【数学】2020届一轮复习人教A版解三角形应用举例课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版解三角形应用举例课时作业

1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面 积,若 acos B+bcos A=csin C,S= (b2+c2-a2),则 B=(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 答案 C 解析由正弦定理,得 2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinCsinC,于是 sin(A+B)=sin2C, 所 以 sinC=1, 即 C= , 从 而 S= ab= (b2+c2-a2)= (b2+b2),解得 a=b, 所以 B=45°.故选 C. 2. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示, 若 x1,x2∈ ,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于(　　) A.1 B. C. D. 答案 D 解析由题中图象可得 A=1, , 解得 ω=2.故 f(x)=sin(2x+φ). 由题图可知 在函数 f(x)的图象上, 故 sin =1,即 +φ= +2kπ,k∈Z. ∵|φ|< ,∴φ= ,即 f(x)=sin . ∵x1,x2∈ ,且 f(x1)=f(x2), ∴x1+x2= ×2= . ∴f(x1+x2)=sin ,故选 D. 3. 如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平 面内的两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝ 30 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB 等于(　　) A．5 6 m B．15 3 m C．5 2 m D．15 6 m 解析：在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得 BC sin30° ＝ 30 sin135° ，解得 BC＝15 2(m)． 在 Rt△ABC 中， AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6(m)． 答案：D 4．某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向，后来船沿南偏东 60°的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯 塔的距离是(　　) A．5 km B．10 km C．5 3 km D．5 2 km 解析：作出示意图(如图)，点 A 为该船开始的位置，点 B 为 灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有 ∠BAC＝60°－30°＝30°，∠B＝120°，AC＝15， 由正弦定理，得 15 sin120° ＝ BC sin30° ， 即 BC＝ 15 × 1 2 3 2 ＝5 3，即这时船与灯塔的距离是 5 3 km. 答案：C 5. 如图，在离地面高 400 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的 仰角为 15°，山脚 A 处的俯角为 45°，已知∠BAC＝60°，则山的 高度 BC 为(　　) A．700 m B．640 m C．600 m D．560 m 解析：根据题意，可得在 Rt△AMD 中， ∠MAD＝45°，MD＝400， 所以 AM＝ MD sin45° ＝400 2. 因为△MAC 中，∠AMC＝45°＋15°＝60°， ∠MAC＝180°－45°－60°＝75°， 所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°， 由正弦定理，得 AC＝MAsin∠AMC sin∠MCA ＝ 400 2 × 3 2 2 2 ＝400 3， 在 Rt△ABC 中，BC＝ACsin∠BAC＝400 3× 3 2 ＝600(m)． 答案：C 二、填空题 6．[2019·山东省，湖北省部分中学质量检测]如图，在某岛 附近海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点 A，B，C 处 各有一个水声监测点，B，C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米，某时刻 B 点接收到发自水中 P 处的一个声波信号，8 秒后 A，C 同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒，则 P 到海防警戒线的距离为________千米． 解析：通解　依题意知 PA＝PC，设 PA＝PC＝x，PB＝x－ 1.5×8 ＝ x － 12. 在 △PAB 中 ， AB ＝ 20 ， 则 cos∠PAB ＝ PA2＋AB2－PB2 2PA·AB ＝x2＋202－(x－12)2 2x·20 ＝3x＋32 5x ，在△PAC 中，AC＝ 50 ， 则 cos∠PAC ＝ PA2＋AC2－PC2 2PA·AC ＝ x2＋502－x2 2x·50 ＝ 25 x . 因 为 cos∠PAB＝cos∠PAC，所以3x＋32 5x ＝25 x ，解得 x＝31，过点 P 作 PD⊥AC 于点 D，则 AD＝25，在 Rt△ADP 中，PD＝ 312－252 ＝4 21.故 P 到海防警戒线的距离为 4 21千米． 优解　过点 P 作 PD⊥AC 于点 D，设 PB＝x，由题意知，PA ＝PC＝x＋1.5×8＝x＋12，AD＝25，BD＝5，在 Rt△PAD 中，PD2 ＝PA2－AD2＝(x＋12)2－252，在 Rt△PBD 中，PD2＝PB2－BD2＝ x2－52，则(x＋12)2－252＝x2－52，可得 x＝19，故 PD＝ 192－52 ＝4 21，即 P 到海防警戒线的距离为 4 21千米． 答案：4 21 7．[2019·南昌市模拟]已知台风中心位于城市 A 东偏北 α(α 为锐角)度的 150 公里处，以 v 公里/时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 β(β 为锐角)度的 200 公里处，若 cos(α－β)＝24 25 ，则 v＝________. 