辽宁省大连市第二十四中学2020届高三数学（文）6月最后一模试卷（Word版附答案）

辽宁省大连市第二十四中学2020届高三数学（文）6月最后一模试卷（Word版附答案）

2020 届大连市第二十四中学高三最后一次 文科数学 命题人 校对人：大连市第二十四中学高三备课组 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴 区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．若集合 ，则满足 的集合 可以是（ ） A． B． C． D． 2.设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A． B． C． D． 3.等差数列 ， ， ， 的第四项等于（ ） A． B． C． D． 4.2019 年 10 月 1 日上午，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅 兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很 抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、 乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的； ②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的 是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A．国防大学，研究生 B．国防大学，博士 C．军事科学院，学士 D．国防科技大学，研究生 { }| 1A x x= ≤ A B A= B { }| 0x x ≤ { }2|x x ≤ { }| 0x x ≥ { }| 2x x ≥ =1iz − 2 2+1 1( )x y+ = 2 2( 1) 1x y− + = 22 ( 1) 1yx + − = 22 ( +1) 1yx + = x 3 3x + 6 6x + ⋅⋅⋅ 0 9 12 18 5.下列说法正确的是（ ） A． ，“ ”是“ ”的必要不充分条件 B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件 C．命题“ ，使得 ”的否定是：“ ， ” D．命题 “ ， ”，则 是真命题 6．已知平面向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ） A． B． C． D． 7.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如 图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 8． 为两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A . 若 , , ,则 B．若 , , ,则 C．若 ,则 D．若 ,则 9.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”。已知 是一对“优 美曲线”的焦点， 是它们在第一象限的交点，当时 时，这一对“优美曲线”中双曲 线的离心率是 （ ） A．2 B． C． D． 10.已知 ，若对于 且 都 ，则 的取值 a R∈ 1 1a < 1a > p q∧ p q∨ x R∃ ∈ 2 2 3 0x x+ − < x R∀ ∈ 2 2 3 0x x+ − > :p x R∀ ∈ sin cos 2x x+ ≤ p¬ (3,0)=a 2 (1,2 3)+ =a b a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 6.25% 7.5% 10.25% 31.25% nm, ,α β α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ //α β m α⊂ n β⊂ //m n βα ⊂⊂⊥ nmnm ,, βα ⊥ βα ⊥⊥⊥ nmnm ,, βα ⊥ 1 2,F F M 1 2 3F MF π∠ = 2 3 3 2 3 2ln2)( xxaxf += ),0(, 21 +∞∈∀ xx 21 xx ≠ 4)()( 21 21 >− − xx xfxf a 范围是（ ） A . B． C． D． 11.在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 12.定义在 上的函数 满足下列两个条 件：（1）对任意的 恒有 成 立；（2）当 时， ．记函数 ，若函数 恰有两个零点， 则实数 的取值范围是（ ） A. B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设 且 f(2)＝4，则 f(－2)＝________． 14.若点 在直线 上，则 的值等于________ 15. 已知数列 为等比数列，首项 ，数列 满足 ，且 ，则 16.