数学卷·2018届江苏省泰州中学高三12月月考（2017

数学卷·2018届江苏省泰州中学高三12月月考（2017

高三年级 12 月月度检测数学试卷 一、填空题.：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 1.已知全集U R ，集合 { | 2}A x x ≥ ， { | 0 5}B x x ≤ ，则 ( )uC A B  ． 2.若直线  2 2 1 0a a x y    的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是 ． 3.对于常数 m 、 n ，“ 0mn  ”是方程“ 2 2 1mx ny  的曲线是椭圆”的 ． 4.已知单位向量 a  ， b  的夹角为120 ，那么 2a xb  （ xR ）的最小值是 ． 5.将 sin 2y x 的图像向右平移 单位（ 0  ），使得平移后的图像仍过点 3( )3 2  ， ，则 的 最小值为 ． 6.已知数列{ }na 满足： 1 1a  ， 1 2 n n n aa a   ，（ *n N ），则数列{ }na 的通项公式为 ． 7.若圆 C 经过坐标原点和点 (4 0)， ，且与直线 1y  相切，则圆C 的方程是 ． 8.设函数 1( ) 0 xD x x   有， ， 理 理 为 数 为无 数 ，则下列结论正确的是 ． （1） ( )D x 的值域为{0 1}， ；（2） ( )D x 是偶函数；（3） ( )D x 不是周期函数；（4） ( )D x 不是 单调函数. 9.如图，矩形 ABCD 的三个顶点 A 、 B 、 C 分别在函数 2 2 logy x ， 1 2y x ， 2 2 x y       的 图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点 A 的纵坐标为 2 ，则点 D 的坐标 为 ． 10.在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 1AD  ，若 M ， N 分别在边 BC ， CD 上运动（包括端点， 且满足 BM CN BC CD      ，则 AM AN  的取值范围是 ． 11.若曲线 21 2y xe  与曲线 lny a x 在它们的公共点 ( )P s t， 处具有公共切线，则实数 a 的值 为 ． 12.若函数 ( ) 2 1f x x  ，则函数  ( ) ( ) lng x f f x x  在 (0 1)， 上不同的零点个数 为 ． 13.已知点 ( 3 0)A  ， 和圆 O ： 2 2 9x y  ， AB 是圆 O 的直径， M 和 N 是线段 AB 的三等分 点， P （异于 A ， B ）是圆 O 上的动点， PD AB 于 D ， PE ED  （ 0  ），直线 PA 与 BE 交于 C ，则当   时， CM CN 为定值． 14.已知圆心角为120 的扇形 AOB 的半径为1，C 为 AB 的中点，点 D 、E 分别在半径OA 、 OB 上.若 2 2 2 26 9CD CE DE   ，则 OD OE 的最大值是 ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 15.已知 ( ) 3sin( ) cos3f x x x   ． （1）求 ( )f x 在[0 ]， 上的最小值； （2）已知 a ，b ，c 分别为 ABC△ 内角 A 、B 、C 的对边， 5 3b  ， 3cos 5A  ，且 ( ) 1f B  ， 求边 a 的长. 16.设函数 ( ) log ( 2 ) log ( 3 )a af x x a x a    ，其中 0a  且 1a  ． （1）已知 (4 ) 1f a  ，求 a 的值； （2）若在区间[ 3 4]a a ， 上 ( ) 1f x ≤ 恒成立，求 a 的取值范围. 17. 已知椭圆的中心为坐标原点 O ，椭圆短轴长为 2 ，动点 (2 )M t， （ 0t  ）在椭圆的准线 上. （1）求椭圆的标准方程； （2）求以 OM 为直径且被直线3 4 5 0x y   截得的弦长为 2 的圆的方程； （3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点 N ，求证： 线段 ON 的长为定值，并求出这个定值. 18. 某儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. ABCD 是等 腰梯形； 20AB  米， CBF   （ F 在 AB 的延长线上， 为锐角），圆 E 与 AD ， BC 都 相切，且其半径长为100 80sin 米. EO 是垂直于 AB 的一个立柱，则当 sin 的值设计为多 少时，立柱 EO 最矮？ 19. 