高考数学考点35 直线的位置关系

高考数学考点35 直线的位置关系

1 （1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. （3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 一、两条直线的位置关系 斜截式 一般式 与 相交 与 垂直 与 平行 且 或 与 重合 且 注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要 忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 二、两条直线的交点 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 与 的交点坐标就是方程组 的解． （1）方程组有唯一解 与 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解 ； （3）方程组有无数解 与 重合． 三、距离问题 （1）平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝ ． （2）点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ ． （3）两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离 d＝ ． 四、对称问题  1 1 1 2 2 2 : : l y k x b l y k x b      1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 l A x B y C l A x B y C       1l 2l 1 2k k 1 2 2 1 0A B A B  1l 2l 1 2 1k k   1 2 1 2 0A A B B  1l 2l 1 2k k 1 2b b 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 A B A B B C B C      1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 A B A B AC A C      1l 2l 1 2k k 1 2b b 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0A B A B AC A C B C B C      1l 2l 1 1 1 2 2 2 0 0 A x B y C A x B y C         1l 2l  1l ∥ 2l  1l 2l 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y   0 0 2 2 | |Ax By C A B    1 2 2 2 | |C C A B   2 （1）中心对称：点 为点 与 的中点，中点坐标公式为 ． （2）轴对称：若点 关于直线 l 的对称点为 ，则 ． 考向一 两直线平行与垂直的判断及应用 由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率 不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或 漏解. 典例 1 若直线 与直线 平行，则 的值为 A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】直线 化为 ，因为 与直线 平行， ，解得 ，故选 B. 【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直 接根据两直线平行的充要条件，列出关于 的方程求解即可. 1．“ ”是“直线 和直线 垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向二 两直线的相交问题 1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. ( , )B x y 1 1( , )A x y 2 2( , )C x y 1 2 1 2 2 2 x xx y yy     P P' PP' l P P' l    直线 与 的中点在 上 2 1y x  3 0x my   m 1 2 1 2 2 2 1y x  2 1 0x y   2 1 0x y   3 0x my   1 3 2 1 1 m    1 2m   m 1a   2 1 1 0a x ay    3 3 0ax y   3 2．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助 直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程. 典例 2 已知直线 l 经过直线 2x-y-3=0 和 4x-3y-5=0 的交点 P,且垂直于直线 2x+3y+5=0,求直线 l 的方程. 【答案】直线 l 的方程为 3x-2y-4=0. #网 因为直线 l 与直线 2x+3y+5=0 垂直,所以 ·(- )=-1,解得 λ=1. 故直线 l 的方程为 3x-2y-4=0. 2．已知直线 和直线 相交于点 P(2,3)，则经过点 P1(a1，b1)和 P2(a2，b2)的直 线方程是________. 考向三 距离问题 1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般 考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在. 3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解. 也可以转化成点到直线的距离问题. 典例 3 （1）若点 A(2，3)，B(－4，5)到直线 l 的距离相等，且直线 l 过点 P(－1,2)，则直线 l 的方程为_________； （2）若直线 m 被两直线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 所截得的线段的长为 ，则直线 m 的倾斜角 θ(θ 2 4 1 3     2 3 1 1 1: 1＋ ＝l a x b y 2 2 2: 1＋ ＝l a x b y 2 2 4 为锐角)为_________． 【答案】（1）x＋3y－5＝0 或 x＝－1；（2）15°或 75° 学@ 3．