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、 上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 2 的正方形，高为 4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则 这个几何体有______个面，其体积为______． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 (1)求角 B 的大小； ),1( +∞ [ )+∞,1 )1,0( ( ]1,0 BA, x y AB C 033 =−+ yx C π 5 4 π 9 10 π 4 3 π 40 9 ),1( +∞ )(xf ),1( +∞∈x )(2)2( xfxf = ( ]2,1∈x xxf −= 2)( ( )g x = ( ) ( 1)f x k x− − )(xg k [ )1,2     2,3 4      2,3 4      2,3 4    <+ ≥= 0),(log 0,)( 22 2 xax xaxf x (cos ,sin )P α α 2y x= cos(2 )2 πα + }{ na 41 =a { }nb nn ab 2log= 12321 =++ bbb 4a C c B b BC a cossinsincos += (2)若 b＝ 2，求△ABC 的面积的最大值． 18. （本小题满分 12 分） 如图，已知平面多边形 PABCD 中，AP＝PD，AD＝2DC＝2CB＝4，AD∥BC，AP⊥PD， AD⊥DC，E 为 PD 的中点，现将三角形 APD 沿 AD 折起，使 PC＝2 2. (1)证明：CE∥平面 PAB； (2)求三棱锥 P­BCE 的体积． 19(本小题满分 12 分) 某高校在 2019 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得 到如下的频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 [145，155) 5 0.05 第二组 [155，165) 35 0.35 第三组 [165，175) 30 a 第四组 [175，185) b c 第五组 [185，195) 10 0.1 (1)请写出频率分布表中 a，b，c 的值，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，请估计 全体考生的平均成绩； (2)为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名考生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮的面试； (3)在(2)的 前提下，学校要求每个学生需从 A、B 两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组 和第五组中恰好有 2 个学生选到问题 B 的概率． 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝xln x－1，g(x)＝(k－1)x－k(k∈R)． (1)若直线 y＝g(x)是曲线 y＝f(x)的一条切线，求 k 的值； (2)当 x>1 时，直线 y＝g(x)与曲线 y＝f(x)＋1 无交点，求整数 k 的最大值． 21. (本小题满分 12 分) 已知动直线 与椭圆 C: 交于 ， 两个不同点，且 的面积 = ,其中 为坐标原点. （Ⅰ）证明 和 均为定值; （Ⅱ）设线段 的中点为 ，求 的最大值； （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分． 22．(本小题满分 10 分) 已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 和直线 的普通方程； （2）若直线 交曲线 于 两点，交 轴于点 ，求 的值. 23．(本小题满分 10 分) 已知函数 . （Ⅰ）当 ，求 的取值范围； （Ⅱ）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围. l 146 22 =+ yx ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y OPQ∆ OPQS∆ 6 O 2 2 1 2x x+ 2 2 1 2y y+ PQ M OM PQ⋅ xoy C 2 2 2 1 1 1 tx t ty t  += −  = − t O x l 5cos( )3 4 πρ θ + = C l l C ,A B x P 1 1 PA PB + ( ) ,f x x x a a R= − ∈ ( ) ( )1 1 1f f+ − > a 0a > ( ], ,x y a∀ ∈ −∞ ( ) 5 4f x y y a≤ + + − a 高三最后一次 文科数学答案 一．选择题： BCBCA CADDB DD 一． 填空题： 13. 3 14. 15.256 16. 20， 三.解答题： 17.