江苏高考数学理科试卷带详解

江苏高考数学理科试卷带详解

‎2012年江苏高考数学理科卷 一．填空题：‎ ‎1．已知集合，，则 ．‎ ‎【测量目标】集合的基本运算（并集）．‎ ‎【考查方式】集合的表示（列举法），求集合的并集．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合和集合的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是，，，．‎ ‎2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．‎ ‎【测量目标】分层抽样． ‎ ‎【考查方式】根据分层抽样的特点，用比例法求解在高二年级这一层抽取人数的多少．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：人．‎ ‎3．设，（为虚数单位），则的值为 ．‎ ‎【测量目标】复数的代数形式的四则运算．‎ ‎【考查方式】给出复数的除法形式，考查复数的四则运算．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】据题知，=，‎ ‎，从而．‎ ‎4．右图是一个算法流程图，则输出的的值是 　　．‎ 第4题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图．‎ ‎【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的的值．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】根据循环结构的流程图，当时，此时；不满足条件，继续执行循环体，当时，；不满足条件，继续执行循环，当时，；不满足条件，然后依次出现同样的结果，当时，此时，此时满足条件跳出循环，输出的值为．‎ ‎5．函数的定义域为 ．‎ ‎【测量目标】对数函数的运算，基本初等函数的定义域．‎ ‎【考查方式】通过对对数函数取值的判断，求出复合函数的定义域．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据题意，得 ，同时，＞ ，解得，解得，又＞，所以函数的定义域为． ‎ ‎6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．‎ ‎【测量目标】古典概型，等比数列的通项公式．‎ ‎【考查方式】结合等比数列通项公式，弄清基本事件数和基本事件总数，根据古典概型求解．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为．‎ ‎7．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ．‎ 第7题图 ‎ ‎【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行的性质与判定，空间几何体的体积、面积公式的运用．‎ ‎【考查方式】由面面垂直推导到线线垂直，求出四棱锥的高，继而根据四棱柱的体积公式计算体积．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】如图所示，连结交于点，因为平面，又因为，所以，平面，（步骤1）所以四棱锥的高为，（步骤2）根据题意，所以，（步骤3） ‎ 又因为，，故矩形的面积为，从而四棱锥的体积．（步骤4）‎ 第7题图 ‎ ‎8． 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为　　 ．‎ ‎【测量目标】双曲线的定义及其相关性质．‎ ‎【考查方式】给出双曲线的离心率，结合双曲线的方程求出．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在轴上（否则不成立），因此＞，由离心率公式得到，解得．‎ ‎9．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 ．‎ 第9题图 ‎ ‎【测量目标】向量的线性运算．‎ ‎【考查方式】考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】根据题意，‎ ‎ ‎ ‎，（步骤1）从而得到，，（步骤2）‎ 又因为，‎ ‎．（步骤3）‎ ‎10．设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中．若，则的值为 　　 ．‎ ‎【测量目标】分段函数的解析式与基本初等函数的周期性．‎ ‎【考查方式】考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用．利用函数的周期性将式子化简为然后借助于分段函数的解析式解决．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】 ，函数的周期为，‎ ‎，（步骤1）‎ 根据得到，（步骤2）‎ 又，得到，即，（步骤3）结合上面的式子解得， ．（步骤4）‎ ‎11．设为锐角，若，则的值为 　　 ．‎ ‎【测量目标】同角三角函数的基本关系式，三角函数恒等变换．‎ ‎【考查方式】给出三角函数余弦函数的值，通过三角函数两角和与差的三角函数公式、二倍角公式求出的正弦值．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据，，（步骤1）‎ ‎，，（步骤2）．（步骤3）‎ ‎12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ．‎ ‎【测量目标】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离．‎ ‎【考查方式】考查转化思想在求解参数范围中的运用，结合直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式求解参数．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据题意将此化成标准形式为，（步骤1）‎ 得到该圆的圆心为，半径为，（步骤2）‎ 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心到直线的距离即可，（步骤3）‎ ‎，化简得解得，的最大值是．（步骤4）‎ ‎13．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．‎ ‎【测量目标】二次函数根与系数的关系，其图象与不等式解集的对应关系．‎ ‎【考查方式】给出一元二次函数的值域及其不等式的解集，应用数形结合思想求出的值．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据函数，得到，又因为关于的不等式，可化为：，它的解集为，（步骤1）‎ 设函数的图象与轴的交点的横坐标分别为，则，从而，，即，（步骤2）‎ 又因为，代入得到 ．（步骤3）‎ ‎14． 已知正数满足：则的取值范围是 ．‎ ‎【测量目标】不等式的基本性质、对数运算．‎ ‎【考查方式】通过不等式的等价变形，求出的范围．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据条件，‎ ‎，．（步骤1）又， ，（步骤2）由已知，得到．（步骤3）从而，解得．（步骤4）‎ 二、解答题 ‎15． （本小题满分14分）‎ 在中，已知．‎ ‎⑴求证：；‎ ‎⑵若，求的值．‎ ‎【测量目标】向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．‎ ‎【考查方式】⑴‎ 给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而求证 ‎⑵由题求出的正切值，再结合的恒等变换求出的值．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】⑴∵，‎ ‎∴， ‎ ‎∴．（步骤1）‎ ‎∵，∴．（步骤2）‎ 又∵，∴．（步骤3）‎ ‎∴，即．（步骤4）‎ ‎⑵∵，∴．（步骤5）‎ ‎∴．∴，∴．∴．（步骤6）‎ 由⑴得，解得．（步骤7）‎ ‎∵，∴．∴．（步骤8）‎ ‎16． （本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且，为的中点．