数学理卷·2018届河南省新乡市高三第二次模拟测试（2018

数学理卷·2018届河南省新乡市高三第二次模拟测试（2018

2018 届河南省新乡市高三第二次模拟测试数学（理）试题 一、单选题 1．已知复数 ，则 （ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 选 A. 2．设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【 解 析 】 ，选 B. 3．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 0.8，0.7，0.6，只有通过前一 天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概 率为（ ） A. 0.56 B. 0.336 C. 0.32 D. 0.224 【答案】D 【解析】该选手只闯过前两关的概率为 ，选 D. 4． 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ， ，且 ，则 （ ） A. 6 B. C. D. 7 【答案】A 【 解 析 】 因 为 所 以 选 A. 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为（ ） 1z i= − + 2 2z z z + =+ i− i 2 2z z z + =+ 1+ 1,1 i i = −− − ( )3,U = − +∞ 2{ |1 4 2}A x x= < − ≤ UC A = ( ) )3, 2 3,− ∪ +∞ ( ) )2, 2 3,− ∪ +∞ ( ( )3, 2 3,− ∪ +∞ ( )2, 2 3, − ∪ +∞  ] [( )2{ | 2 3} 3, 2 2, 3A x x= ≤ < = − − ∪ ∴ UC A = ( ) )2, 2 3,− ∪ +∞ 0.8 0.7 1 0.6 0.224× × − =（ ） ABC∆ A B C a b c sin 20sinab C B= 2 2 41a c+ = 8cos 1B = b = 4 2 3 5 sin 20sinab C B= 2 2 120 , 20 2 cos 41 40 6,8abc b ac b a c ac B= = ∴ = + − = − × = A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】几何体如图，所以体积为 ，选 C. 6．若函数 在 上是增函数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得 ，选 A. 7．记不等式组 ，表示的平面区域为 ，点 的坐标为 .有下面四个命 题： ： ， 的最小值为 6； ： ， ； ： ， 的最大值为 6； ： ， . 其中的真命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】作可行域如图：则 过点（4，-2），z 取最大值 6， 33 2 =64 × ( ) 2 2 1, 1{ 1, 1 x xf x x ax x + ≥= − + + < R a [ ]2,3 [ )2,+∞ [ ]1,3 [ )1,+∞ [ ]1{ 2,32 1 1 2 1 a a a ≥ ∴ ∈ − + + ≤ + 2 {2 2 2 0 x y x y y + ≤ + ≥ + ≥ Ω P ( ),x y 1p P∀ ∈Ω x y− 2p P∀ ∈Ω 2 24 205 x y≤ + ≤ 3p P∀ ∈Ω x y− 4p P∀ ∈Ω 2 22 5 2 55 x y≤ + ≤ 1p 4p 1p 2p 2p 3p 3p 4p x y z− = 最小值为 O 到直线 距离的平方，即 ；最大值为 O 到点（4，-2）距离 的平方，即为 20；所以 ， 为真命题，选 C. 8．若 的展开式中 的系数为 80，其中 为正整数，则 的展开式中各项 系数的绝对值之和为（ ） A. 32 B. 81 C. 243 D. 256 【答案】C 【解析】由题意得 ， 的展开式中各项系数的绝对值之和为 ，选 C. 9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百； 恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田 1 亩价值 300 钱；坏田 7 亩价值 500 钱.今合买好、坏田 1 顷，价值 10000 钱.问好、坏田各有 多少亩？”已知 1 顷为 100 亩，现有下列四个程序框图，其中 的单位为钱，则输出的 ， 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2 2x y+ 2 2x y+ = 4 5 2p 3p ( )1 2 nx x − 3x n ( )1 2 nx x − ( )44 2 80 5nC n− = ∴ = ( )1 2 nx x − ( )51 2 2431 + = S x y 【解析】设好田为 x,坏田为 y，则 A 中 ；B 中正确；C 中 ；D 中 ，所以选 B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 10．若仅存在一个实数 ，使得曲线 ： 关于直线 对称，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【 解 析 】 ， 选 D. 