(1)利用正弦定理，得 sin A cos Csin B＝cos C＋sin C cos C ，即sin（B＋C） sin B ＝cos C＋sin C， 则 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Bsin C，又 sin C≠0， 所以 tan B＝1，又 0＜B＜π，∴B＝π 4. ………………………6 分 (2)△ABC 的面积 S＝1 2acsin B＝ 2 4 ac， 所以当 ac 最大时，S 最大． 由已知及余弦定理，得 2＝a2＋c2－2accosπ 4＝a2＋c2－ 2ac≥2ac－ 2ac， 所以 ac≤ 2 2－ 2 ＝2＋ 2，当且仅当 a＝c 时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 2 4 ×(2＋ 2)＝ 2＋1 2 . ………………………12 分 18.解：(1)证明：如图，取 PA 的中点 H，连接 HE，HB， ∵E 为 PD 的中点，∴HE 为△PAD 的中位线， ∴HE 綊 1 2AD， 又 BC 綊 1 2AD，∴HE 綊 BC， ∴四边形 BCEH 为平行四边形，∴CE∥BH， ∵BH⊂平面 ABP，CE⊄平面 ABP， ∴CE∥平面 ABP. ………………………5 分 4 5 − (2)由题意知△PAD 为等腰直角三角形，四 边形 ABCD 为直角梯形， 取 AD 的中点 F，连接 BF，PF，∵AD＝2BC＝4，∴PF＝BF＝2， ∵PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，∴DF⊥平面 PBF， ∴BC⊥平面 PBF，∵PB⊂平面 PBF，∴BC⊥PB. ∵在直角三角形 PBC 中，PC＝2 2，BC＝2，∴PB＝2， ∴△PBF 为等边三角形． 取 BF 的中点 O，连接 PO，则 PO⊥BF，由 DF ⊥平面 PBF 知 PO⊥DF，又 DF∩BF＝F， ∴PO⊥平面 ABCD，PO＝ 3， ∵E 为 PD 的中点， ∴E 到平面 PBC 的距离等于 D 到平面 PBC 的距离的一半， 连 接 BD ， 则 VP － BC E ＝ VE － PBC ＝ 1 2VD － PBC ＝ 1 2VP － BCD ＝ 1 2×1 3·S △ BCD · PO ＝ 1 2×1 3×1 2×2×2× 3＝ 3 3 . ………………………12 分 19 解：解：(1)由题意知，a＝0.3，b＝20，c＝0.2. x － ＝150×0.05＋160×0.35＋170×0.3＋180×0.2＋ 190×0.1＝169.5. ………………………4 分 (2)第 3、4、5 组共 60 名学生，现抽取 6 名，因此第 3 组抽取的人数为30 60×6＝3 人，第 4 组抽取的人 数为20 60×6＝2 人，第 5 组抽取的人数为10 60×6＝1 人．………………………7 分 (3)所有的基本事件如下：(A，A，A，A)，(A，A，A，B)，(A，A，B，A)，(A，B，A，A)，(B， A，A，A)，(A，A，B，B)，(A，B，A，B)，(B，A，A，B)，(A，B，B，A)，(B，A，B，A)，(B， B，A，A)，(B，B，B，A)，(B，B，A，B)，(B，A，B，B)，(A，B，B，B)，(B，B，B，B)，所以， 基本事件总数为 16 种． 第三组和第五组中恰好有 2 个学生选到问题 B 的基本事件如下：(A，A，B，B)，(A，B，A，B)， (B，A，A，B)，(A，B，B，A)，(B，A，B，A)，(B，B，A，A)，共包含 6 个基本事件． 故第三组和第五组中恰好有 2 个学生选到问题 B 的概率 P＝ 6 16＝3 8. ………………………12 分 20.解（1）由题意知 f′(x)＝ln x＋1，设切点为 P(x0，x0ln x0－1)， 在点 P 处的切线方程为 y－(x0ln x0－1)＝(1＋ln x0)(x－x0)． 整理得 y＝(1＋ln x0)x－(x0＋1)． 由{1＋ln x0＝k－1， k＝x0＋1 ⇒{ln x0＝k－2， x0＝k－1 ⇒ln x0＝x0－1. 令 h(x)＝ln x－x＋1，h′(x)＝1 x－1＝1－x x . 当 00，h(x)在(0，1)上单调递增；当 x>1，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以 h(x)的最大值为 h(1)＝0，即 x0＝1，故 k＝2. ………………………5 分 (2)令 F(x)＝xln x－(k－1)x＋k，F′(x)＝ln x＋2－k＝ln x－(k－2)．(x>1) ①当 k－2≤0 时，F′(x)>0，所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以 F(x)>F(1)＝1，即 F(x)在(1，＋∞)上无零点． ②当 k－2>0 时，由 F′(x)＝0，得 x＝ek－2. 当 1ek－2，F′(x)>0，所以 F(x)在(ek－2，＋∞)上单调递增． F(x)的最小值为 F(ek－2)＝(k－1)ek－2－k(ek－2－1)＝k－ek－2. 令 m(k)＝k－ek－2，则 m′(k)＝1－ek－2<0， 所以 m(k)在(2，＋∞)上单调递减， 而 m(2)＝2－1＝1，m(3)＝3－e>0，m(4)＝4－e2<0，因此 k 的最大值为 3. ………………………12 分 21 解（Ⅰ）（1）当直线 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 轴对称，所以 ∵ 在椭圆上，∴ ①又∵ = ，∴ ② 由①②得 ， ．