数学卷·2018届河北省衡水市故城高中高二上学期第二次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届河北省衡水市故城高中高二上学期第二次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年河北省衡水市故城高中高二（上）第二次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．抛物线x2=的焦点到准线的距离是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线 ‎4．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（　　））‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6） D．（﹣6，﹣2）‎ ‎6．直线L过点且与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎7．“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎9．过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）则x1x2=（　　）‎ A．﹣2 B． C．﹣4 D．‎ ‎10．设a＞0为常数，动点M（x，y）（y≠0）分别与两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．3 D．‎ ‎11．该试题已被管理员删除 ‎12．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m最大值为　　．‎ ‎14．直线y=x﹣1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知椭圆C1： =1与双曲线C2： =1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知两个命题r（x）：sin x+cos x＞m，s（x）：x2+mx+1＞0．如果对∀x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．‎ ‎（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程．‎ ‎19．已知双曲线=1（0＜a＜b）的实轴长为4，截直线y=x﹣2所得弦长为20．求：‎ ‎（1）双曲线的方程；‎ ‎（2）渐近线方程．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎21．已知抛物线C1的焦点F与椭圆C2：x2+=1的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求这条抛物线C1方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆M过A（1，0），且圆心M在C1的轨迹上，BD是圆M在y轴的截得的弦，当M过去时弦长BD是否为定值？说明理由．‎ ‎22．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市故城高中高二（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】可以根据充要条件的定义进行判断，a≠0和ab≠0中一个作为条件，另一个作为结论，进行推算即可．‎ ‎【解答】解：p：a≠0，q：ab≠0，显然a≠0，不一定有ab≠0，但是ab≠0⇒a≠0，‎ 所以p是q的必要不充分条件．‎ 故选B ‎　‎ ‎2．抛物线x2=的焦点到准线的距离是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线x2=的方程可知：，解得p．即可得出此抛物线的焦点到准线的距离d=p．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=的方程可知：，解得p=．‎ ‎∴此抛物线的焦点到准线的距离d=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据题意可得PM|﹣|PN|＜|MN|，利用双曲线的定义，即可得到动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．‎ ‎【解答】解：∵M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3‎ ‎∴|PM|﹣|PN|＜|MN|‎ ‎∴动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（　　））‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得．‎ ‎【解答】解：由题设知：焦点为 a=，c=，b=1‎ ‎∴与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜‎ ‎0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6） D．（﹣6，﹣2）‎ ‎【考点】特称命题；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题“∃x0∈R，使得”的否定为：‎ ‎“∀x0∈R，都有”，‎ 由于命题“∃x0∈R，使得”为假命题，‎ 则其否定为：“∀x0∈R，都有”，为真命题，‎ ‎∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．‎ 则实数m的取值范围是[2，6]．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．直线L过点且与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，‎ 若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．‎ ‎【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件．‎ 当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，‎ 综上，满足条件的直线共有3条，‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎7．“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据对数函数的图象和性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：当“（m﹣1）（a﹣1）＞0”时，则或，此时logam可能无意义，故“logam＞0”不一定成立，‎ 而当“logam＞0”时，则或，“（m﹣1）（a﹣1）＞0”成立，‎ 故“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x ‎∴2p=4，可得=，得焦点F（）‎ 设P（m，n）‎ 根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，‎ 即m+=4，解得m=3‎ ‎∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24‎ ‎∴n==‎ ‎∵|OF|=‎ ‎∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）则x1x2=（　　）‎ A．﹣2 B． C．﹣4 D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】抛物线y=2x2的标准方程是，它的焦点F（0，），设过焦点F（0，）的直线是，由，得，由此能得到．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=2x2，‎ ‎∴抛物线的标准方程是，它的焦点F（0，），‎ 设过焦点F（0，）的直线是，‎ 由，得，‎ ‎∵直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．设a＞0为常数，动点M（x，y）（y≠0）分别与两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．3 D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x和y的关系式，对k的范围进行分类讨论，看k＞0根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．‎ ‎【解答】解：依题意可知 •=λ，整理得y2﹣λx2=﹣λa2，‎ 当λ＞0时，方程的轨迹为双曲线，‎ ‎∴b2=λa2，c=‎ ‎∴e===‎ ‎∴λ=2‎ 故选A ‎　‎ ‎11．该试题已被管理员删除 ‎　‎ ‎12．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；抛物线的应用．‎ ‎【分析】到A和到直线 的距离相等，则P点轨迹是抛物线方程，再注意B点，用上P到的距离和点P到B的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a的值．‎ ‎【解答】解：法一 由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；‎ 当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．‎ 法二 由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m最大值为　﹣2　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，知x＜m⇒x＞4或x＜﹣2，由此能求出m最大值．‎ ‎【解答】解：∵“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，‎ 解不等式x2﹣2x﹣8＞0，得x＞4或x＜﹣2，‎ ‎∴x＜m⇒x＞4或x＜﹣2，‎ ‎∴m≤﹣2，‎ ‎∴m最大值为﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎14．直线y=x﹣1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是　（3，2）　．