【点睛】函数 的性质 (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由 求增区间; 由 求减区间 11．设正三棱锥 的高为 ，且此棱锥的内切球的半径为 ，若二面角 的正切值为 ，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【 解 析 】 取 线 段 AB 中 点 D ， 设 P 在 底 面 ABC 射 影 为 O ， 设 AB=a, 则 ， 为 二 面 角 的 平 面 角 ， ， 100 12.5{ { 500 87.5300 100007 x y x yx y + = =∴ =+ = 12.5x ≠ 87.5, 12.5x y= = 12.5x ≠ 0, 2t π ∈   C sin ( 0)6y x πω ω = − >   x t= ω 1 7,3 3     4 10,3 3     1 7,3 3      4 10,3 3      3 4 100, ,2 6 6 2 6 2 2 6 2 3 3x x π π π ωπ π π ωπ π πω ω   ∈ ∴ − ∈ − − ∴ < − ≤ ∴ < ≤       ( )sin ( 0, 0)y A x B Aω ϕ ω= + + > > max min= +y A B y A B= −， 2 .T π ω= ( )π π2x k k Zω ϕ+ = + ∈ ( )π π2 π 2 π2 2k x k k Zω ϕ− + ≤ + ≤ + ∈ ( )π 3π2 π 2 π2 2k x k k Zω ϕ+ ≤ + ≤ + ∈ P ABC− H R P AB C− − 35 H R = 3 1 3 2 3 6OD a a= × = PDC∠ P AB C− − tan 35, 6 3PDC PD OD a∠ = = = ,选 C. 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间 的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该 几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 12．设双曲线 ： 的左顶点与右焦点分别为 ， ，以线段 为底边作一个等腰 ，且 边上的高 .若 的垂心恰好在 的一条渐近 线上，且 的离心率为 ，则下列判断正确的是（ ） A. 存在唯一的 ，且 B. 存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内 C. 存在唯一的 ，且 D. 存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内 【答案】A 【 解 析 】 由 题 意 可 设 ， 可 得 的 垂 心 H ， 因 为 的 垂 心 恰 好 在 的 一 条 渐 近 线 上 ， 所 以 ，所以存在唯一的 ，且 ，当 时 无零点，选 A. 点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． 2 2 1 3 3 3 4 771 33 3 +2 4 a HV H HR S Ra a a × = = = ∴ = × × Ω 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A F AF AFB∆ AF h AF= AFB∆ Ω Ω e e 3 ,22e  ∈   e 31, 2      3 ,22      e 31, 2e  ∈   e 31, 2      52, 2      ( ) ( ),0 , ,0 , ,2 c aA a F c B c a − − +   AFB∆ ,2 4 c a c a− +     AFB∆ Ω ( ) ( )32= 4 1 1 0c a b f e e ec a a + ∴ = − − − =− ( ) ( ) ( ) ( )23 31 0, 0, 2 0 12 1 1 02 2f f f x f x x  = − − >  ′  ； 时 e 3 ,22e  ∈   31 2x< < ( ) 0f x < (2)定理法：利用零点存在性定理进行判断． (3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判 断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断． 二、填空题 13．平行四边形 中， ，则 __________． 【答案】1 【 解 析 】 在 平 行 四 边 形 中 ， ， 且 ， 则 ， 所 以 ；故填 1. 14．若圆 ： 的圆心为椭圆 ： 的一个焦点，且圆 经过 的另一个焦点，则圆 的标准方程为__________． 【答案】 【 解 析 】 ， 即 圆 的 标 准 方 程 为 . 15 ． 若 ， ， 则 __________． 【答案】2 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， ， ， ，即 . 16 ． 