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人教版初中数学九年级下册课件第二十八章小结与复习
小结与复习 第二十八章 锐角三角函数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 (2)∠A的余弦:cosA= = ; (3)∠A的正切:tanA= = . 要点梳理 1. 锐角三角函数 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°, a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1) ∠A的正弦: ∠A的对边 斜边sin A = a c ; ∠A的邻边 斜边 b c ∠A的邻边 ∠A的对边 a b sin30°= ,sin45°= ,sin60°= ; cos30°= ,cos45°= ,cos60°= ; tan30°= ,tan45°= ,tan60°= . 2. 特殊角的三角函数 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 合作探 究(1) 在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A, ∠B,∠C的对边. 三边关系: ; 三角关系: ; 边角关系:sinA=cosB= ,cosA=sinB = , tanA= ,tanB= . a2+b2=c2 ∠A=90°-∠B 3. 解直角三角形 a c sin cos A A sin cos B B b c (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑ 条件:解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边),就可以求出其余的3个未知元素. ◑ 解法:①一边一锐角,先由两锐角互余关系求出 另一锐角;知斜边,再用正弦(或余弦)求另两边; 知直角边用正切求另一直角边,再用正弦或勾股 定理求斜边;②知两边:先用勾股定理求另一边, 再用边角关系求锐角;③斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题. (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = , cosα = , sin2α + cos2α = . tanα · tan(90°-α) = . cos(90°-α) sin(90°-α) 1 1 对于sinα与tanα,角度越大,函数值越 ; 对于cosα,角度越大,函数值越 . 大 小 (4) 锐角三角函数的增减性 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步:输入角度值, 屏幕显示结果. (也有的计算器是先输入角度再按函数名称键) 第一步:按计算器 键,sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键,进一步得到角的 度数. 第二步:输入函数值 屏幕显示答案 (按实际需要进行精确) 方法①: °'″2nd F 第一步:按计算器 键,2nd F sin cos tan 方法②: 第二步:输入锐角函数值 屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值). 第一步:按计算器 键,°'″2nd F (1) 仰角和俯角 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的 夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的 夹角叫做俯角. 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准,正南或正北方向线与目 标方向线构成的小于900的角,叫做方位角. 如图 所示: 30° 45° B O A 东西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东西 北 南 西北 东南 图19.4.5 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6. 显然,坡度越大,坡角α就越大, 坡面就越陡. 如图:坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l) 的比叫做坡面坡度.记作i,即i = . (3) 坡度,坡角 h l (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是: ① 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形, 转化为解直角三角形的问题); ② 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形; ③ 得到数学问题的答案; ④ 得到实际问题的答案. A C M N ①在测点A安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α; E ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l; ③量出测倾器的高度AC=a,可求出 MN=ME+EN=l · tanα+a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤: 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢? ①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α; A C B D M N Eα ②在测点A与物体之间的B处安置测倾器,测得此时M的仰角 ∠MDE=β; β ③量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离 AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度. ,tan tan ME ME b MN ME a 考点一 求三角函数的值 考点讲练 例1 在△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则tanB 的值为 ( ) A. B. C. D. 4 5 4 3 3 4 3 5 4 5 解析:根据sinA= ,可设三角形的两边长分别为 4k,5k,则第三边长为3k,所以tanB= 4 5 3 3.4 4 k k B 方法总结:求三角函数值方法较多,解法灵活,在 具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法, 常用的方法主要有:(1)根据特殊角的三角函数值求 值;(2)直接运用三角函数的定义求值;(3)借助边的 数量关系求值;(4)借助等角求值;(5)根据三角函数 关系求值;(6)构造直角三角形求值. 