‎ ‎【考点】中点坐标公式；抛物线的应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是直线与抛物线之间的关系，及中点公式，要求直线被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标，我们可以联立直线与抛物线的方程，然后根据韦达定理，易给出点的坐标．‎ ‎【解答】解：将y=x﹣1代入抛物线y2=4x，‎ 经整理得x2﹣6x+1=0．‎ 由韦达定理得x1+x2=6，‎ ‎=3，‎ ‎===2．‎ ‎∴所求点的坐标为（3，2）．‎ 故答案为：（3，2）‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是　（0，]　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】确定函数f（x）、g（x）在[﹣1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称 ‎∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，‎ 可得f（x1）值域为[﹣1，3]‎ 又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，‎ ‎∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]‎ 即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]‎ ‎∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）‎ ‎∴，∴0＜a≤‎ 故答案为：（0，]．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆C1： =1与双曲线C2： =1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为　＜e1＜1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆C1： =1与双曲线C2： =1有相同的焦点，可得m＞0，n＜0．因此m+2﹣（﹣n）=m﹣n，解得n=﹣1．于是椭圆C1的离心率e12=1﹣，利用不等式的性质和e＜1即可得出．‎ ‎【解答】解：在椭圆C1： =1中，a12=m+2，b12=﹣n，c12=m+2+n，e12==1+．‎ ‎∵曲线C2： =1，∴a22=m，b22=﹣n，c22=m﹣n．由题意可得m+2+n=m﹣n，则n=﹣1．‎ ‎∴e12=1﹣．由m＞0，得m+2＞2．‎ ‎∴0＜＜，﹣＞﹣，∴1﹣＞，即e12＞．‎ 而0＜e1＜1，∴＜e1＜1．‎ 故答案为：＜e1＜1．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知两个命题r（x）：sin x+cos x＞m，s（x）：x2+mx+1＞0．如果对∀x∈‎ R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】若对∀x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，则使两个命题成立的实数m的范围，不可能同时满足，也不可能同时不满足，使两个命题成立的实数m的范围，然后构造关于m的不等式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）≥﹣，‎ ‎∴当r（x）是真命题时，m＜﹣．‎ 又∵对∀x∈R，s（x）为真命题，即x2+mx+1＞0恒成立，有△=m2﹣4＜0，∴﹣2＜m＜2．‎ ‎∴当r（x）为真，s（x）为假时，m＜﹣，‎ 同时m≤﹣2或m≥2，即m≤﹣2，‎ 当r（x）为假，s（x）为真时，m≥﹣且﹣2＜m＜2，‎ 即﹣≤m＜2．‎ 综上所述，m的取值范围是m≤﹣2或﹣≤m＜2．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．‎ ‎（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由△AOF2为等腰直角三角形，则b=c，利用椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；‎ ‎（2）由=2‎ ‎，根据向量数量积的坐标运算，求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形．则|OA|=|OF2|，即b=c．‎ ‎∴a==c，‎ 椭圆的离心率e==；‎ ‎（2）由题知2c=2，c=1，则A（0，b），F2（1，0），设B（x，y），‎ 由=2，即（1，﹣b）=2（x﹣1，y），‎ ‎∴，解得x=，y=﹣．‎ 代入椭圆=1，即解得a2=3．b2=a2﹣c2=2，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线=1（0＜a＜b）的实轴长为4，截直线y=x﹣2所得弦长为20．求：‎ ‎（1）双曲线的方程；‎ ‎（2）渐近线方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由直线与双曲线联立得（b2﹣4）x2+16x﹣16﹣4b2=0，利用截直线y=x﹣2所得弦长为20，即可求出双曲线的方程；‎ ‎（2）利用双曲线方程，求出渐近线方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵2a=4，∴a=2，‎ 由直线与双曲线联立得（b2﹣4）x2+16x﹣16﹣4b2=0，‎ ‎∴|x1﹣x2|=，‎ 又弦长为|x1﹣x2|=20，∴|x1﹣x2|=20，‎ ‎∴=20，解得b2=5或b2=＜4（舍去），‎ ‎∴双曲线的方程为=1．‎ ‎（2）∵双曲线的方程为=1，‎ ‎∴渐近线方程为y=±x．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，‎ ‎（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．‎ ‎【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ 当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，‎ 此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．‎ ‎∴=3；‎ 当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，‎ 由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，‎ 如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．‎ 例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），‎ 此时=3，‎ 直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；‎ 说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，‎ 或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线 AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线C1的焦点F与椭圆C2：x2+=1的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求这条抛物线C1方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆M过A（1，0），且圆心M在C1的轨迹上，BD是圆M在y轴的截得的弦，当M过去时弦长BD是否为定值？说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆C2：x2+=1的右焦点求出抛物线C1的焦点为F（，0），抛物线C1的方程．‎ ‎（Ⅱ）由已知条件推导出圆的方程为（x﹣）2+（y﹣a）2=（1﹣）2+a2，由此能证明弦长|BD|为定值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：∵抛物线C1的焦点与椭圆C2：x2+=1的右焦点重合，‎ ‎∴抛物线C1的焦点为F（，0），‎ ‎∵抛物线C1的顶点在坐标原点，‎ ‎∴抛物线C1的方程为y2=2x．‎ ‎（Ⅱ）证明：∵圆心M在抛物线y2=2x上，‎ 设圆心M（），半径r=，‎ 圆的方程为（x﹣）2+（y﹣a）2=（1﹣）2+a2，‎ 令x=0，得B（0，1+a），D（0，﹣1+a），‎ ‎∴|BD|==2，‎ ‎∴弦长|BD|为定值．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b2=a2﹣c2可求得b值；‎ ‎（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），‎ 由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x0，y0表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l不存在斜率时点O到直线l的距离易求，综上即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（I）设椭圆方程为，‎ 由已知抛物线的焦点为（，0），则c=，由e=，得a=2，∴b2=2，‎ 所以椭圆M的方程为；‎ ‎（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，‎ 则由消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，‎ ‎△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（2+4k2﹣m2）＞0，①‎ 设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），‎ 则：x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=，‎ 由于点P在椭圆M上，所以．‎ 从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式．‎ 又点O到直线l的距离为：‎ d===≥=，当且仅当k=0时等号成立，‎ 当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，‎ 从而点P的坐标为（﹣2，0）或（2，0），直线l的方程为x=±1，所以点O到直线l的距离为1．‎ 所以点O到直线l的距离最小值为．‎