已 知 集 合 ， ， ， 若 集 合 的 子 集 的 个 数 为 8 ， 则 的 取 值 范 围 为 ABCD AB AC DBλ µ= +   λ µ+ = ABCD AB AC DBλ µ= +   ,AC AB AD DB AB AD= + = −      ( ) ( ) ( ) ( )AB AB AD AB AD AB ADλ µ λ µ λ µ= + + − = + + −       1, 0λ µ λ µ+ = − = C 2 2 1 2x y nm  + + =   M 2 2 1x my+ = C M C ( )22 1 4x y+ + = ( )21 1 11 0 1 1 42 2m n nm m − = ∴ = ∴ + + = ∴ = C ( )22 1 4x y+ + = 22cos 4 2 2 π α β − −   ( )1 3sin α β= + − , 0, 2 πα β  ∈   tan tan α β = 22cos 4 2 2 π α β − −   ( )1 3sin α β= + − 1 α β2cos π + − −   ( )1 3sin α β= + − ( )α βsin + ( )3sin α β= − α βsin cos 2cos sinα β= α 2tanβtan = tan 2tan α β = 1{ | }2M x x= ≥ − 3 2{ | 3 1 0}A x M x x a= ∈ − + − = { | 2 0}B x M x a= ∈ − − = A B∪ a __________． 【答案】 【解析】作函数 图像，因为集合 的 子 集 的 个 数 为 8 ， 所 以 集 合 的 子 集 的 元 素 为 3 ， 因 此 ， 即 的 取 值 范 围 为 . 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称 性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 三、解答题 17 ． 已 知 数 列 ， 的 前 项 和 分 别 为 ， ， ， 且 . （1）求 ； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）先根据分组求和法分成一个等差与一个等比数列的和的和，再分 别求和，（2）因为 ，所以利用错位相减法以及分组求和法求和. 试题解析：解：（1）依题意可得 ， ，…， ， ∴ 5 1, 1 1,2 8    − − ∪ −      ( ) ( )3 2 1 13 1, , 2,2 2h x x x x g x x x   = − + ≥ − = − ≥ −       A B∪ A B∪ ( )5 1 1 1 1 12 2 2 8g a h a f   − = − ≤ < − = ≠ = −       且 a 5 1, 1 1,2 8    − − ∪ −      { }na { }nb n nS nT 2 1n n nb a− = + 1 22 2n n nS T n++ = + − n nT S− 2 n n b    n nR 12 2n n+ + − 22 2n nn ++ − 12 2 n n n b n= + 1 1 3b a− = 2 2 5b a− = 2 1n n nb a− = + n nT S− ( ) ( )1 2 1 2n nb b b a a a= + +⋅⋅⋅+ − + +⋅⋅⋅+ ( )22 2 2nn= + + +⋅⋅⋅+ . （2）∵ ，∴ ， ∴ . 又 ，∴ . ∴ ， ∴ ，则 ， ∴ ， 故 . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负 数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下 一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 18．某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有 3 个红球，3 个黄球和 1 个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取 3 个小球，每位顾客每 次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下： ①凡购物满 100（含 100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满 188（含 188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； ③若取得的 3 个小球只有 1 种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个 10 元的红包； ④若取得的 3 个小球有 3 种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个 5 元的红包； ⑤若取得的 3 个小球只有 2 种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个 2 元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所 示的茎叶图. 