2019届二轮复习第21讲　坐标系与参数方程学案（全国通用）

2019届二轮复习第21讲　坐标系与参数方程学案（全国通用）

第 21 讲 坐标系与参数方程 1.[2018·全国卷Ⅰ 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y= x +2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程. [试做 2.[2017·全国卷Ⅰ 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 = 3cos , = sin (θ为参数),直线 l 的参数方程为 = + 4 , = 1 - (t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ,求 a. [试做 命题角度 坐标系与参数方程 (1)根据 x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2 可将极坐标方程化为直角坐标方程; (2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现; (3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普 通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型. 解答 1 极坐标与简单曲线的极坐标方程 1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x+ 3 y=5 3 ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)射线 OP:θ=π 6 与圆 C 的交点为 O,A,与直线 l 的交点为 B,求线段 AB 的长. [听课笔记 【考场点拨】 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的两边同 乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法. 【自我检测】 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2:θ=π 3 (ρ∈R). (1)求 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)若曲线 C3 的极坐标方程为θ=π 6 (ρ∈R),设 C2 与 C1 的交点为 O,M,C3 与 C1 的交点为 O,N,求△OMN 的面积. 解答 2 简单曲线的参数方程 2 已知直线 l 的参数方程为 = 1 + cos , = sin (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 = 3cos , = sin (α为参数),且直线 l 交曲 线 C 于 A,B 两点. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并求当θ=π 4 时, AB 的值; (2)已知点 P(1,0),当直线 l 的倾斜角θ变化时,求 PA · PB 的取值范围. [听课笔记 【考场点拨】 (1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的 坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题 时能够事半功倍. 【自我检测】 已知曲线 C: 4 2 9 + 2 16 =1,直线 l: = 3 + , = 5 - 2 (t 为参数). (1)写出曲线 C 的参数方程和直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d,求 d 的最大值与最小值. 解答 3 极坐标方程与参数方程的综合应用 3 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 = 2 + 2 2 , = - 1 + 2 2 (t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ=2 2 acos + π 4 > 5 6 . (1)分别写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)已知点 P(2,-1),直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点,若 MN 2=6 PM · PN ,求 a 的值. [听课笔记 【考场点拨】 参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如 cos2α+sin2α=1 等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过 选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.利用关系式 = cos , = sin , 2 + 2 = 2 , = tan 等可以将极坐标方程与直角 坐标方程互化. 【自我检测】 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 3 x-y-2 3 =0,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 2cos θ=ρ(1-cos2θ). (1)写出直线 l 的一个参数方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求 AB 的中点 N 的坐标. 模块七 选考模块 第 21 讲 坐标系与参数方程 典型真题研析 1.解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ得 C2 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆. 由题设知,C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2. 由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点. 当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为 2,所以 - +2 2+1 =2,故 =- 4 3 或 =0. 经检验,当 =0 时,l1 与 C2 没有公共点; 当 =- 4 3 时,l1 与 C2 只有一个公共点,l2 与 C2 有两个公共点. 当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以 +2 2+1 =2,故 =0 或 = 4 3 . 经检验,当 =0 时,l1 与 C2 没有公共点; 当 = 4 3 时,l2 与 C2 没有公共点. 综上,所求 C1 的方程为 y=- 4 3 x +2. 2.解:(1)曲线 C 的普通方程为 2 9 +y2=1. 当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0. 由 + 4 - 3 = 0 , 2 9 + 2 = 1 , 解得 = 3 , = 0 或 = - 21 25 , = 24 25 . 