【数学】湖南省常德市第二中学2020届高三临考冲刺试题（理）（解析版）

【数学】湖南省常德市第二中学2020届高三临考冲刺试题（理）（解析版）

湖南省常德市第二中学 2020 届高三临考冲刺 数学试题（理） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合 M={x|x2－x－2＞0}，集合 N={x|2x-2>1 2 ），则 M∩N=( ) A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|x＞2 或 x＜－1} D．{x|x＞1 或 x＜－1} 2．设 i 为虚数单位，复数 z= 4 1－i ，则|z－i|=( ) A． 2 B． 3 C．2 D． 5 3．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S5＝5，a6＝10，则 a8＝( ) A．15 B．16 C．19 D．20 4.函数 y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( ) 5.在矩形 ABCD 中，|AB→|＝6，|AD→ |＝3．若点 M 是 CD 的中点，点 N 是 BC 的三等分点，且 BN＝1 3BC，则AM→ ·MN→ ＝( ) A．6 B．4 C．3 D．2 6.已知椭圆 C:x2 64 ＋y2 39 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，若|PF1|＝6， 则∠PF1F2 的余弦值为( ) A． 3 10 B． 7 10 C．2 5 D．3 5 7．已知函数 f(x)=3cos2x+4sinx，x∈(π 6,2π 3 )，则 f(x)的值域为( ) A．[4,17 4 ) B．(4,17 4 ) C．[4,13 3 ] D．(4,13 3 ] 8. 历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿 基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何 方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆 术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算 精度也迅速增加．华理斯在 1655 年求出一个公式：π 2=2×2×4×4×6×6×L 1×3×3×5×5×7×L ，根据该公式绘制出 了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 T>2.8， 若判断框内填入的条件为 k≥m?，则正整数 m 的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 9.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是 两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为 ( ) A.7π B.8π C.9π D.10π 10.若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的展开式中的各项系数和为 243，则 a1＋2a2＋…＋ nan＝( ) A.405 B.810 C.243 D.64 11.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每 天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该 企业每天可获得的最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.15 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 12.已知函数 y＝f(x)对任意的 x∈(0，π)满足 f′(x)sin x>f(x)cos x(其中 f′(x)为函数 f(x)的导函数)， 则下列不等式成立的是( ) A.f π 4 < 2f π 6 B.f π 4 > 2f π 6 C.f π 6 > 2f π 4 D.f π 6 < 2f π 4 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13.已知点 A(1，0)，B(1， 3)，点 C 在第二象限，且∠AOC＝150°，OC→ ＝－4OA→ ＋λOB→ ，则 λ＝________. 14.已知直线 ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆 x2＋y2－2y－5＝0 的圆心，则4 b ＋1 c 的最小值是 ________. 15.已知变量 x，y 满足 x－2y＋4≤0， x≥2， x＋y－6≥0， 则 z＝y＋1 x－3 的取值范围是________. 16.为了响应国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有 10 名同 学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为 0.6，每名同学有 2 次射门机会，且各 同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得 10 分，踢进一个得 5 分，一个未进得 0 分，记 X 为 10 个同学的得分总和，则 X 的数学期望为________. 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17.已知函数 f(x)=cos2x+ 3sin(π－x)sin(x－π 2)－1 2 ． （1）求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间； （2）在锐角 △ ABC 的内角 A，B，C 所对边为 a， b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，求 △ ABC 的面积的最大值． 18.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，E 为 PA 的 中点，过 C，D，E 三点的平面与 PB 交于点 F，且 PA=PD=AB=2. （1）证明： EF AD ； （2）若四棱锥 P ABCD 的体积为 8 3 ，则在线段 PB 上是否存在点 G，使得二面角 G CD B  的余弦值为 2 5 5 ？若存在，求 PG PB 的值；若不存在，请说明理由. 19.如图，李先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1，L2 两条路线，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1 2 ；L2 路线上有 B1，B2 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为3 4 ，3 5. (1)若走 L1 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走 L2 路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好 的上班路线，并说明理由. 20.设椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A， B 两点.若椭圆 E 的离心率为 2 2 ， △ ABF2 的周长为 4 6. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C，D，设弦 AB，CD 的中点分 别为 M，N，证明：O，M，N 三点共线. 21.已知函数 f(x)＝ex－x2－x. (1)判断函数 f(x)在区间(－∞，ln 2)上的单调性； (2)若 x1ln 2，且 f′(x1)＝f′(x2)，证明：ex1＋x2<4. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 y2＝2px(p>0)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρsin θ－π 3 ＝ 3，l 与 x 轴交于点 M. (1)求 l 的直角坐标方程和点 M 的极坐标； (2)设 l 与 C 相交于 A，B 两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求 p 的值. 23.[选修 4－5：不等式选讲] 设函数 f(x)＝|x－a|. (1)若关于 x 的不等式 f(x)＋b<0 的解集为(－1，3)，求 a，b 的值； (2)若 g(x)＝2f(x)＋2f(x＋1)，求 g(x)的最小值. 参考答案 1. A 【解析】由题意知 M=(－∞，－1)∪(2，＋∞)，又 N=(1，＋∞)，∴M∩N=(2，＋∞)，故答案 选 A. 2. D 【解析】z= 4 1－i = 4(1＋i) (1＋i)(1－i) =2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|= 5.故答案选 D. 3.B 【解析】设等差数列{an}的公差为 d，由 S5＝5，a6＝10，可得：5a1＋5×4 2 d＝5，a1+5d＝10， 解出即可得出。设等差数列{an}的公差为 d，∵S5＝5，a6＝10，∴5a1＋5×4 2 d＝5，a1+5d＝10， 解得：a1＝－5，d＝3，则 a8＝－5+7×3＝16．故选：B． 4.B 【解析】由于函数 y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称.当 01 时，y>0.排除选项 A，C，D，选 B. 5.C 【解析】由题意作出图形，如图所示： 由图及题意，可得AM→ ＝AD→ +DM→ ＝AD→ +1 2AB→，MN→ =CN→ －CM→ =2 3CB→ －1 2CD→ =－2 3BC→ +1 2DC→ =－ 2 3AD→ +1 2AB→，∴AM→ ·MN→ =(AD→ +1 2AB→)·(－2 3AD→ +1 2AB→)=－2 3·|AD→ |2+1 4·|AB→|2=－2 3×9+1 4×36=3， 故选 C． 6.A 【 解析 】 依题 意 ，|PF1|＝ 6 ， |PF2|＝ 10 ， 而|F1F2| ＝2 64－39 =10 ， 故 cos∠ PF1F2 ＝ |PF1|2+|F1F2|2－|PF2|2 2|PF1|·|F1F2| ＝36+100－100 2×6×10 = 3 10 ，故选 A． 7.C 【解析】依题意，f(x)=3(1－sin2x)+4sinx=－3sin2x+4sinx+3，令 t=sinx∈(1 2,1]，由 y=－3t2+4t+3 的对称轴为 t=2 3 ，则 ymax=－3×4 9+4×2 3+3=13 3 ，ymin=－3×1+4×1+3=4，则 f(x)的值域为[4,13 3 ]， 故选 C． 8.B 【解析】初始：k=1,T=2，第一次循环：T=2×2 1×2 3=8 3<2.8，k=2，继续循环；第二次循环： T=8 3×4 3×4 5=128 45 >2.8，k=3，此时 T>2.8，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是 k≥3?，所以正整数 m 的最小值是 3，故选 B． 9.C 【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥 P－ABC， 放在长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体中，易知外接球的直径 2R＝ 22＋12＋22＝3，故 S 球＝4πR2＝9π. 10.B 【解析】(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，两边求导得 2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn －1，取 x＝1，则 2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan，(2x＋1)n 的展开式中各项系数和为 243，令 x ＝1，可得 3n＝243，解得 n＝5.∴a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810. 11.D 【解析】设该企业每天生产 x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为 z 万元，则 z＝3x＋4y， 且 x，y 满足不等式组 3x＋2y≤12， x＋2y≤8， x≥0， y≥0. 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 直线 z＝3x＋4y 过点 M 时，z＝3x＋4y 取得最大值， 由 3x＋2y＝12， x＋2y＝8， 得 x＝2， y＝3， ∴M(2，3)， 故 z＝3x＋4y 的最大值为 18. 12.B 【解析】设 g(x)＝f（x） sin x ，则 g′(x)＝f′（x）sin x－f（x）cos x sin2x >0.∴g(x)在 x∈(0，π)上是增函 数，则 g π 4 >g π 6 ，即f π 4 sinπ 4 > f π 6 sinπ 6 ，故 f π 4 > 2f π 6 . 13.1 【解析】设|OC→ |＝r，则OC→ ＝ － 3 2 r，1 2r ，由已知，得OA→ ＝(1，0)，OB→ ＝(1， 3)，又OC→ ＝ －4OA→ ＋λOB→ ，∴ － 3 2 r，1 2r ＝－4(1，0)＋λ(1， 3)＝(－4＋λ， 3λ)，∴ － 3 2 r＝－4＋λ， 1 2r＝ 3λ， 解得λ＝1. 14.9 【解析】依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有 b＋c＝1，4 b ＋1 c ＝ 4 b ＋1 c (b＋c)＝5＋4c b ＋b c≥5 ＋2 4c b ×b c ＝9，当且仅当 b＋c＝1（b，c>0）， 4c b ＝b c ， 即 b＝2c＝2 3 时取等号，因此4 b ＋1 c 的最小值是 9. 15.(－∞，－5]∪ 1 2 ，＋∞ 【解析】由约束条件 x－2y＋4≤0， x≥2， x＋y－6≥0 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中 A(2， 4)，k＝y＋1 x－3 的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点 P(3，－1)连线的斜率. 由图可知，k≤kPA＝4－（－1） 2－3 ＝－5，或 k>1 2. 16.60 【解析】每位同学的进球个数ξ～B(2，0.6)，得 E(ξ)＝2×0.6＝1.2.∴E(X)＝10×5E(ξ)＝50×1.2 ＝60. 17.解：（1）利用三角公式化简变形由已知得 f(x)=－sin(2x－π 6)． ∴2kx－π 2≤2x－π 6≤2kx+π 2 ，∴kx－π 6≤x≤kx+π 3 （k∈Z） ∴函数 f(x)[0，π]的单调递减区间为[0,π 3]和[5π 6 ,π]． （2）∵△ABC 为锐角三角形，∴0ln 2， ∴2ln 2－xln 2)， ∴g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，当且仅当 x＝ln 2 时取“＝”. ∴g(x)＝f′(x)－f′(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)单调递增， 又∵g(ln 2)＝0，∴当 x>ln 2 时，g(x)>g(ln 2)＝0， 即 f′(x)>f′(2ln 2－x). 又 x2>ln 2，∴f′(x2)>f′(2ln 2－x2)， ∵f′(x1)＝f′(x2)，∴f′(x1)>f′(2ln 2－x2)， 由 x2>ln 2 知 2ln 2－x2

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