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 1n nS pS q   （ p ， q 为常数， *n N ）eg 1 2a  ， 2 1a  ， 3 3a q p  （1）求 p ， q 的值； （2）求数列{ }na 的通项公式； （3）是否存在正整数 m ，n ，使 1 2 2 1 m n m n S m S m    成立？若存在，求出所有符合条件的有序 实数对 ( )m n， ；若不存在，说明理由. 20. 已知函数 ( )f x 的图像在[ ]a b， 上连续不断，定义： 1( ) min{ ( ) / }f x f t a t x ≤ ≤ （ [ ]x a b ， ）， 2 ( ) max{ ( ) / }f x f t a t x ≤ ≤ （ [ ]x a b ， ），其 中 min{ ( ) / }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D 上的最小值， max{ ( ) / }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D 上的最大值，若存在最小正整数 k ，使得 2 1( ) ( ) ( )f x f x k x a ≤ 对任意的 [ ]x a b ， 成立， 则称函数 ( )f x 为[ ]a b， 上的“ k 阶收缩函数”. （1）若 ( ) cosf x x ， [0 ]x  ， ，试写出 1( )f x ， 2 ( )f x 的表达式； （2）已知函数 2( )f x x ， [ 1 4]x  ， ，判断 ( )f x 是否为[ 1 4] ， 上的“ k 阶收缩函数”，如 果是，求出对应的 k ，如果不是，请说明理由； （3）已知 0b  ，函数 3 2( ) 3f x x x   ，是[0 ]b， 上的 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围. 数学附加题 21. （1）选修 4-2：矩阵与变换 求矩阵 1 4 2 6M      的特征值和特征向量. （2）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 1C 的方程为 4 2 cos( )4    ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系，圆 2C 的参数方程 1 cos 1 sin x a y a          ，（ 是参数），若圆 1C 与圆 2C 相 切，求实数 a 的值. 22.一位民在上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A ， B ，C ， D ， E 五种 商品有购买意向，已知该民购买 A ， B 两种商品的概率均为 3 4 ，购买C ， D 两种商品的概 率均为 2 3 ，购买 E 种商品的概率为 1 2 ，假设该民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该民至少购买 4 种商品的概率； （2）用随机变量 表示该民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望. 23.已知 p （ 2p≥ ）是给定的某个正整数，数列{ }na 满足： 1 1a  ， 1( 1) ( )k kk a p k p a   ， 其中 1k  ， 2 ，3，…， 1p  . （1）设 4p  ，求 2a ， 3a ， 4a ； （2）求 1 2 3 pa a a a    试卷答案 一、填空题 1.{ | 0 2}x x ≤ 2. ( 2 0) ， 3.必要不充分条件 4. 3 5. 6  6. 1 2 1n na   7. 2 23 25( 2) ( )2 4x y    8.（1）（2）（4） 9. 1 1 2 4      ， 10.[1 9]， 11.1 12. 3 13. 1 8 14. 4 3 二、解答题 15.解：（1） sin 3( ) 3 cos cos2 2 xf x x x        3 1sin cos sin2 2 6x x x        ∵ 7 6 6 6x  ≤ ≤ ∴当 x  时， min 1( ) 2f x   ； （2）∵ 26 2x k    ， k Z 时， ( )f x 有最大值， B 是三角形内角∴ 3B  ∵ 3cos 5A  ∴ 4sin 5A  ∵正弦定理 sin sin a b A B  ∴ 8a  16.解：（1） 1 2a  （2） 2 2 2 25( ) log ( 5 6 ) log [( ) ]2 4a a a af x x ax a x      ， 由 2 0 3 0 x a x a      得 3x a ，由题意知 3 3a a  ，故 3 2a  ，从而 5 3( 3) (2 ) 02 2a a a     ，故 函数 2 25( ) ( )2 4 ag x x a   在区间[ 3 4]a a ， 上单调递增. ①当 0 1a  ，则 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上单调递减. 