1. 在△ABC中, ∠A、 ∠B都是锐角,且sinA=cosB , 那么△ABC一定是______三角形. 直角 2. 如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B, C都在格点上,则∠ABC的正切值是____.1 2 针对训练 例2 矩形ABCD中AB=10,BC=8,E为AD边上一点, 沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上,求 tan∠AFE. 分析:根据题意,结合折叠的性 质,易得∠AFE=∠BCF,进而在 Rt△BFC中,有BC=8,CF=10, 由勾股定理易得BF的长,根据三 角函数的定义,易得 tan∠BCF 的值,借助∠AFE=∠BCF,可得 tan∠AFE的值. 10 8 解:由折叠的性质可得,CF=CD, ∠EFC=∠EDC=90°. ∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°, ∴∠AFE+∠BFC=90°. ∵∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF. 在Rt△BFC中,BC=8,CF=CD=10, 由勾股定理易得BF=6. ∴tan∠BCF = . 3 4 ∴tan∠AFE=tan∠BCF= .3 4 10 8 针对训练 解:∵在直角△ABD中,tan∠BAD = ∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9, ∴CD=BC-BD=14-9=5, ∴ ∴sinC = 如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC= 14, AD=12,tan∠BAD= ,求sinC的值. 3 4 3 4 BD AD , 2 2 2 212 5 13AC AD CD , 3 4 12.13 AD AC 考点二 特殊角的三角函数值 例3 计算: 03 2tan 60 .33 解:原式= 3 3 1 2 3 1. (1) tan30°+cos45°+tan60°; (2) tan30°· tan60°+ cos230°. 计算: 3 333 4 7 .4 3 2 33 2 4 3 2 .3 2 解:原式 解:原式 针对训练 考点三 解直角三角形 例4 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上, BD=4,AD=BC,cos∠ADC = ,求: (1) DC的长; 5 3 分析:题中给出了两个直角三角 形,DC和sinB可分别在 Rt△ACD和Rt△ABC中求得,由 AD=BC,图中CD=BC-BD, 由此可列方程求出CD. A B CD 又 BC-CD=BD, 解得x =6,∴CD=6. A B CD 解:设CD=x,在Rt△ACD中,cos∠ADC = ,3 53 5 5 3 x AD xAD , 5 3AD BC BC x , , 5 43 x x , (2) sinB的值. A B CD 解:BC=BD+CD=4+6=10=AD, 在Rt△ACD中, 在Rt△ABC中, 2 2 2 210 6 8AC AD CD , 2 2 64 100 2 41AB AC BC , 8 4 41sin .412 41 ACB AB 方法总结:本考点主要考查已知三角形中的边与 角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程 思想与勾股定理,利用锐角三角函数进行求解. 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3. 点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°. 求△ABC的周长 (结果保留根号). 针对训练 解:在Rt△ADC中, ∴BD=2AD=4. ∴BC=BD+DC=5. 在Rt△ABC中, ∴△ABC的周长为AB+BC+AC sin = ,ACADC AD ∵ ∠ 3= = 1,tan tan 60 ACDC ADC ∴ ∠ tan = ,ACADC DC ∵ ∠ 3= = 2,sin sin 60 ACAD ADC ∴ ∠ 2 2 2 7.AB AC BC 2 7 5 2 3. 解:连接OC. ∵BC是⊙ O的切线, ∴∠OCB=90°, ∴∠OCA+∠BCA=90°. ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC, ∴∠OAC+∠BCA=90°, ∵∠BOA=90°,∴∠OAC+∠APO=90°, ∵∠APO=∠BPC,∴∠BPC=∠BCA,∴BC=BP. 例5 已知:如图,Rt△AOB中,∠O=90°,以OA 为半径作⊙ O,BC切⊙ O于点C,连接AC交OB于点P. (1) 求证:BP=BC; 解:延长AO交⊙ O于点E,连接CE,在Rt△AOP中, ∵sin∠PAO= ,设OP=x,AP=3x, ∴AO= x. ∵AO=OE,∴OE= x, ∴AE= x. ∵sin∠PAO= , ∴在Rt△ACE中 ,∴ ,解得x=3, ∴AO= x= ,即⊙ O的半径为 . (2) 若sin∠PAO= ,且PC=7,求⊙ O的半径.1 3 1 3 2 2 2 2 4 2 1 3 1 3 CE AE 3 7 2 2 34 2 x x 2 2 6 2 6 2 E 如图,AB为⊙ O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点 B的切线与AD的延长线交于点F.若cos∠C = ,DF=3, 求⊙ O的半径. 4 5 针对训练 解:连接BD. 在⊙ O中,∠C=∠A, ∵BF是⊙ O的切线,∴∠ABF=90°. 设AB=4x,则AF=5x, 由勾股定理得,BF=3x. ∵AB是⊙ O的直径,∴BD⊥AD, ∴cosA=cosC= 4.5 ∴△ABF∽△BDF, BF DF=AF BF , 3 3=5 3 x x x 即 , 5.3x 解得 ∴⊙ O的半径为 1 10AB 2 .2 3x 考点四 三角函数的应用 例6 如图,防洪大堤的横截面是梯形 ABCD,其中AD∥ BC,α=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背 水面坡角β=45°.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长 AE.