2018-2019学年重庆大学城第一中学校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年重庆大学城第一中学校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

重庆大一中18-19学年下期高2020届半期测试试题 理科数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：孙涛 审题人：钟艳 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设i为虚数单位，则复数的共轭复数（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知函数，则（　　）‎ A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4‎ ‎3．若函数f（x），则f′（x）是（　　）‎ A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 ‎ C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 ‎4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限围成的封闭图形面积为a，则（）5展开式中，x的系数为（　　）‎ A．20 B．﹣20 C．5 D．﹣5‎ ‎5．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（　　）‎ x ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ A． B． C． D．0‎ ‎6．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（　　）‎ A．60 B．80 C．100 D．120‎ ‎7．的展开式中，常数项为（　　）‎ A．﹣15 B．16 C．15 D．﹣16‎ ‎8．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19．现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（　　）‎ A． B． C． D．0.19‎ ‎9．停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（　　）‎ A．种 B．种 ‎ C．种 D．种 ‎10．若函数f（x）＝x3﹣kex在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（　　）‎ A．[0，+∞） B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若对任意的正实数x，都有xf′（x）+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）＝（x﹣3）ex+a（2lnx﹣x+1）在（1，+∞）上有两个极值点，且f（x）在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（e，+∞） B．（e，2e2） ‎ C．（2e2，+∞） D．（e，2e2）∪（2e2，+∞）‎ 二．填空题（本题共四小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．某射手对一目标进行4次射击（每次射击互不影响且每次命中概率不变），若其恰好命中2次的概率为，则此射手的命中率为　 　．‎ ‎14．已知，若a0+a1+a2+…+a8＝0，则a3＝　 　．‎ ‎15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为　 　．‎ ‎16．已知函数，设关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为 ‎ 三．解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17．已知曲线f（x）＝x3﹣2x2+x．‎ ‎（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线y＝f（x）过原点O的切线方程．‎ ‎18．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用x（单位：万元）和利润y（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：‎ x（万元）‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎8 ‎ ‎9‎ ‎11 ‎ y（十万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（1）请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系（当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系）；‎ ‎（2）建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1），预测当宣传费用为30万元时的利润，‎ 附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为，，相关系数 参考数据：，356，，‎ ‎19．某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．‎ 甲班 乙班 总计 大于等于80分的人数 小于80分的人数 总计 （1） 完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；‎ ‎（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90）发言的人数为随机变量X，求X 的分布列和期望．‎ 附：，‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎20．已知函数f（x）＝ex﹣x2﹣1．‎ ‎（1）若函数g（x），x∈（0，+∞），求函数g（x）的单调区间；‎ ‎（2）若不等式f（x）（3x2﹣2x﹣2k）≤0有解，求k的取值范围．‎ ‎21．为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．‎ ‎（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）（精确到0.001）及X的数学期望；‎ ‎（Ⅱ）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．