所以 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上的最大值为 2( 3) log (2 9 9) 1af a a a    ≤ ， 即 22 9 9a a a  ≥ ，解得 5 7 2a ≥ 或 5 7 2a ≤ ，又 0 1a  ，所以 0 1a  . ②若 31 2a  ，则 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上单调递增， 所以 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上的最大值为 2( 4) log (2 12 16) 1af a a a    ≤ ， 22 12 16a a a  ≤ ，解得 13 41 13 41 4 2a ≤ ≤ ，与 31 2a  联立无解. 综上： 0 1a  17.解：（1）由 2 2b  ，得 1b  又由点 M 在准线上，得 2 2a c  ，故 21 2c c   ，∴ 1c  从而 2a  所以椭圆方程为 2 2 12 x y  （2）以 OM 为直径的圆的方程为 2 2 2( 1) ( ) 12 4 t tx y     其圆心为 (1 )2 t， ，半径 2 14 tr   因为以OM 为直径的圆被直线 3 4 5 0x y   截得的弦长为 2 所以圆心到直线3 4 5 0x y   的距离 2 1 2 td r   所以 3 2 5 5 2 t t   ，解得 4t  所以圆的方程为 2 2( 1) ( 2) 5x y    （3）方法一：由平几知： 2ON OK OM  直线 OM ： 2 ty x ，直线 FN ： 2 ( 1)y xt    由 2 2 ( 1) ty x y xt       得 2 4 4Kx t   ∴ 2 2 2 2 2 41 1 (1 ) 2 24 4 4 4K M t t tON x x t          所以线段 ON 的长为定值 2 方法二：设 0 0( )N x y， ，则 0 0( 1 )FN x y ， ， (2 )OM t ， ， 0 0( 2 )MN x y t   ， ， 0 0( )ON x y ， ， ∵ FN OM  ，∴ 0 02( 1) 0x ty   ，∴ 0 02 2x ty  又∵ MN ON  ，∴ 0 0 0 0( 2) ( ) 0x x y y t    ，∴ 2 2 0 0 0 02 2x y x ty    所以 2 2 0 0 2ON x y   为定值. 18.解：方法一：如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立 平面直角坐标系. 因为 (10 0)B ， ， tanBCk  ，所以直线 BC 的方程为 tan ( 10)y x   ，即 tan 10tan 0x y    . 设圆心 (0 )E t， （ 0t  ），由圆 E 与直线 BC 相切， 得 2 10tan 10tan100 80sin 11 tan cos t t          ， 所以 100 90sin cosEO t     令 100 90sin( ) cosf    ， (0 )2   ， ，则 2 9100(sin )10( ) cosf       设 0 9sin 10   ， 0 (0 )2   ， ，列表如下：  0(0 )， 0 0( )2  ， ( )f   0  ( )f  减 极小值 增 所以当 0  ，即 9sin 10   时， ( )f  取最小值. 答：当 9sin 10   时，立柱 EO 最矮. 方法二：如图所示，延长 EO ， CB 交于点 G ，过点 E 作 EH BC 于 H ， 则 100 80sinEH R    ， HEG OBG CBF       在 Rt EHG△ 中， 100 80sin cos cos REG      在 Rt OBG△ 中， tan 10tanOG OB    所以 100 90sin cosEO EG OG      19.