∠AFE=180°﹣110°=70°,由AE=AF,根据等腰三角形的性质得到∠E=∠AFE=70°,然后根据三角形内角和定理计算∠A.‎ 解答:‎ 解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠C=∠EFB=110°,‎ ‎∴∠AFE=180°﹣110°=70°,‎ ‎∵AE=AF,‎ ‎∴∠E=∠AFE=70°,‎ ‎∴∠A=180°﹣∠E﹣∠AFE=40°.‎ 故答案为40.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.也考查了三角形内角和定理以及等腰三角形性质.‎ ‎ ‎ ‎18.(4分)(2013•海南)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=5,∠B=60°,则BC= 10 .‎ 考点:‎ 梯形 分析:‎ 作DE∥AB交BC与点E.则四边形ABCD是平行四边形,△DEC是等边三角形,即可求得CE,BE的长度,从而求解.‎ 解答:‎ 解:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠B=60°,‎ ‎∴∠C=∠B=60°.‎ 如图,过点D作DE∥AB交BC于点E.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形,‎ ‎∴BE=AD,AB=DE,‎ ‎∴DE=DC,‎ ‎∴△DEC是等边三角形.‎ ‎∴EC=DC=AB=5.‎ ‎∴BC=BE+EC=2AD=10.‎ 故答案是:10.‎ 点评:‎ 本题考查等腰梯形的有关计算,正确作出辅助线,转化成平行四边形与等边三角形是关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分63分)‎ ‎19.(10分)(2013•海南)计算:‎ ‎(1)4×(﹣)﹣+3﹣2; ‎ ‎(2)a(a﹣3)﹣(a﹣1)2.‎ 考点:‎ 整式的混合运算;实数的运算;负整数指数幂 分析:‎ ‎(1)根据算术平方根的定义以及负指数幂的性质分别化简求出即可;‎ ‎(2)首先去括号,进而合并同类项即可.‎ 解答:‎ 解:(1)4×(﹣)﹣+3﹣2‎ ‎=﹣﹣5+‎ ‎=﹣﹣5+‎ ‎=﹣5;‎ ‎(2)a(a﹣3)﹣(a﹣1)2‎ ‎=a2﹣3a﹣(a2﹣2a+1)‎ ‎=﹣a﹣1.‎ 点评:‎ 此题主要考查了实数的计算以及整式的混合运算,熟练掌握公式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2013•海南)据悉,2013年财政部核定海南省发行的60亿地方政府“债券资金”,全部用于交通等重大项目建设.以下是60亿“债券资金”分配统计图:‎ ‎(1)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(2)在扇形统计图中,a= 36.7 ,b= 20.5 (都精确到0.1);‎ ‎(3)在扇形统计图中,“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为 64 °(精确到°1)‎ 考点:‎ 条形统计图;扇形统计图.‎ 分析:‎ ‎(1)根据60亿“债券资金”分配统计图,利用条形图数据得出城乡“债券资金”即可;‎ ‎(2)根据条形图数据直接得出交通和城乡部分所占百分比即可;‎ ‎(3)根据扇形统计图中,“教育文化”所占比例,即可得出对应的扇形圆心角的度数.‎ 解答:‎ 解:(1)∵是60亿“债券资金”分配统计图,‎ ‎∴城乡“债券资金”为:60﹣22﹣10.7﹣6.3﹣3.3﹣5.4=12.3,‎ 如图所示:‎ ‎(2)由题意可得出:×100%≈36.7%,×100%=20.5%,‎ 则a=36.7,b=20.5,‎ ‎(3)“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为:360°×17.8%≈64°.‎ 点评:‎ 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用,根据图象得出正确的信息是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(9分)(2013•海南)如图,在正方形网格中,△ABC各顶点都在格点上,点A,C的坐标分别为(﹣5,1)、(﹣1,4),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:‎ ‎(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2;‎ ‎(3)点C1的坐标是 (1,4) ;点C2的坐标是 (1,﹣4) ;过C、C1、C2三点的圆的圆弧的长是 π (保留π).‎ 考点:‎ 作图-旋转变换;弧长的计算;作图-轴对称变换 专题:‎ 作图题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;‎ ‎(2)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可;‎ ‎(3)根据平面直角坐标系写出点C1、C2的坐标,利用勾股定理求出OC的长,再根据过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆,列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)△A1B1C1如图所示;‎ ‎(2)△A2B2C2如图所示;‎ ‎(3)C1(1,4),C2(1,﹣4),‎ 根据勾股定理,OC==,‎ 过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆,‎ 的长=π.‎ 故答案为:(1,4);(1,﹣4);π.‎ 点评:‎ 本题考查了利用旋转变换作图,利用轴对称变换作图,以及弧长的计算,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2013•海南)为迎接6月5日的“世界环境日”,某校团委开展“光盘行动”,倡议学生遏制浪费粮食行为.该校七年级(1)、(2)、(3)三个班共128人参加了活动.其中七(3)班48人参加,七(1)班参加的人数比七(2)班多10人,请问七(1)班和七(2)班各有多少人参加“光盘行动”?‎ 考点:‎ 一元一次方程的应用.3718684‎ 分析:‎ 首先确定相等关系:该校七年级(1)、(2)、(3)三个班共128人参加了活动,由此列一元一次方程求解.‎ 解答:‎ 解:设七(2)班有x人参加“光盘行动”,则七(1)班有(x+10)人参加“光盘行动”,依题意有 ‎(x+10)+x+48=128,‎ 解得x=35,‎ 则x+10=45.