此时 ； （2）当直线 的斜率存在时，是直线 的方程为 ，将其代入 得 ,即 ， 又 ， ， l x 1 2 1 2x x y y= = −， ， 1 1P x y（ ， ） 146 22 =+ yx OPQS∆ 6 611 =yx 31 =x 21 =y ,62 2 2 1 =+ xx 42 2 2 1 =+ yy l l 0y kx m m= + ≠，（ ） 146 22 =+ yx ( ) ( )( ) 04231236,0)4(3623 2222222 >−+−=∆=−+++ mkmkmkmxxk 22 46 mk >+ 1 2 2 6 3 2 kmx x k + = − + 23 )4(3 2 2 21 + −=• k mxx ∴ ∵点 O 到直线 的距离为 ， ∴ ， 又 = ， 整理得 ， 此时 ， 综上所述 结论成立．··············6 分 （Ⅱ）（1）当直线 的斜率不存在时，由（Ⅰ）知 ， ，因此 ． （2）当直线 的斜率存在时，由（Ⅰ）知 所以 ．当且仅当 ，即 时，等号成立． 综合（1）（2）得 的最大值为 5；················12 分 22．（1）曲线 的参数方程为 （t 为参数）， 转化为直角坐标方程为 . 直线 的极坐标方程 . ( ) 23 4662141 2 22 2 21 2 21 2 + −++=−++= k mkkxxxxkPQ l 2 | | 1 md k = + 23 466 123 466212 1 2 22 22 22 2 + −+= + ⋅+ −++=∆ k mmk k m k mkkS OPQ OPQS∆ 6 22 23 mk =+ 2 2 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x+ = + −（ ） 2 2 6=( ) 23 2 km k − −+ 662436 23 )4(3 2 2 2 2 =−+=+ − m k k m 4)6(3 2)6(3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 =−+−=+ xxyy ,62 2 2 1 =+ xx 42 2 2 1 =+ yy l 31 == xOM 222 1 == yPQ 62== PQOM l mmxxkyy m kxx 2 22,3 2 212121 =++=+−=+ 222 2 2212212 2349)2()2( mmm kyyxxOM −=+=+++= )11(824 3 1 )23( )46(24)1( 22 2 22 22 22 mm m k mkkPQ +=⋅+=+ −++= 25)2223()22)(23(4 2 2222 22 =++−≤+−= mmmmPQOM OM PQ⋅ 5≤ 22 2223 mm +=− 2±=m | OM | | PQ |⋅ C 2 2 2 1 1 1 tx t ty t  += −  = − 2 24 1( 1)x y x− = ≠ − l 5 1 3 5cos( ) cos sin3 4 2 2 4 πρ θ ρ θ ρ θ+ = ⇒ − = 转化为普通方程为： .·····5 分 （2）由于直线与 轴的交点坐标为（ ）， 所以直线的参数方程为 （ 为参数）， 代入 得到： ， 所以： ， ， 则： 8.………………………10 分 23．（Ⅰ） ， 若 ，则 ，得 ，即 时恒成立； 若 ，则 ，得 ，即 ； 若 ，则 ，得 ，此时不等式无解. 综上所述， 的取值范围是 .………………………5 分 （Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立， 只需 . 当 时， ， . 因为 ， 所以当 时， . 于是 ，解得 . 结合 ，所以 的取值范围是 .………………………10 分 02 53x y− − = x 5 02 ， 5 3 2 2 1 2 x t y t  = +  = t 2 24 1x y− = 2 2 15 1 0t t− − = 1 2 2 15t t+ = 1 2 1t t⋅ = − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 41 1 t t t t t t PA PB t t t t − + −+ = = = ( ) ( )1 1 1 1 1f f a a+ − = − − + > 1a ≤ − 1 1 1a a− + + > 2 1> 1a ≤ − 1 1a− < < ( )1 1 1a a− − + > 1 2a < − 11 2a− < < − 1a ≥ ( ) ( )1 1 1a a− − − + > 2 1− > a 1, 2  −∞ −   ( ) max min 5 4f x y y a    ≤ + + −     ( ],x a∈ −∞ ( ) 2f x x ax= − + ( ) 2 max 2 4 a af x f    = =     5 5 4 4y y a a+ + − ≥ + 5 ,4y a ∈ −   min 5 5 4 4y y a a  + + − = +   5 4a= + 2 5 4 4 a a≤ + 1 5a− ≤ ≤ 0a > a ( ]0,5