【数学】河北省唐山市玉田县2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）

【数学】河北省唐山市玉田县2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）

河北省唐山市玉田县2019-2020学年高一上学期期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是(　　)‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C ‎2.下列函数，表示的是相同函数的是（ ）‎ A. 与 ‎ B. ，‎ C. ， ‎ D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于定义域为R且，函数的定义域为且，定义域不同，故不是同一个函数，故排除A．‎ 由于 和的对应关系不同，故不是同一个函数，故排除B．‎ 由于的定义域为R，和函数的定义域为，故不是同一个函数，故排除C．‎ 由于函数，具有相同的定义域、对应关系，故是同一个函数，故D满足条件．‎ 故选：D．‎ ‎3.已知，则是( )‎ A. 奇函数，在R上为增函数 B. 偶函数，在R上为增函数 C. 奇函数，在R上为减函数 D. 偶函数，在R上为减函数 ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，‎ 因此函数是奇函数；‎ 又单调递增，单调递减，所以单调递增；‎ 故选A ‎4.已知函数，则（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 7 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎5.设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，‎ f（2）==2＞0，所以根据根存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B．‎ ‎6.函数的定义域为（ ）‎ A. （，+∞） B. ［1，+∞ ‎ C. （，1 D. （－∞，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使函数有意义，则 ，解得 ‎ 则函数的定义域是（，1 ‎ 故选C．‎ ‎7.设，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，即，，‎ ‎．‎ ‎8.函数定义域为R，对任意x，都有，又，则　　‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数，对任意x，都有，‎ 且 ‎，‎ 故选A．‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数可化为，所以函数当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，可排除A、B，结合图象可知时， ，排除D，故选C.‎ ‎10.已知函数是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为为R上的减函数，‎ 所以有，解得，即 故选：C．‎ ‎11.已知函数在上最大值与最小值之和为,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数f（x）＝ax+loga（x+1）在[0，1]上单调，‎ ‎∴函数f（x）＝ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值在x＝0与x＝1时取得；‎ ‎∴f（0）+f（1）＝a，即1+0+a+loga2＝a，即loga2＝﹣1，即a；故选B．‎ ‎12.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，定义域为 ‎，则函数是偶函数，‎ 且当时，为增函数，‎ 则不等式，等价为，‎ 且，‎ 即且，‎ 则且，‎ 不等式的解集为，‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，请将正确答案填在横线上，每个小题5分，满分共20分）‎ ‎13.已知幂函数的图像过点，则 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由于幂函数的图象过，则，，‎ 所以，‎ ‎14.已知集合，，且，则________.‎ ‎【答案】0或 ‎【解析】，，且 或 解得或或 当时，集合不满足元素的互异性，故舍去；‎ 当时，，满足条件；‎ 当时，，满足条件 故答案为：或 ‎15.已知，则的取值范围_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 当时，函数是一个增函数，不等式的解是， 当时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有 立； 综上可知的取值是a＞2或0＜a＜1． 故答案为 ‎16.设，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得：，又因为，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本题满分90分，要求写出必要的步骤和过程）‎ ‎17.计算：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）若，，求实数的取值范围.‎ 解：，，‎ ‎，‎ ‎（1），‎ 或 ‎（2），‎ ‎①若，则，∴； ‎ ‎②若，则∴；综上：的取值范围为.‎ ‎19.已知函数. ‎ ‎(1)判断在区间上的单调性并证明；‎ ‎(2)求的最大值和最小值.‎ 解：（1）函数在上为增函数，证明如下： ‎ 设是上任意两个实数，且，则 ‎．‎ ‎∵　，‎ ‎∴　，‎ ‎∴　，即，‎ ‎∴　函数在上为增函数． ‎ ‎(2)由（1）知函数在单调递增，所以 函数的最小值为，‎ 函数的最大值为．‎ 故得解.‎ ‎20.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．‎ ‎（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=‎2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）①由于函数是定义域为R的奇函数，则；‎ ‎②当时，，因为是奇函数，所以，可得当时 的解析式，从而得到在R上的解析式； （Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的解析式可画出函数的图象，进而得到的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）由（1）可得 有极大值1，极小值-1，进而可构造关于 的不等式，解不等式可得答案．‎ 试题分析;（Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；‎ ‎②当时，，因为是奇函数，所以．‎ 所以.‎ 综上： ‎ ‎（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）‎ 单调增区间：‎ 单调减区间： ‎ ‎（Ⅲ）∵方程有三个不同的解 ‎ ∴ ∴ ‎ ‎21.某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，.测得部分数据如表所示.‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎－4‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.‎ 解：（1）当时，是的二次函数，可设.依题意有，解得：，，，即.‎ 当时，，由，可得，即.‎ 综上可得 ‎（2）当时，，即当时，取得最大值12；‎ 当时，单调递减，可得，即当时，取得最大值3.‎ 综上可得，该新合金材料的含量为4时产品的性能达到最佳.‎ ‎22.已知是R上的奇函数．‎ ‎（1）求.‎ ‎（2）判断的单调性（不要求证明），并求的值域．‎ ‎（3）设关于的函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ 解：（1）有，此时 是奇函数,‎ ‎（2）是R上的增函数,‎ 方法一： ‎ ‎ 值域为 方法二：由．‎ ‎（3）由 由（2）知是上增函数 ‎，‎ 即，‎ 令 ‎ 即在上有两个不等实根，．‎