解：（1）由题意，知 2 1 3 2 S pa q S pS q      ， ，即 3 2 3 3 3 p q q p p q        ， ，解之得 1 2 2 p q     （2）由（1）知， 1 1 22n nS S   ，① 当 2n≥ 时， 1 1 22n nS S   ，② ①  ②得， 1 1 2n na a ≥ （ 2n≥ ） 又 2 1 1 2a a ，所以 1 1 2n na a  （ *n N ），所以{ }na 是首项为 2 ，公比为 1 2 的等比数列，所以 2 1 2n na  （3）由（2）得， 12(1 ) 12 4(1 )1 21 2 n n nS      ，由 1 2 2 1 m n m n S m S m    ，得 1 14(1 ) 22 1 2 14(1 )2 mn m n m m      ，即 2 (4 ) 4 2 2 (4 ) 2 2 1 n m n m m m      ， 即 2 1 2 (4 ) 2 2 1n mm    ，因为 2 1 0m   ,所以 2 (4 ) 2n m  ， 所以 4m  ，且 12 2 (4 ) 2 4m mm     ，（） 因为 *m N ，所以 1m  或 2 或3 当 1m  时，由（）得， 2 2 3 8n   ，所以 1n  ； 当 2m  时，由（）得， 2 2 2 12n   ，所以 1n  或 2 ； 当 3m  时，由（）得 2 2 20n  ，所以 2n  或3或 4 ， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对 ( )m n， 为： (1 1)， ， (2 1)， ， (2 2)， ， (3 2)， ， (3 3)， ， (3 4)， 20.解：（1）由题意可得： 1( ) cosf x x ， [0 ]x  ， ， 2 ( ) 1f x  ， [0 ]x  ， . （2） 2 1 [ 1 0)( ) 0 [0 4] x xf x x      ， ， ， ， ， 2 2 1 [ 1 1)( ) [1 4] xf x x x     ， ， ， ， ， 2 2 1 2 1 [ 1 0) ( ) ( ) 1 [0 1) [1 4] x x f x f x x x x          ， ， ， ， ， ， 当 [ 1 0]x  ， 时， 21 ( 1)x k x ≤ ，∴ 1k x≥ ， 2k ≥ ； 当 (0 1)x ， 时，1 ( 1)k x ≤ ，∴ 1 1k x  ≥ ，∴ 1k ≥ ； 当 [1 4]x ， 时， 2 ( 1)x k x ≤ ，∴ 2 1 xk x  ≥ ， 16 5k ≥ 综上所述， 16 5k ≥ .即存在 4k  ，使得 ( )f x 是[ 1 4] ， 上的“4 阶收缩函数”. （3） 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x       ，令 ( ) 0f x  得 0x  或 2x  .函数 ( )f x 的变化情况如下： x ( 0) ， 0 (0 2)， 2 (2 ) ， ( )f x  0  0  ( )f x  0  4  令 ( ) 0f x  得 0x  或 3x  . （1）当 2b≤ 时， ( )f x 在[0 ]b， 上单调递增，因此， 3 2 2 ( ) ( ) 3f x f x x x    ， 1( ) (0) 0f x f  . 因为 3 2( ) 3f x x x   是[0 ]b， 上的“二阶收缩函数”，所以， ① 2 1( ) ( ) 2( 0)f x f x x ≤ ，对 [0 ]x b ， 恒成立； ②存在 [0 ]x b ， ，使得 2 1( ) ( ) ( 0)f x f x x   成立. ①即： 3 23 2x x x  ≤ 对 [0 ]x b ， 恒成立，由 3 23 2x x x  ≤ 解得 0 1x≤ ≤ 或 2x≥ . 要使 3 23 2x x x  ≤ 对 [0 ]x b ， 恒成立，需且只需 0 1b ≤ . ②即：存在 [0 ]x b ， ，使得 2( 3 1) 0x x x   成立. 由 2( 3 1) 0x x x   解得 0x  或 3 5 3 5 2 2x   .所以，只需 3 5 2b  . 综合①②可得 3 5 12 b  ≤ （2）当 2 3b ≤ 时， ( )f x 在[0 2]， 上单调递增，在[2 ]b， 上单调递减，因此， 2 ( ) (2) 4f x f  ， 1( ) (0) 0f x f  ， 2 1( ) ( ) 4f x f x  ， 0x x  ，显然当 0x  时， 2 1( ) ( ) 2( 0)f x f x x ≤ 不成 立， （3）当 3b  时， ( )f x 在[0 2]， 上单调递增，在[2 ]b， 上单调递减，因此， 2 ( ) (2) 4f x f  ， 1( ) ( ) 0f x f b  ， 2 1( ) ( ) 4 ( ) 4f x f x f b    ， 0x x  ，显然当 0x  时， 2 1( ) ( ) 2( 0)f x f x x ≤ 不成立. 综合（1）（2）（3）可得： 3 5 12 b  ≤ 数学附加题 21.解：（1） 2( ) ( 1)( 6) 8 5 14 ( 7)( 2)f                 由 ( ) 0f   可得： 1 7  ， 2 2   . 