‎ ‎（1）下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：‎ ‎10.02‎ ‎9.78‎ ‎10.04‎ ‎9.92‎ ‎10.14‎ ‎10.04‎ ‎9.22‎ ‎10.13‎ ‎9.91‎ ‎9.95‎ ‎10.09‎ ‎9.96‎ ‎9.88‎ ‎10.01‎ ‎9.98‎ ‎9.95‎ ‎10.05‎ ‎10.05‎ ‎9.96‎ ‎10.12‎ 经计算得xi＝9.96，s0.19．‎ 其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？‎ ‎（2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，‎ ‎0.997419≈0.9517，0.997420≈0.9493，0.05072≈0.0026，0.94932≈0.9012．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当f（x）存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围．‎ 大一中高2020届下期理科数学期中考试答案 参考答案与试题解析 一．选择题 1-5：DD C A B 6-10 : B BADC 11-12: BC ‎11．【解答】解：令h（x）＝x2f（x），易知函数h（x）为偶函数，‎ 当x＞0时，h′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x（2f（x）+xf′（x））＞0，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ 则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数．‎ 所以x2f（x）＜2即，所以，解之得．‎ 故选：B．‎ ‎12．【解答】解：f′（x）＝（x﹣2）ex+a（1）＝（x﹣2）（ex），x∈（1，+∞）．‎ ‎∵f′（2）＝0，可得2是函数f（x）的一个极值点．‎ ‎∵f（x）在（1，+∞）上有两个极值点，且f（x）在（1，2）上单调递增，‎ ‎∴函数f（x）的另一个极值点x0＞2，满足：0，‎ 可得：a＝x02e2，‎ 故选：C．‎ 二．填空题13．　　． 14．　﹣14　． 15. 420 16.‎ ‎16．已知函数，设关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为 ‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17． (1) 5x﹣y﹣8＝0； （Ⅱ）切线方程为y＝x或y＝0．‎ ‎18．【解答】解：（1）由题意得6，4…（2分）‎ 又，356，，，‎ 所以0.99＞0.81…（4分）‎ 所以，y与x之间具有线性相关关系…（5分）‎ ‎（2）因为，…（7分）‎ ‎4﹣0.72×6≈﹣0.3‎ ‎…（9分）‎ 所以y关于x的线性回归方程为．‎ 当x＝30时，‎ 故可预测当宣传费用为30万元时的利润为20.7十万元（或207万元）…（12分）‎ ‎19．【解答】解：（1）依题意得，‎ 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．‎ ‎（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，‎ 依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴．‎ ‎20．【解答】解：（1）函数g（x），x∈（0，+∞），‎ g′（x），‎ ‎∵x∈（0，+∞），∴ex﹣x﹣1＞e0﹣0﹣1＝0．‎ 可得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）不等式f（x）（3x2﹣2x﹣2k）≤0有解⇔k．‎ 令h（x）＝exx﹣1，‎ h′（x）＝ex+x﹣1在R上单调递增，且h′（0）＝0．‎ ‎∴函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．‎ ‎∴x＝0时，使得h（x）取得极小值即最小值．‎ h（x）min＝h（0）＝0‎ k≥h（x）min＝0．‎ ‎∴k的取值范围是[0，+∞）．‎ ‎21．【解答】解：（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，‎ 从而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，‎ 故X～B（20，0.0026）．‎ 因此P（X＝1）0.0495，‎ X的数学期望为EX＝20×0.0026＝0.052；‎ ‎（Ⅱ）（1）由，s＝0.19，得μ的估计值为，σ的估计值为0.19，‎ 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在（3，3）＝（9.39，10.53）之外，因此需对本次的生产过程进行检查．‎ ‎（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P（A）＝1﹣[P（X＝0）]20≈1﹣（0.9974）20＝1﹣0.9493＝0.0507；‎ 如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，‎ 故概率为P＝3[P（A）]2×[1﹣P（A）]2≈3×（0.0507）2×（0.9493）2≈0.007．‎ 故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.007．‎ ‎22．【解答】解：（1）由f（x）＝lnax（a，b＞0），且f（x）+f （）＝0，‎ 得lnax0，‎ 即恒成立，则，即b＝4a．‎ ‎∴f（x）＝lnax（a＞0）．‎ f′（x）（x＞0）．‎ 令g（x）＝﹣ax2+x﹣4a．‎ ‎△＝1﹣16a2．‎ 若△＝1﹣16a2≤0，即a，则g（x）≤0，即f′（x）≤0，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 若△＝1﹣16a2＞0，即0＜a．‎ 由g（x）＝﹣ax2+x﹣4a＝0，解得0，0．‎ ‎∴当x∈（0，）∪（，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，‎ f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减；‎ 当x∈（，）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，‎ f（x）在（，）上单调递增；‎ ‎（2）由（1）知，当0＜a时，‎ f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减，‎ 在（，）上单调递增，可知f（x）存在三个不同的零点．‎ 故实数a的取值范围是（0，）．‎