【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案

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【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案

第章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎(对应学生用书第130页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角,当直线l和x轴平行时,它的倾斜角为0.‎ ‎(2)倾斜角的范围是[0,π).‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义:当α≠90°时,一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线斜率不存在.‎ ‎(2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0)‎ 不含直线x=x0‎ 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)‎ 截距式 +=1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(  )‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(  )‎ ‎(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(  )‎ ‎(4)过定点P0(x0,y0)的直线都可用方程y-y0=k(x-x0)表示.(  )‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.直线x-y+a=0的倾斜角为(  )‎ A.30°       B.60°‎ C.150° D.120°‎ B [设直线的倾斜角为α,则tan α=,‎ ‎∵α∈[0,π),∴α=.]‎ ‎3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )‎ A.1 B.4‎ C.1或3 D.1或4‎ A [由题意知=1(m≠-2),解得m=1.]‎ ‎4.(教材改编)直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________.‎ ‎1或-2 [令x=0,则l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+.‎ 依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.]‎ ‎5.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________.‎ ‎4x+3y=0或x+y+1=0 [若直线过原点,则k=-,所以y=-x,即4x+3y=0.‎ 若直线不过原点,设+=1,即x+y=a,则a=3+(-4)=-1,所以直线方程为x+y+1=0.]‎ ‎(对应学生用书第130页)‎ 直线的倾斜角与斜率 ‎ (1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的范围是(  )‎ A.[0,π)   B.∪ C. D.∪ ‎(2)若直线l过点P(-3,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________.‎ ‎(1)B (2) [(1)设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α,又sin α∈[-1,1],θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ ‎(2)因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),‎ 则kPA==-5,‎ kPB==-.‎ 如图所示,当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率的取值范围为.]‎ ‎[规律方法] 1.倾斜角α与斜率k的关系 (1)当α∈时,k∈[0,+∞).‎ (2)当α=时,斜率k不存在.‎ (3)当α∈时,k∈(-∞,0).‎ ‎2.斜率的两种求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.‎ (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.‎ ‎3.倾斜角α范围与直线斜率范围互求时,要充分利用y=tan α的单调性.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2017·九江一中)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=(  )‎ A.1±或0 B.或0‎ C. D.或0‎ ‎(2)直线l经过A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是________.‎ ‎(1)A (2) [(1)∵平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,∴kAB=kAC,‎ 即=,即a(a2-2a-1)=0,‎ 解得a=0或a=1±.故选A.‎ ‎(2)直线l的斜率k==1+m2≥1,所以k=tan α≥1.‎ 又y=tan α在上是增函数,因此≤α<.]‎ 求直线方程 ‎ 根据所给条件求直线的方程:‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;‎ ‎(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.‎ ‎【导学号:79140262】‎ ‎[解] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α,则sin α=(0≤α<π),‎ 从而cos α=±,则k=tan α=±.‎ 故所求直线方程为y=±(x+4).‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为+=1,又直线过点(-3,4),‎ 从而+=1,解得a=-4或a=9.‎ 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.‎ ‎[规律方法] 求直线方程应注意以下三点 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.‎ (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).‎ (3)截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.‎ ‎[跟踪训练] 求适合下列条件的直线方程:‎ ‎(1)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数;‎ ‎(2)过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.‎ ‎[解] (1)当直线过原点时,方程为y=x,即3x-2y=0.‎ 当直线l不过原点时,设直线方程为-=1.‎ 将P(2,3)代入方程,得a=-1,‎ 所以直线l的方程为x-y+1=0.‎ 综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.‎ ‎(2)设直线y=3x的倾斜角为α,‎ 则所求直线的倾斜角为2α.‎ 因为tan α=3,‎ 所以tan 2α==-.‎ 又直线经过点A(-1,-3),‎ 因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.‎ 直线方程的综合应用 ‎ 过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.‎ ‎(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.‎ ‎[解] 设直线l:+=1(a>0,b>0),‎ 因为直线l经过点P(4,1),‎ 所以+=1.‎ ‎(1)+=1≥2=,‎ 所以ab≥16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,‎ 所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,‎ 此时直线l的方程为+=1,‎ 即x+4y-8=0.‎ ‎(2)因为+=1,a>0,b>0,‎ 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·=5++≥5+2=9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,‎ 所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为+=1,即x+2y-6=0.‎ ‎[规律方法] 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.‎ (3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎[跟踪训练] 已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当a为何值时,四边形的面积最小? ‎ ‎【导学号:79140263】‎ ‎[解] 由得x=y=2,‎ ‎∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).‎ 易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,‎ 则S四边形OBAC=S△AOB+S△AOC=×2(a2+2)+×2(2-a)=a2-a+4=2+,a∈(0,2),‎ ‎∴当a=时,四边形OBAC的面积最小.‎
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