若动点 分别在直线 上移动，则 的中点 到 原点的距离的最小值是 A． B． C． D．    1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y 1 2: 5 0, : 15 0l x y l x y      1 2PP P 5 2 15 2 2 15 2 5 2 2 5 考向四 对称问题 解决对称问题要抓住以下两点： （1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． 典例 4 已知直线 l:3x-y+3=0,求: （1）点 P(4,5)关于直线 l 的对称点的坐标; （2）直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0. 【解析】设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P'(x',y'). ∵kPP'·kl=−1, 4．光线通过点 ，在直线 上反射，反射光线经过点 . （1）求点 关于直线 对称点的坐标； 学@ （2）求反射光线所在直线的一般式方程． 考向五 直线过定点问题 求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法： （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含 参数直线所过的定点，从而问题得解.  2,3A : 1 0l x y    1,1B  2,3A l 6 （2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的 项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点. 典例 5 求证：不论 m 取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0 都经过一个定点，并求出这个定 点的坐标． 【答案】详见解析. 5．已知点 ，点 ，直线 l： （其中 ）． （1）求直线 l 所经过的定点 P 的坐标； （2）若分别过 A，B 且斜率为 的两条平行直线截直线 l 所得线段的长为 ，求直线 的方程． 1．过两直线 3x＋y−1=0 与 x＋2y−7=0 的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0 C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=0 2．已知 为实数,直线 , ,则“ ”是“ ”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x+2y-3=0 垂直,则 cos( -2α)的值为 A． B．-  2 0A ，  2 0B  ，    3 1 4 0x y        R 3 4 3 l m 1 : 1 0l mx y    2 : 3 2 2 0l m x my    1m  1 2l l∥ 7 C．2 D．- 4．若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则两直线间的距离为 A．2 B．2 C． D． 5．直线 与直线 垂直，垂足为 ，则 A． B． C． D． 6．若点 到直线 的距离为 ，则 A． B． C． D． 7．设两条直线的方程分别为 ， ，已知 a，b 是方程 的两个实根， 且 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 A． ， B． ， C． ， D． ， 8．设直线 与直线 的交点为 ， 分别为 上任意两点，点 为 的中点，若 ，则 的值为 A． B． C． D． 9．已知三条直线 ， ， 不能构成三角形，则实数 的取值集合 为 A． B． C． D． 4 2 0ax y   2 5 0x y b    1,c a b c   2 4 6 8 10 2 （ ，） : 3 0 0l x y m m   （ ） 10 m  7 17 2 14 17 0x y a   0x y b   2 0x x c   10 8c  2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 4 1 : 2 1 0l x y   2 : 3 0l mx y   A ,P Q 1 2,l l M ,P Q 1 2AM PQ m 2 2 3 3 2 3 1 0x y   4 3 5 0x y   1 0mx y   m 4 2,3 3     4 2,3 3     4 2 4, ,3 3 3     4 2 2, ,3 3 3      8 10．已知点 P(m,n)到点 A(0,4)和 B(-8,0)的距离相等,则( )m+( )n 的最小值为 A．-3 B．3 C．16 D．4 11．若直线 与直线 互相垂直，则实数 . 12．若直线 与直线 关于直线 对称，则直线 恒过定点________． 13．若直线 与直线 的倾斜角相等，则实数 . 14．已知 ， ，若直线 与直线 互相垂直，则 的最大值是 __________． 15．若直线 与直线 之间的距离是 ，则 _________. 16．设 是函数 图象上的动点，当点 到直线 的距离最小时， _________. 17．一条光线从 )发出，到 轴上的 点后，经 轴反射通过点 ，则反射光线所在直线的 斜率为________． 18．已知 l1,l2 是分别经过 A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当 l1,l2 之间的距离最大时,直线 l1 的方程是 . 19．已知直线 与 相交于点 （1）求交点 的坐标； （2）设直线 ，分别求过点 且与直线 平行和垂直的直线方程. 20．已知直线 . （1）若 ，求实数 的值； 1 : 2l y kx k   2l 1y x  2l 1 : 1 0l ax y   2 : 2 2 1 0l x y   a  0a  0b   1 2 1 0a x y    0x by  ab 1 : 2 0( 0)l x y m m    2 : 3 0l x ny   5 m n   2,P n n 2y x P 1y x  n   3,2A x M x  1,6B  9 （2）当 时，求直线 与 之间的距离. 21．已知 的三个顶点为 、 、 . （1）求过点 A 且平行于 BC 的直线方程； （2）求过点 B 且与 A、C 距离相等的直线方程. 