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0), - 21 25 , 24 25 . (2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离 d= 3cos+4sin - - 4 17 . 当 a≥-4 时,d 的最大值为 +9 17 ,由题设得 +9 17 = 17 ,所以 a=8; 当 a<-4 时,d 的最大值为- +1 17 ,由题设得- +1 17 = 17 ,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16. 考点考法探究 解答 1 例 1 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入 x+ 3 y=5 3 中, 得ρcos θ+ 3 ρsin θ=5 3 ,整理得 2ρsin + π 6 =5 3 , 即直线 l 的极坐标方程为 2ρsin + π 6 =5 3 . 由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,将ρ2=x2+y2,ρsin θ=y 代入上式,得 x2+y2=4y, 可得 x2+(y-2)2=4,即圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4. (2)将θ=π 6 分别代入ρ=4sin θ,2ρsin + π 6 =5 3 ,得 OA =4sinπ 6 =2, OB = 5 3 2sin π 6+ π 6 =5, 所以 AB = OB - OA =3. 【自我检测】 解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+y2-4x-8y=0, 把 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0, 所以 C1 的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ. 易得 C2 的直角坐标方程为 y= 3 x. (2)分别将θ=π 3 ,θ=π 6 代入ρ=4cos θ+8sin θ中,得 OM =2+4 3 , ON =4+2 3 , 则△OMN 的面积为 1 2 ×(2+4 3 )×(4+2 3 )×sin π 3 - π 6 =8+5 3 . 解答 2 例 2 解:(1)由曲线 C 的参数方程为 = 3cos , = sin (α为参数),得曲线 C 的普通方程为 2 3 +y2=1. 当θ=π 4 时,直线 l 的普通方程为 y=x-1, 代入 2 3 +y2=1,可得 2x2-3x=0,∴x1=0,x2= 3 2 , ∴ AB = 1 + 1 × 3 2 - 0 = 3 2 2 . (2)将直线 l 的参数方程代入 2 3 +y2=1, 得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cos θ·t-2=0. 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1t2= - 2 cos 2 +3sin 2 ,∴ PA · PB =-t1·t2= 2 cos 2 +3sin 2 = 2 1+2sin 2 ∈ 2 3 , 2 . 【自我检测】 解:(1)曲线 C 的参数方程为 = 3 2 cos , = 4sin (θ为参数),直线 l 的普通方程为 2x+y-11=0. (2)可设点 P 3 2 cos , 4sin ,则点 P 到直线 l 的距离 d= 5 5 3cos θ+4sin θ-11 = 5 5 5sin(θ+α)-11 ,其中α为锐角,且 tan α= 3 4 . 则当 sin(θ+α)=-1 时,d 取得最大值,最大值为 16 5 5 ;当 sin(θ+α)=1 时,d 取得最小值,最小值为 6 5 5 . 解答 3 例 3 解:(1)将 = 2 + 2 2 , = - 1 + 2 2 (t 为参数)消去参数 t,可得 x-y-3=0, ∴直线 l 的普通方程为 y=x-3. 由ρ=2 2 acos + π 4 ,得ρ2=2ρa(cos θ-sin θ). 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y 代入上式,得 x2+y2-2ax+2ay=0, 即(x-a)2+(y+a)2=2a2, ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x-a)2+(y+a)2=2a2. (2)将 = 2 + 2 2 , = - 1 + 2 2 代入 x2+y2-2ax+2ay=0 中, 整理得 t2+ 2 t+5-6a=0. 设 M,N 两点对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=- 2 ,t1t2=5-6a. ∵ MN 2=6 PM · PN , ∴(t1-t2)2=6 t1t2 , 又 a> 5 6 , ∴t1t2<0, ∴(t1-t2)2=-6t1t2, ∴(t1+t2)2+2t1t2=0,即(- 2 )2+2(5-6a)=0, 解得 a=1,符合题意, ∴a=1. 【自我检测】 解:(1)直线 l 的方程为 3 x-y-2 3 =0, 即 3 (x-2)=y. 令 x=t+2,y= 3 t, 则直线 l 的一个参数方程为 = + 2 , = 3 (t 为参数). 由曲线 C 的极坐标方程可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ, 即ρ2sin2θ=2ρcos θ,可得曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x. (2)将 = + 2 , = 3 代入 y2=2x,得 3t2-2t-4=0. 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2= 2 3 . 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0), 则 x0= 1+2 2 =2+ 1+2 2 = 7 3 ,y0= 1+2 2 = 3 ( 1+2 ) 2 = 3 3 , 故 AB 的中点 N 的坐标为 7 3 , 3 3 . [备选理由 例 1 第(2)问考查两弦长之和,其实质是极径之和,可以写成极角的表达式,利用三角函数求解最值,有利 于强化学生的综合分析能力与化归转化思想;例 2 考查参数方程与极坐标方程的综合应用. 例 1 [配例 1 使用 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的圆心为 0 , 1 2 ,半径为 1 2 ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 M,N 是圆 C 上两个动点,且满足∠MON= 2 π 3 ,求 OM + ON 的最大值. 解:(1)圆 C 的直角坐标方程为 x2+ - 1 2 2 = 1 4 ,即 x2+y2-y=0, 化成极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理得ρ=sin θ. (2)设 M(ρ1,θ),N 2 , + 2 π 3 , 则 OM + ON =ρ1+ρ2=sin θ+sin + 2 π 3 = 1 2 sin θ+ 3 2 cos θ=sin + π 3 . 由 0 π, 0 + 2 π 3 π,得 0<θ<π 3 ,所以π 3 <θ+π 3 < 2 π 3 , 故 3 2

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