- 2021-04-20 发布 |
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文档介绍
高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义
能 力 提 升 一、选择题 1.(2013烟台模拟)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是( ) A. B. C. D.π [答案] A [解析] 由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,设a与b的夹角为θ,则cosθ==,θ=. 2.(2012泉州四校二次联考)定义:|a×b|=|a|·|b|·sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( ) A.-8 B.8 C.-8或8 D.6 [答案] B [解析] 由|a|=2,|b|=5,a·b=-6,得cosθ=-,sinθ=,∴|a×b|=|a|·|b|·sinθ=2×5×=8. 3.P是△ABC所在平面上一点,若·=·=·,则P是△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 [答案] D [解析] 由·=·得·(-)=0,即·=0,∴PB⊥CA. 同理PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心. 4.已知a、b是非零向量,且(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由(a-2b)·a=0及(b-2a)·b=0得,a2=b2=2|a||b|cosθ,∴cosθ=,θ=. 5.已知△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 [答案] C [解析] 由-·=·+·, 得·(-)=·(-), 即·=·,∴·+·=0, ∴·(+)=0,则·=0,即⊥, 所以△ABC是直角三角形,故选C. 6.如图,O、A、B是平面上的三点,向量=a,=b,设P为线段AB的垂直平分线上任意一点,向量=p.若|a|=4,|b|=2,则p·(a-b)等于( ) A.1 B.3 C.5 D.6 [答案] D [解析] 由图知⊥,则·=0,p==+=(+)+, 则p·(a-b)=·(a-b)=(a+b)·(a-b)+·(a-b)=(a2-b2)+·=(|a|2-|b|2)+0=(42-22)=6. 二、填空题 7.(2013·安徽文)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________. [答案] - [解析] 本题主要考查了向量运算及夹角分式运用. ∵|a|=3|b|=|a+2b|, ∴|a|2=9|b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b, ∴a·b=-|b|2, ∴cos〈a·b〉===-. 8.(2011~2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为________;|2a-b|=________. [答案] 2 [解析] 由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2, 则a·b=3. 设a与b的夹角为θ,则cosθ==, 又θ∈[0,π],所以θ=. 因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28, 所以|2a-b|=2. 9.(江西高考)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________. [答案] [解析] |a-b|= ==. 三、解答题 10.已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求: (1)a·b;(2)(3a)·; (3)(3b-2a)·(4a+b). [解析] (1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60. (2)(3a)·=(a·b)=×(-60)=-36. (3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×122-8×102=-968. 11.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,试问:当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直? [解析] ∵(ka-b)⊥(a+2b), ∴(ka-b)·(a+2b)=0, 即ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0, ∴k=.∴当k=时,向量ka-b与a+2b垂直. 12.设向量a、b的夹角是x,|a|=,|b|=3,m是b在a方向上的投影,求函数y=|a|m的最大值和最小值. [解析] 由题意得m=|b|cosx=3cosx, ∴y=|a|m=()3cosx. 由0≤x≤π,得-3≤3cosx≤3, ∴≤y≤8.故ymax=8,ymin=.查看更多