22．已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y-b=0. （1）若 l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1),求实数 a,b 的值. （2）是否存在实数 a,b,使得 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由. 23．已知两条直线 l1:(a-1)x-2y+b=0,l2:ax+(b-4)y+3=0,其中 a>0.若 l1⊥l2,且 l1 过点(1,3). （1）求 l1,l2 的方程; ABC△  4,0A  8,10B  0,6C 10 （2）若光线沿直线 l1 射入,遇到直线 x=0 后反射,求反射光线所在的直线方程. 24．已知三条直线 l1:2x−y+a=0(a>0)，直线 l2:4x−2y−1=0 和直线 l3:x+y−1=0，且 l1 和 l2 的距离是 . （1）求 a 的值. （2）能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点； ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 ； ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 ? 若能，求出 P 点坐标；若不能，请说明理由. 7 5 10 1 2 2 : 5 11 【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位 置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特 殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2） ，这类问题尽管简单 却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【答案】2x＋3y＝1 ￥网 【解析】因为 P(2,3)在直线 l1 和 l2 上，所以 ，则点 和 的坐标是方程 2x＋3y＝1 的解，所以经过点 和 的直线方程是 2x＋3y＝1. 3．【答案】A 【解析】因为 ,所以 的中点 的轨迹为直线： ，即 ， 因此 到原点的距离的最小值是 ，故选 A. 4．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设点 关于直线 l 的对称点为 ，则 ， 解得 ，即点 关于直线 l 的对称点为 ． （2）由于反射光线所在直线经过点 和 ， 所以反射光线所在直线的方程为 即 . 5．【答案】（1）直线 l 过定点 ；（2） 或 ． 1 2 1 2l l k k ∥ 1 2 1 2 1l l k k     1 1 2 2 2 3 1 2 3 1 a b a b      1 1 1( )，P a b 2 2 2( )，P a b 1 1 1( )，P a b 2 2 2( )，P a b 1 2l l∥ 1 2PP P 15 5 02x y    10 0x y   P | 10| =5 2 2   4, 3  4 5 1 0x y    2 3A ，  0 0 0,A x y 0 0 0 0 3 12 2 3 1 02 2 y x x y         0 04, 3x y     2 3A ，  0 4, 3A    0 4, 3A    1,1B  41 15y x   4 5 1 0x y    1,3 1x  3 3 33 3y x   12 则所求直线为 或 ． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直 线的位置关系，属于中档题. （1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于 的表达式，令系数与常数分别为 0 即可求得过定点 的坐标. （2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程. 1．【答案】B 【解析】由 ，得 ，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂 直，∴所求直线的斜率为 .∴由点斜式方程得所求直线方程是 y−4= (x＋1)，即 x−3y＋13=0. 2．【答案】A 1x  3 3 33 3y x    3 1 0 2 7 0 x y x y        1 4 x y     1 3 1 3 13 【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力. #网 （2）本题也可以利用下面的结论解答，直线 和直线 平行，则 且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 3．【答案】B 【解析】由题意可知 tan α=2,所以 cos( -2α)=cos(1 008π+ -2α)=-sin 2α=- =- =- . 4．【答案】C 【解析】由 l1∥l2 知, ≠ ,解得 a=-1,所以 l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0,两条平行直线 l1 与 l2 间的距离 d= .故选 C. 5．【答案】B 【解析】∵直线 与直线 垂直，∴ ，∴ ， ∴直线 即为 ． 将点 的坐标代入上式可得 ，解得 ． 将点 的坐标代入方程 得 ，解得 ． ∴ ． 故选 B． 【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵 1 1 1 0a x b y c   2 2 2 0a x b y c   1 2 2 1 0a b a b  4 2 0ax y   2 5 0x y b   2 14 5 a    10a  4 2 0ax y   5 2 1 0x y    1,c 5 2 1 0c   2c    1, 2 2 5 0x y b    2 5 2 0b     12b   10 12 2 4a b c       14 活运用所学知识解题，即明确点 是两直线的交点．根据两直线垂直可得 ，然后将点 的坐标 代入直线 可得 ，同理可得 ，于是可得 的值． 6．【答案】B 【解析】由题意得 .故选 B. 7．【答案】A 【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意 之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 8．