解析：如图所示，AB＝150，AC＝200，根据题意可知∠B＝ α，∠C＝β，因为 cos(α－β)＝24 25 ，所以 sin(α－β)＝ 1－( 24 25 )2＝ 7 25 . 在三角形 ABC 中，由正弦定理 AB sinC ＝ AC sinB ，得150 sinβ ＝200 sinα ， 得 4sinβ＝3sinα，所以 4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α －β)＋cosβsin(α－β)]＝3 ( 24 25sinβ＋ 7 25cosβ)，整理得 4sinβ＝3cosβ. 又 sin2β＋cos2β＝1，所以 sinβ＝3 5 ，进而 sinα＝4 5 ，所以有 sin2α ＋sin2β＝1，所以 α＝90°－β， 所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以 BC＝ AB2＋AC2＝ 1502＋2002＝250，故 v＝250 2.5 ＝100. 答案：100 8．[2019·福建检测]在平面四边形 ABCD 中，AB＝1，AC＝5， BD⊥BC，BD＝2BC，则 AD 的最小值为________． 解析：设∠BAC＝α，∠ABD＝β(β∈(0，π))，则∠ABC＝β＋ π 2 .在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosα＝ 6－2 5cosα，由正弦定理，得 BC sinα ＝ AC sin(β＋π 2) ，即 BC＝ 5sinα cosβ .在 △ABD 中，由余弦定理，得 AD2＝AB2＋DB2－2AB·DBcosβ＝1＋ 4BC2－4BCcosβ＝1＋4(6－2 5cosα)－4· 5sinα cosβ ·cosβ＝25－8 5 cosα－4 5sinα＝25－20sin(α＋θ) (其中sinθ＝2 5 5 ，cosθ＝ 5 5 )，所 以当 sin(α＋θ)＝1，即 sinα＝ 5 5 ，cosα＝2 5 5 时，AD2 取得最小值 5，所以 AD 的最小值为 5. 答案： 5 三、解答题 9．[2019·石家庄检测] 某学校的平面示意图如图中的五边形区域 ABCDE，其中三 角形区域 ABE 为生活区，四边形区域 BCDE 为教学区，AB， BC，CD，DE，EA，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝ ∠CDE＝2π 3 ，∠BAE＝π 3 ，DE＝3BC＝3CD＝ 9 11 km. (1)求道路 BE 的长度； (2)求生活区△ABE 面积的最大值． 解析：(1)如图，连接 BD，在△BCD 中，BD2＝BC2＋CD2－ 2BC·CDcos∠BCD＝ 27 100 ，∴BD＝3 3 10 km. ∵BC＝CD， ∠CDB＝∠CBD＝ π－2 3π 2 ＝π 6 ， 又∠CDE＝2π 3 ，∴∠BDE＝π 2 . ∴在 Rt△BDE 中，BE＝ BD2＋DE2＝ ( 3 3 10 )2＋( 9 10 )2＝3 3 5 (km)． 故道路 BE 的长度为3 3 5 km. (2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝π 3 ， ∴∠AEB＝2π 3 －α. 在△ABE 中，易得 AB sin∠AEB ＝ AE sin∠ABE ＝ BE sin∠BAE ＝ 3 3 5sin π 3 ＝6 5 ， ∴AB＝6 5 sin ( 2π 3 －α)，AE＝6 5 sinα. ∴S△ABE ＝ 1 2 AB·AEsinπ 3 ＝ 9 3 25 sin ( 2π 3 －α)sinα ＝ 9 3 25 [ 1 2sin(2α－π 6)＋1 4]≤9 3 25 ( 1 2 ＋1 4)＝27 3 100 (km2)． ∵0<α<2π 3 ，∴－π 6 <2α－π 6 <7π 6 . ∴当 2α－π 6 ＝π 2 ，即 α＝π 3 时，S△ABE 取得最大值，最大值为 27 3 100 km2， 故生活区△ABE 面积的最大值为27 3 100 km2. 10．要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得 塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°，并测得 水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 cm，求电视塔的高度． 解析：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt△ABC 中，由 ∠ACB＝45°得 BC＝x.在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3 x. 在△BDC 中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°， 即( 3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°， 即得 x＝40， 所以电视塔高为 40 m. 11．在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距离 A 处( 3－1)海 里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西 75°方向，距离 A 处 2 海 里的 C 处的辑私船奉命在 10 3海里/时的速度追截走私船．同时， 走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问 缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？ 解析：如图，设缉私船 t 时后在 D 处追上走私船， 则有 CD＝10 3t，BD＝10t. 在△ABC 中，AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 利用余弦定理可得 BC＝ 6. 由正弦定理，得 sin∠ABC＝AC BC sin∠BAC＝ 2 6 × 3 2 ＝ 2 2 ， 得∠ABC＝45°，即 BC 与正北方向垂直． 于是∠CBD＝120°. 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝BDsin∠CBD CD ＝10t·sin120° 10 3t ＝1 2 ， 得∠BCD＝30°， ∴∠BDC＝30°. 又 CD sin120° ＝ BC sin30° ，10 3t 3 ＝ 6，得 t＝ 6 10 . 所以缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船，最少要 花 6 10 时．