‎ 答:七(1)班有45人参加“光盘行动”,七(2)班有35人参加“光盘行动”.‎ 点评:‎ 此题考查的知识点是一元一次方程组的应用,关键是先确定相等关系,然后列方程求解.‎ ‎ ‎ ‎23.(14分)(2013•海南)(1)如图(1)点P是正方形ABCD的边CD上一点(点P与点C,D不重合),点E在BC的延长线上,且CE=CP,连接BP,DE.求证:△BCP≌△DCE;‎ ‎(2)直线EP交AD于F,连接BF,FC.点G是FC与BP的交点.‎ ‎①若CD=2PC时,求证:BP⊥CF;‎ ‎②若CD=n•PC(n是大于1的实数)时,记△BPF的面积为S1,△DPE的面积为S2.求证:S1=(n+1)S2.‎ 考点:‎ 正方形的性质;全等三角形的判定与性质 分析:‎ ‎(1)利用SAS,证明△BCP≌△DCE;‎ ‎(2)在(1)的基础上,再证明△BCP≌△CDF,进而得到∠FCD+∠BPC=90°,从而证明BP⊥CF;‎ ‎(3)设CP=CE=1,则BC=CD=n,DP=CD﹣CP=n﹣1,分别求出S1与S2的值,得S1=(n2﹣1),S2=(n﹣1),所以S1=(n+1)S2结论成立.‎ 解答:‎ 证明:(1)在△BCP与△DCE中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCP≌△DCE(SAS).‎ ‎(2)①∵CP=CE,∠PCE=90°,‎ ‎∴∠CPE=45°,‎ ‎∴∠FPD=∠CPE=45°,‎ ‎∴∠PFD=45°,‎ ‎∴FD=DP.‎ ‎∵CD=2PC,‎ ‎∴DP=CP,‎ ‎∴FD=CP.‎ 在△BCP与△CDF中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCP≌△CDF(SAS).‎ ‎∴∠FCD=∠CBP,‎ ‎∵∠CBP+∠BPC=90°,‎ ‎∴∠FCD+∠BPC=90°,‎ ‎∴∠PGC=90°,即BP⊥CF.‎ ‎②证法一:设CP=CE=1,则BC=CD=n,DP=CD﹣CP=n﹣1.‎ 易知△FDP为等腰直角三角形,‎ ‎∴FD=DP=n﹣1.‎ S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP ‎=(BC+FD)•CD﹣BC•CP﹣FD•DP ‎=(n+n﹣1)•n﹣n×1﹣(n﹣1)2‎ ‎=(n2﹣1);‎ S2=DP•CE=(n﹣1)×1=(n﹣1).‎ ‎∵n2﹣1=(n+1)(n﹣1),‎ ‎∴S1=(n+1)S2.‎ 证法二:‎ ‎∵AD∥BE,‎ ‎∴△FDP∽△ECP,‎ ‎∴=,‎ ‎∴S1=S△BEF.‎ 如下图所示,连接BD.‎ ‎∵BC:CE=CD:CP=n,‎ ‎∴S△DCE=S△BED,‎ ‎∵DP:CP=n﹣1,‎ ‎∴S2=S△DCE,‎ ‎∴S2=S△BED.‎ ‎∵AD∥BE,∴S△BEF=S△BED,‎ ‎∴S1=(n+1)S2.‎ 点评:‎ 本题是几何综合题,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点,试题的难度不大.‎ ‎ ‎ ‎24.(14分)(2013•海南)如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;‎ ‎(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时,‎ ‎①求t的值;‎ ‎②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.‎ 考点:‎ 二次函数综合题 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ ‎(1)利用交点式求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证;‎ ‎(3)①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值.注意:由于自变量取值范围的限制,二次函数并不是在对称轴处取得最大值;‎ ‎②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等,则直线PQ不能平分∠AQC,所以直线PQ不能垂直平分线段MN.‎ 解答:‎ ‎(1)解:设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x+1),‎ ‎∵抛物线经过点C(0,3),‎ ‎∴3=a×3×1,解得a=1.‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x+1)=x2+4x+3.‎ ‎(2)证明:在抛物线解析式y=x2+4x+3中,当x=﹣4时,y=3,∴P(﹣4,3).‎ ‎∵P(﹣4,3),C(0,3),‎ ‎∴PC=4,PC∥x轴.‎ ‎∵一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,‎ ‎∴Q(4,0),OQ=4.‎ ‎∴PC=OQ,又∵PC∥x轴,‎ ‎∴四边形POQC是平行四边形,‎ ‎∴∠OPC=∠AQC.‎ ‎(3)解:①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5.‎ 如答图1所示,过点N作ND⊥x轴于点D,则ND∥OC,‎ ‎∴△QND∽△QCO,‎ ‎∴,即,解得:ND=3﹣t.‎ 设S=S△AMN,则:‎ S=AM•ND=•3t•(3﹣t)=﹣(x﹣)2+.‎ 又∵AQ=7,∴点M到达终点的时间为t=,‎ ‎∴S=﹣(x﹣)2+(0<t≤).‎ ‎∵﹣<0,<,且x<时,y随x的增大而增大,‎ ‎∴当t=时,△AMN的面积最大.‎ ‎②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC.‎ 由QM=QN,得:7﹣3t=5﹣t,解得t=1.‎ 此时点M与点O重合,如答图2所示:‎ 设PQ与OC交于点E,由(2)可知,四边形POQC是平行四边形,‎ ‎∴OE=CE.‎ ‎∵点E到CQ的距离小于CE,‎ ‎∴点E到CQ的距离小于OE,而OE⊥x轴,‎ ‎∴PQ不是∠AQC的平分线,这与假设矛盾.‎ ‎∴直线PQ不能垂直平分线段MN.‎ 点评:‎ 本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点.试题难度不大,需要注意的是(3)①问中,需要注意在自变量取值区间上求最大值,而不能机械地套用公式.‎ ‎ ‎
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