(结果保留根号) 解:过点A作AF⊥BC于点F, 在Rt△ABF中, ∠ABF =∠α=60°, 则AF=AB·sin60°= (m), 在Rt△AEF中, ∠E=∠β=45°, 则 (m). 故改造后的坡长 AE 为 m. 10 3 10 6sin 45 AFAE 10 6 F 如图,某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横 断面为梯形ABCD) 急需加固,背水坡的坡角为45°, 高10米.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固 方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽 2 米,加固后背水坡EF的坡比i =1: .求加固后坝底增 加的宽度AF. (结果保留根号) 3 针对训练 A B CDE F 45° i=1: 3 A B CDE F 45° i=1: 3 GH 解:作DG⊥AB于G,EH⊥AB于G, 则GH=DE=2米,EH=DG=10米. 10= 10 3tan EHFH F i ∠ (米), 10 3 2FG FH HG (米). 又∵AG=DG=10米, ∴ (米). 故加固后坝底增加的宽度AF为 米. 10 3 2 10 10 3 8AF FG AG 10 3 8 例7 如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大 树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰 角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A 处测得大树顶端B的仰角是48°,若坡角∠FAE=30°, 求大树的高度(结果保留整数,参考数据: sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11, ≈1.73) 3 解:如图,过点 D 作DG⊥BC于G,DH⊥CE于H, 则四边形DHCG为矩形. 故DG=CH,CG=DH,DG∥HC, ∴∠DAH=∠FAE=30°, 在直角三角形AHD中, ∵∠DAH=30°,AD=6, ∴DH=3,AH= , ∴CG=3, 设BC为x, 在直角三角形ABC中, 3 3 tan 1.11 BC xAC BAC ,∠ G H 在Rt△BDG中,∵ BG=DG · tan30°, 解得:x ≈13, ∴大树的高度为:13米. 3 3 31.11 xDG BG x , ,∴ 33 3 3 1.11 3 xx ∴ G H 针对训练 如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选 择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A、C 之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上).用测角 仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40m. (1) 求点B到AD的距离; 答案:点B到AD的距离为20m. C (2) 求塔高CD(结果用根号表示). C 解:在Rt△ABE中, ∵∠A=30°,∴∠ABE=60°, ∵∠DBC=75°,∴∠EBD=180°-60°-75°=45°, ∴DE=EB=20m, 则AD=AE+EB= (m), 在Rt△ADC中,∠A=30°, 答:塔高CD为 m. 20 3 20 10 10 32 ADDC ∴ (m). 10 10 3 例8 如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙 位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°,轮船 甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行 驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h,经过0.1h, 轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得 ∠DBO=58°,此时B处距离码头O多远?(参考数据: sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60) 解:设B处距离码头O x km, 在Rt△CAO中,∠CAO=45°, ∵tan∠CAO=CO/AO , ∴CO=AO · tan∠CAO=(45×0.1+x)· tan45°=4.5+x, 在Rt△DBO中,∠DBO=58°, ∵tan∠DBO=DO/BO , ∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°, ∵DC=DO-CO, ∴36×0.1=x · tan58°-(4.5+x), 因此,B处距离码头O大约13.5km. 36 0.1 4.5 36 0.1 4.5 13.5.58 1 1.60 1x ∴ 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救 生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B 处有人发出求救信号.他立即沿AB方向径直前往救援,同时 通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直 向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海 岸线上的D处,再向B处游去.若CD= 40米,B在C的北偏东35°方向,甲、乙 的游泳速度都是 2 米/秒,则谁先到达 B 处?请说明理由 (参考数据:sin55°≈0.82, cos55°≈0.57,tan55°≈1.43). 针对训练 分析: 在Rt△CDB中,利用三角函数即可求得BC, BD的长,则可求得甲、乙所用的时间,比较二者之 间的大小即可. 解:由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°. ∴BD=CD · tan∠BCD=40×tan55°≈57.2(米). BC=CD · cos∠BCD=40×cos55°≈70.2(米). ∴t甲≈57.22÷2+10=38.6(秒), t乙≈70.22÷2=35.1(秒). ∴t甲>t乙. 答:乙先到达B处. 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 课堂小结 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题查看更多