由 (7 1) 4 0 2 (7 6) 0 x y x y        可得属于 1 7  的一个特征向量 1 2      由 ( 2 1) 4 0 2 ( 2 6) 0 x y x y          可得属于 1 2   的一个特征向量为 4 1      （2） 1C ： 2 2( 2) ( 2) 8x y    ，圆心 1(2 2)C ， ，半径 1 2 2r  ， 2C ： 2 2 2( 1) ( 1)x y a    ，圆心 2 ( 1 1)C  ， ，边境 2 | |r a . 圆心距 1 2 3 2C C  ， 两圆外切时， 1 2 1 2 2 2 3 2C C r r a     ， 2a   ； 两圆内切时， 1 2 1 2 2 2 3 2C C r r a     ， 5 2a   . 综上， 2a   ，或 5 2a   . 22.解：（1）记“该民购买 i 种商品”为事件 iA ， 4i  ，5 ，则 5 3 3 2 2 1 1( ) 4 4 3 3 2 8P A       ， 1 4 2 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1( ) (1 ) C (1 )4 4 3 3 2 4 4 3 3 2P A             1 2 2 2 3 3 1 1(1 )3 3 4 4 2 3C       所以该民至少购买 4 种商品的概率为 5 4 1 1 11( ) ( ) 8 3 24P A P A    答:该民至少购买 4 种商品的概率为 11 4 . （2）随机变量 的可能取值为 0 ，1， 2 ，3， 4 ， 5 3 3 2 1 1( 0) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )4 4 3 2 288P            1 2 3 2 2 1( 1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )4 3 3 2P C           + 1 2 2 2 3 3 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )3 3 4 4 2C         1 3 3 2 2 11(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 4 4 3 3 288           , 3 3 2 2 1( 2) (1 ) (1 ) (1 )4 4 3 3 2P           + 2 2 3 3 1(1 ) (1 ) (1 )3 3 4 4 2        1 1 2 2 3 3 2 2 1 47(1 ) (1 ) (1 )4 4 3 3 2 288C C         1 11 47 1 1 97( 3) 1 ( 0 2 4 5) 1 288 288 288 3 8 288P P           ， ， ， , 4 1( 4) ( ) 3P P A    5 1( 5) ( ) 8P P A    所以：随机变量 的概率分布为：  0 1 2 3 4 5 P 1 288 11 288 47 288 97 288 1 3 1 8 故 1 11 47 97 1 1 100 1 2 3 4 5288 288 288 288 3 8 3E              . 23.解：（1）由 1( 1) ( )k kk a p k p a   得 1 1 k k a k ppa k     ， 1k  ， 2 ， 3，…， 1p  即 2 1 4 14 62 a a      ， 2 16 6a a    ； 3 2 4 2 84 3 3 a a      ， 3 16a  4 3 4 34 14 a a      ， 4 16a   ； （2）由 1( 1) ( )k kk a p k p a   得 1 1 k k a k ppa k     ， 1k  ， 2 ，3，…， 1p  即 2 1 1 2 a ppa    ， 3 2 2 3 a ppa    ，…， 1 ( 1)k k a p kpa k     以上各式相乘得 1 1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( ) ! kka p p p p kpa k          ∴ 1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( ) ! k k p p p p ka p k          1 1 ( 1)! ( ) !( ) !( )! !( )! k k p p pp k p k p k p k          2 2 1( ) ( )k k k k p pp C C pp        ， 1k  ， 2 ，3，…， p ∴ 1 2 3 pa a a a    1 1 2 2 3 3 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )p p p p p pC p C p C p C pp             2 1 (1 ) 1ppp      