【答案】A 【解析】根据题意画出图形，如图所示： 直线 与直线 的交点为 ， 为 的中点， 若 ，则 即 解得 ． 学@ 故选 A． 9．【答案】D  1,c a  1,c 4 2 0ax y   c b a b c  2 13 3 172 10, 10, 0,2 23 1 m m m m             a b c， ， 1 2 1 0l x y  ： 2 3 0l mx y  ： A M PQ 1 2AM PQ PA QA ， 1 2 1 2 1 0l l m      ， （ ） ， 2m  15 10．【答案】C 【解析】因为点 P(m,n)到点 A(0,4)和 B(-8,0)的距离相等,所以 = ,即 2m+n=-6,又( )m>0,( )n>0,所以( )m+( )n≥2 = 2 =2 =16,当且仅当 ,即 2m=n=-3 时取等号. 11．【答案】 【解析】由题得， ,解得 .故答案为 . 12．【答案】 【解析】 直线 经过定点 ，点 关于直线 对称的点为 ，∴点 在直线 上，即直线 恒过定点 ，故答案为 . 13．【答案】1 【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有： ，求解关于实数 的方程可得： . 14．【答案】 【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，  3,0  1 : 2l y kx k    1 2，  1 2， 1y x   3 0，  3 0， 2l 2l  3 0，  3 0， 1 2 2 a   a 1a  1 8 16 注意凑项，方便使用基本不等式. 15．【答案】0 【解析】 直线 与直线 之间的距离是 ， ，解得 ， （负值舍去），则 . 故答案为 . 【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较 为基础. 16．【答案】 【解析】 是函数 图象上的动点，则点 到直线 的距离为 ∴当 时， 取得最小值． 故答案为 ． 【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得 的关 系式，从而求得距离最小时 n 的值． 17．【答案】−2 【解析】如图所示： 【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题 一般要转化为求对称点的问题，判断点 在直线 上，是解题的关键. @网 18．【答案】2x-y-3=0  1 : 2 0( 0)l x y m m    2 : 3 0l x ny   5 2 3 5 5 n m      2n   2m  2 2 0m n    0 1 2  2,P n n 2y x P 1y x  2 2 1 2 4 2 5 1 2 nn n d         ， 1 2n  d 1 2 n A MB 17 【解析】由平面几何知识,得当 l1⊥AB 时,l1,l2 之间的距离最大.∵A(2,1),B(0,2),∴kAB=- , =2. 则直线 l1 的方程是 y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0. 19．【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】（1）由 ，得 ， . （2）与 平行直线方程 ，即 . 与 垂直的直线方程 ，即 . 20．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 知 ，解得 . （2）当 时，有 ,解得 ， ，即 ， 所求距离为 = . 【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意： （1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值； （2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 21．【答案】（1） ；（2） 或 . 1 2l l∥ 2 4 0x y   7 6 4 0x y   3 2 44 0x y   18 【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属 于中档题． 22．【答案】（1）a=2,b=2；（2）不存在. 【解析】（1）由已知可得 l2 的斜率存在,为 k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2, ∴直线 l1 的斜率必不存在,即 b=0. 又 l1 过点(-3,-1), ∴-3a+4=0,即 a= (矛盾). ∴此种情况不存在, 19 ∴不存在满足条件的实数 a,b，使得 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 23．【答案】（1）l1,l2 的方程分别为 l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0. 学@ 【解析】（1）∵l1 过点(1,3), ∴(a-1)-6+b=0.　① 由 l1⊥l2,得(a-1)a-2(b-4)=0.　② 联立①②,得 a2+a-6=0⇒a=2 或 a=-3(舍去), ∴a=2,b=5. ∴l1,l2 的方程分别为 l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0. （2）由 ,解得入射点 A(0, ). 取直线 x-2y+5=0 上一点 B(-5,0),点 B 关于直线 x=0 的对称点 B1(5,0)必在反射线上, 所以直线 AB1 的方程即为所求的反射光线所在的直线方程, 由 y-0= (x-5),整理得 x+2y-5=0. 即反射光线所在的直线方程为 x+2y-5=0. 20 24．【答案】（1）3；（2）P( ). 学@ 【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量 比较大，注意不要算错，属于中档题. （1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得 a 的值. （2）根据点到直线的距离公式，讨论当 P 点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果 的取舍. 1 37,9 18