12 2n n+= + − 2 n n nS S T= + ( )n nT S− − 2n n= − 2 2n n nS −= 1na n= − 2 1n n nb a− = + 2n nb n= + 12 2 n n n b n= + nR n= + 2 1 2 2 2 2n n + +⋅⋅⋅+   1 1 2 2nR n= + 2 3 1 1 2 2 2 2n n +  + +⋅⋅⋅+   1 1 2 2nR n= + 2 1 1 1 1 2 2 2 2n n n +  + +⋅⋅⋅+ −   1 1 1 2 22 11 2 n nR n +− = + × − 222 2n n n nn +− = + − nS nqS n nS qS− （1）求这 20 位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到 整数部分）； （2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为 ，求 的分布列及数学期望，并计 算这 20 位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数 的平均值. 【答案】（1）中位数为 110，平均数为 131（2） 【解析】试题分析：（1）根据数据得中位数，根据平均数定义得平均数，（2）先确定随机 变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求均值. 试题解析：解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为 110， 平 均 数 为 . （2） 的可能取值为 2，5，10， ， ， ， 则 的分布列为 2 5 10 故 . 这 20 位顾客中，有 8 位顾客获得一次抽奖的机会，有 3 位顾客获得两次抽奖的机会， 故共有 14 次抽奖机会. X X 45.2 1 (101 102 104 108 10911 + + + + 110 112 115 188 189 200)+ + + + + + 1438 13111 = ≈ X ( )10P X = 2 7 2 2 35C = = ( )5P X = 1 1 3 3 2 7 9 35 C C C = = ( )2P X = 2 1 3 4 2 7 2 24 35 C C C = = X X P 24 35 9 35 2 35 ( ) 24 92 535 35E X = × + × 2 11310 35 35 + × = 所以这 20 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为 元. 19．如图，在各棱长均为 2 的正三棱柱 中， ， 分别为棱 与 的中点， ， 为线段 上的动点，其中， 更靠近 ，且 . （1）证明： 平面 ； （2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求异面直线 与 所成角的余弦 值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得 ，结合线面垂直得 . 因此可得 平面 ，即 .再根据 ，得 平面 ， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面 法向量， 根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得 N 坐标，最后根据 向量数量积求异面直线 与 所成角的余弦值. 试题解析：解：（1）证明：由已知得 为正三角形， 为棱 的中点， ∴ ， 在正三棱柱 中， 底面 ，则 . 又 ，∴ 平面 ，∴ . 易证 ，又 ，∴ 平面 . （2）解：取 的中点 ， 的中点 ，则 ， ， 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 113 14 45.235 × = 1 1 1ABC A B C− D E 1 1A B 1BB M N 1C D M D 1MN C N= 1A E ⊥ 1AC D NE 1 1BCC B 10 20 BM NE 11 10 40 1 1 1C D A B⊥ 1 1AA C D⊥ 1C D ⊥ 1 1ABB A 1 1C D A E⊥ 1A E AD⊥ 1A E ⊥ 1AC D 1 1BCC B BM NE 1 1 1A B C∆ D 1 1A B 1 1 1C D A B⊥ 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 1 1A B C 1 1AA C D⊥ 1 1 1 1A B AA A∩ = 1C D ⊥ 1 1ABB A 1 1C D A E⊥ 1A E AD⊥ 1AD C D D∩ = 1A E ⊥ 1AC D BC O 1 1B C 1O AO BC⊥ 1OO BC⊥ O O xyz− 则 ， ， ， ， 设 ， 则 ， 易知 是平面 的一个法向量， ∴ ，解得 . ∴ ， ， ，， ∴ ， ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 . 20．已知 ，抛物线 ： 与抛物线 ： 异于原点 的交点为 ，且抛物线 在点 处的切线与 轴交于点 ，抛物线 在点 处的切线与 轴交 于点 ，与 轴交于点 . ( )0,1,0B ( )0,1,1E ( )1 0, 1,2C − 3 1, ,22 2D       1 1C N C Dλ=  3 3, ,02 2 λ λ =     1 1NE C E C N= −   ( ) 3 30,2, 1 , ,02 2 λ λ = − −    3 3,2 , 12 2 λ λ = − − −    ( )1,0,0n = 1 1BCC B cos ,NE n  2 3 2 3 6 5 λ λ λ = − + 10 20 = 1 3 λ = 3 3, , 16 2NE  = − −     1 12C M C Dλ=  3 ,1,03  =     1 1BM BC C M= +   3 , 1,23  = −    cos ,NE BM  1 3 26 2 10 16 3 3 − − − = × 11 10 40 = − NE BM 11 10 40 0p > 1C 2 2x py= 2C 2 2y px= O M 1C M x A 2C M x B y C （1）若直线 与抛物线 交于点 ， ，且 ，求 ； （2）证明： 的面积与四边形 的面积之比为定值. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析：（1）先联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及弦长公式列方 程，解得 p，再根据向量数量积求 ；（2）先求 M 坐标，再求直线 方程， 进而求得 A,B,C 坐标，即得面积，最后作商. 试题解析：（1）解：由 ，消去 得 . 设 ， 的坐标分别为 ， ， 则 ， . ∴ ，∵ ，∴ . ∴ . （2）证明：由 ，得 或 ，则 . 设直线 ： ，与 联立得 . 由 ，得 ，∴ . 设直线 ： ，与 联立得 . 由 ，得 ，∴ . 故直线 ： ，直线 ： ， 从而不难求得 ， ， ， ∴ ， ， ∴ 的 面 积 与 四 边 形 的 面 积 之 比 为 （为定值）. 21．已知函数 ， . （1）比较 与 的大小，并加以证明； 1y x= + 1C P Q 2 6PQ = OP OQ⋅  BOC∆ AOCM 1− OP OQ⋅  AM BM， 2 1{ 2 y x x py = + = y 2 2 2 0x px p− − = P Q ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 2x x p+ = 1 2 2x x p= − 21 1PQ = + ( ) ( )22 4 2 2 6p p⋅ − − = 0p > 1p = 1 2 1 2OP OQ x x y y⋅ = +  ( )( )1 2 1 21 1x x x x= + + + 1 2 1 22 1x x x x= + + + 4 2 1 1= − + + = − 2 2 2{ 2 y px x py = = 2x y p= = 0x y= = ( )2 ,2M p p AM ( )12 2y p k x p− = − 2 2x py= ( )2 2 1 12 4 1 0x pk x p k− − − = ( )2 2 2 1 1 14 16 1 0p k p k∆ = + − = ( )2 1 2 0k − = 1 2k = BM ( )22 2y p k x p− = − 2 2y px= ( )2 2 2 22 4 1 0k y py p k− − − = ( )2 2 2 2 24 16 1 0p p k k∆ = + − = ( )2 21 2 0k− = 2 1 2k = AM ( )2 2 2y p x p− = − BM ( )12 22y p x p− = − ( ),0A p ( )2 ,0B p− ( )0,C p 2 BOCS p∆ = 23ABMS p∆ = BOC∆ AOCM 2 2 2 1 3 2 p p p =− ( ) 23 xf x e x= + ( ) 9 1g x x= − ( )f x ( )g x （ 2 ） 当 时 ， ， 且 ，证明： . 【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析：（1）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以 及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.（2）先确定函数 单 调 性 ， 得 ， 再 根 据 ，确定 . 试题解析：（1）解： . 证明如下： 设 ，∵ 为增函数， ∴可设 ，∵ ， ，∴ . 当 时， ；当 时， . ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， . （2）证明：设 ， 令 ，得 ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. ，设 ， ∵ ， ∴ ，即 . 当 时， ，则 . 0 x a< ≤ ( )4 5xxe x f x a+ + − > ( ) 23 3 5 0mm e m m− − + + = (0 2)m< < 0 a m< < ( ) ( )f x g x> ( ) ( )4 5xx xe x f xϕ = + + − ( ) ( )minx aϕ ϕ= ( ) 23 3 5 0mm e m m− − + + = 0 a m< < ( ) ( )f x g x> ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 23 9 1xe x x+ − + ( )' 3 2 9xh x e x= + − ( )0' 0h x = ( )' 0 6 0h = − < ( )' 1 3 7 0h e= − > ( )0 0,1x ∈ 0x x> ( )' 0h x > 0x x< ( )' 0h x < ( ) ( )0minh x h x= 0 2 0 03 9 1xe x x= + − + 0 03 2 9 0xe x+ − = 0 03 2 9xe x= − + ( ) 2 0 0 0min 2 9 9 