2013安徽卷（理）数学试题

2013安徽卷（理）数学试题

‎2013·安徽卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎1．A　[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈)，则z＝a－bi，所以z·zi＋2＝2z，即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.‎ ‎2． 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)‎ 图1－1‎ A. B. C. D. ‎2．D　[解析] 依次运算的结果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此时输出s，故输出结果是＋＋＝.‎ ‎3． 在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎3．A　[解析] 选项B、C、D中的都是公理，都是平面的三个基本性质．‎ ‎4．、 “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．C　[解析] f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，若a＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝>0，且在区间0，上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，上单调递增，在区间 eq f(1,2a)，上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．‎ ‎5．、 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　)‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎5．C　[解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C中的结论正确，选项D中的结论不正确．‎ ‎6．、、 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 ‎，则f(10x)>0的解集为(　　)‎ A．{x|x<－1或x>－lg 2} ‎ B．{x|－1－lg 2} ‎ D．{x|x<－lg 2}‎ ‎6．D　[解析] 根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1x1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x1有两个实根，f(x)＝x2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根；‎ 当x1是极小值点时，f(x1)＝x1，x2为极大值点，且x20)，可得cos C＝＝－，故C＝.‎ ‎13． 已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．‎ ‎13．[1，＋∞)　[解析] 方法一：设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A、B外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a>0，所以a≥1.‎ 方法二：设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因为⊥，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0，解得m2＝a>0且m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．‎ 图1－3‎ ‎14． 如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．‎ ‎14．an＝　[解析] 令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B2A2＝3m，当n≥2时，＝＝＝，‎ 故a＝a，‎ a＝a，‎ a＝a，‎ ‎……‎ a＝a 以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1，‎ 所以an＝.‎ ‎15． 如图1－4所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．‎ 图1－4‎ ‎①当00)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性．‎ ‎16．解：(1)f(x)＝4cos ωx·sinωx＋ ‎＝2 sin ωx·cos ωx＋2 cos2 ωx ‎＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin2ωx＋＋.‎ 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，‎ 从而有＝π，故ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋＋.‎ 若0≤x≤，则≤2x＋≤.‎ 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减．‎ ‎17． 设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．‎ ‎(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；‎ ‎(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．‎ ‎17．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，‎ 故f(x)>0的解集为{x|x10，d(a)单调递增；‎ 当10，可解得tan 22.5°＝－1，‎ 因此OC＝＝(＋1)h.‎ 在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－，‎ 故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(－)2－1＝17－12 .‎ ‎20．、 设函数fn(x)＝－1＋x＋＋＋…＋(x∈，n∈*)．证明：‎ ‎(1)对每个n∈*，存在唯一的xn∈，1，满足fn(xn)＝0；‎ ‎(2)对任意p∈*，由(1)中xn构成的数列{xn}满足00时，f′n(x)＝1＋＋…＋>0，故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增．‎ 由于f1(1)＝0，当n≥2时，fn(1)＝＋＋…＋>0.故fn(1)≥0.又fn＝－1＋＋≤－＋k ‎＝－＋·＝－·n－1<0.‎ 所以存在唯一的xn∈，1，满足fn(xn)＝0.‎ ‎(2)当x>0时，fn＋1(x)＝fn(x)＋≥fn(x)，故fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0.‎ 由fn＋1(x)在(0，＋∞)内单调递增，xn＋1

查看更多