高考数学一轮—32不等式组及线性规划
第32讲 不等式解法及应用
一．【课标要求】
1．不等关系
通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2．一元二次不等式
①．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；
②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图
3二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
二．【命题走向】
分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用
预测2010年高考的命题趋势：
1．结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；
2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；
3．在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；
4．对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏
三．【要点精讲】
1．不等式的解法
解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。
高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。
（1）同解不等式（(1)与同解；
（2）与同解，与同解；
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（3）与同解）；
2．一元一次不等式
解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。
情况分别解之。
3．一元二次不等式
或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象
4．分式不等式
分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
5．简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法：
①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；
②等价变形：
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|
0)，
|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)|g(x)f(x)>g (x)或f(x)2的解集为（ ）
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解析：将
（2）答案：C
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和
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，由图4—6可得C答案。
图4—6 图4—7
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）。
（3）C；
点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。
题型3：含参数的不等式的求解问题
例5．（1）设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围？
（2）解关于x的不等式＞1(a≠1)。
分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗
解析：（1）M［1，4］有两种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］；
当Δ=0时，a=－1或2；
当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］。
当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4，
即，解得2＜a＜，
∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)。
（2）原不等式可化为：＞0，
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①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解。
由于，
∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)。
②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解。
由于，
若a＜0，，解集为(，2)；
若a=0时，，解集为；
若0＜a＜1，，解集为(2，)。
综上所述：当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2)。
点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错
例6．（1）（2009湖南卷文）若，则的最小值为 .
答案 2
解析 ，当且仅当时取等号.
（2）(北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：①=·（）；②；③。若，则使成立的x的取值范围是
A.（，）∪（，+∞ ） B.（，）
C.（－∞，）∪（，+∞ ） D.（，+∞ ）
答案 B
题型4：线性规划问题
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例7．（1）(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ，
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，
则的最小值为 ( ).
A. B. C. D. 4
答案 A
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,
目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
（2）2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
A. B. C. D.
答案 B
A
x
D
y
C
O
y=kx+
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的
交点为D，则由知，∴
∴选A。
例8．（1）设函数，若对于任意的都有
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成立，则实数的值为
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
【答案】4
（2）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（3）已知点 P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。
解析：（1）约束条件为，选C；
（2）A；
（3）、。
（3，4）
（0，6）
O
（，0）
9
13
点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现
题型5：不等式的应用
例9．（2009四川卷文）
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某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元
C. 25万元 D. 27万元
答案 D
解析 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
A原料
B原料
甲产品吨
3
2
乙产品吨
3
则有：
目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
例10．(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
答案 2300
解析 设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品
设备
A类产品
(件)(≥50)
B类产品
(件)(≥140)
租赁费
(元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
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则满足的关系为即:,
作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..
点评：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力。
五．【思维总结】
1．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习
解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解。
加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。
加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视
2．强化不等式的应用
突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识。
高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。
如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。
3．突出重点
综合考查在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重。在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点。
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