1h x x x x= − + + − + 2 0 011 10x x= − + ( )( )0 01 10x x= − − ( )0 0,1x ∈ ( )( )0 01 10 0x x− − > ( )min 0h x > ( ) ( )f x g x> ( ) ( )4 5xx xe x f xϕ = + + − ( ) 23 4 5( 0)xx e x x x= − − + + > ( ) ( )( )' 2 2 0xx x eϕ = − − = 1 ln2x = 2 2x = ( )xϕ ( )0,ln2 ( )ln2,2 ( )2,+∞ ( ) 22 9 2eϕ = − < ( ) 2(ln2 2)t tϕ = < < ( ) 23 3 5 0mm e m m− − + + = (0 2)m< < ( ) 23 4 5mm e m m m− − + + = (0 2)m< < ( )m mϕ = (0 2)m< < 0 a t< < ( ) ( )0 2x aϕ ϕ> = > ( )4 5xxe x f x a+ + − > 当 时 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ . 当 或 时，不合题意. 从而 . 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据 差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2） 根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或 利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ）， 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 . （1）将曲线 的参数方程化为普通方程，并将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线 与曲线 交点的极坐标 . 【答案】(1) 的普通方程为 （ 或 ）； 的直角坐标方程为 .(2) . 【解析】试题分析：（1）先求出 t，再代入消元将曲线 的参数方程化为普通方程，根据 将 曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先 求曲线 与曲线 交点的直角坐标，再化为极坐标. 试题解析：解：（1）∵ ，∴ ，即 ， t a m≤ ≤ ( ) ( )minx aϕ ϕ= ( )4 5xxe x f x a+ + − > ( )a aϕ > t a m≤ < 2m a< < 2a ≥ 0 a m< < ( ) ( ) ( )h x f x g x= − xOy M 2 3 3{ 2 3 3 x t ty t = − = − t 0t > x C 4cosρ θ= M C M C ( 0,0 2 )ρ θ π≥ ≤ < M ( )3 2y x= − 2x > 0x < C 2 24 0x x y− + = 2 3, 6 π     M 2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = C M C y tx = 2 3 3 x y x = − ( )3 2y x= − 又 ，∴ ，∴ 或 ， ∴曲线 的普通方程为 （ 或 ）. ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 . （2）由 得 ， ∴ （舍去）， ， 则交点的直角坐标为 ，极坐标为 . 23．已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若直线 与函数 的图象有公共点，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后 求并集，（2）先将函数化为分段函数，而动直线过定点，结合图像可得 的取值范围. 试题解析：解：（1）由 ，得 或 或 ， 解得 ，故不等式 的解集为 . （2） ， 作出函数 的图象，如图所示， 0t > 2 33 0x − > 2x > 0x < M ( )3 2y x= − 2x > 0x < 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4x y x+ = C 2 24 0x x y− + = ( ) 2 2 3 2{ 4 0 y x x x y = − − + = 2 4 3 0x x− + = 1 1x = 2 3x = ( )3, 3 2 3, 6 π     ( ) 4 1 3f x x x= − + − − ( ) 2f x ≤ 2y kx= − ( )f x k [ ]0,5 ( ) 1, 2 ,2  −∞ − ∪ +∞  k ( ) 2f x ≤ 1{ 2 2 2 x x ≤ − ≤ 1 4{ 0 2 x< < ≤ 4{ 2 8 2 x x ≥ − ≤ 0 5x≤ ≤ ( ) 2f x ≤ [ ]0,5 ( ) 4 1 3f x x x= − + − − 2 2 , 1 { 0,1 4 2 8, 4 x x x x x − ≤ = < < − ≥ ( )f x 直线 过定点 ， 当此直线经过点 时， ； 当此直线与直线 平行时， . 故由图可知， . 2y kx= − ( )0, 2C − ( )4,0B 1 2k = AD 2k = − ( ) 1, 2 ,2k  ∈ −∞ − ∪ +∞ 