‎ 求证：⑴平面平面；‎ ‎ ⑵直线平面．‎ 第16题图 ‎ ‎【测量目标】空间点、线、面的之间 位置关系，线线、线面、面面垂直与平行的性质与判定． ‎ ‎【考查方式】⑴由线面垂直面面垂直；⑵线线平行线面平行． ‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】⑴∵是直三棱柱，‎ ‎∴平面．（步骤1）‎ 又∵平面，∴．（步骤2）‎ 又∵，，‎ ‎∴平面．（步骤3）‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面平面．（步骤4） ‎ ‎⑵∵，为的中点，∴．（步骤5）‎ 又∵平面，平面，∴．（步骤6）‎ 又∵平面 ，，∴平面．（步骤7）‎ 由⑴知，平面，∴．（步骤8）‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴直线平面．（步骤9）‎ 第16题图 ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎⑴求炮的最大射程；‎ ‎⑵设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ 第17题图 ‎ ‎【测量目标】基本不等式、函数的实际问题(函数模型及其应用)． ‎ ‎【考查方式】结合实际情况列出的方程求出炮的最大射程；将题目意思转化成代数形式求解．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】⑴令，得，由实际意义和题设条件知，‎ 故，当且仅当时取等号．‎ 所以炮的最大射程为千米．‎ ‎⑵， ‎ 炮弹可击中目标存在，使成立 关于的方程有正根 判别式 因此，当不超过(千米)时，可击中目标．‎ ‎18．(本小题满分16分）‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎⑴求和的值；‎ ‎⑵设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎⑶设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【测量目标】导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的零点问题．‎ ‎【考查方式】⑴给出函数的两个极值点，进行求导，解出a，b；‎ ‎⑵给出与的关系结合导函数求解；⑶考查复合函数的零点．‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】⑴由，得．（步骤1）‎ ‎∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎∴ ，，解得．（步骤2）‎ ‎ ⑵∵ 由⑴得， ，‎ ‎∴，（步骤3）‎ 令，解得．（步骤4）‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴是的极值点．‎ ‎ ∵当或时，，∴不是的极值点．‎ ‎∴的极值点是．（步骤5）‎ ‎⑶令，则．（步骤6）‎ ‎ 先讨论关于的方程根的情况：‎ 当时，由⑵可知，的两个不同的根为和 ，‎ 注意到是奇函数，∴的两个不同的根为和．‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴，，，都不是的根．（步骤7）‎ 由⑴知．‎ ‎① 当时，，于是是单调增函数，从而．‎ 此时在无实根．‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数．‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在内有唯一实根．‎ 同理，在内有唯一实根．‎ ‎③ 当时，，于是是单调减函数．‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在内有唯一实根．（步骤8）‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足．（步骤9）‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎(ⅰ)当时，有两个根，满足．‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点．‎ ‎(ⅱ)当时，有三个不同的根，满足．‎ 而有三个不同的根，故有9个零点．（步骤10）‎ 综上所述，当时，函数有5个零点；‎ 当时，函数有9个零点．（步骤11）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎⑴求椭圆的方程；‎ ‎⑵设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（ⅰ）若，求直线的斜率；‎ ‎（ⅱ）求证：是定值．‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程、直线的斜率．‎ ‎【考查方式】给出椭圆上的两点代入椭圆标准方程求出的值. ‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】⑴∵和都在椭圆上，‎ ‎∴，∴，∴，∴，（步骤1）‎ ‎∴椭圆方程为．（步骤2）‎ ‎⑵由⑴得，，又∵，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，（步骤3） ‎ 设．‎ ‎∴，∴， ∴．（步骤4） ‎ ‎∴．①‎ 同理，． ②（步骤5）‎ ‎（i）由①②得，．解得=2．‎ ‎∵注意到，∴．∴直线的斜率为．（步骤6）‎ ‎（ii）证明：∵，∴，即，‎ ‎∴．∴．（步骤7） ‎ 由点在椭圆上知，，‎ ‎∴．（步骤8）‎ 同理．（步骤9）‎ ‎∴‎ ‎，（步骤10）‎ 由①②得，，，（步骤11）‎ ‎∴． ∴是定值． （步骤12）‎ 第19题图 ‎ ‎20． （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，‎ ‎．‎ ‎⑴设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎⑵设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【测量目标】等差数列、等比数列的公式、性质，数列的前项和的公式、性质．‎ ‎【考查方式】给出两数列的关系式，结合数列性质进行代数变换．‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】⑴∵，∴（步骤1）‎ ‎∴．（步骤2） ‎ ‎∴ ．∴ ． ‎ ‎∴数列是以1 为公差的等差数列．（步骤3）‎ ‎⑵∵，∴．‎ ‎∴．（﹡）（步骤4）‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．‎ ‎∴综上所述，．∴，∴．（步骤5）‎ 又∵，∴是公比是的等比数列．（步骤6）‎ 若，则，于是．又由，‎ 即，得．（步骤7）‎ ‎∴中至少有两项相同，与矛盾．‎ ‎∴．∴． ∴ ．（步骤8）‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．‎ 求证：．‎ 第21A题图 ‎ ‎【测量目标】圆的性质． ‎ ‎【考查方式】给出图形，结合圆上等弧所对的圆周角相等的性质求证．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】证明：连结，，为的中点，‎ ‎，于是．（步骤1）‎ ‎，，于是．（步骤2）‎ 点都在圆上，且为圆上位于异侧的两点， ‎ 和为同弧所对的圆周角，（步骤3） ‎ 故，所以．（步骤4）‎ 第21A题图 ‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值．‎ ‎【测量目标】矩阵与行列式初步．‎ ‎【考查方式】给出矩阵的逆矩阵，应用公式求出的值，再根据求特征多项式的公式求解．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】．（步骤1）‎ ‎，，（步骤2）‎ 于是矩阵的特征多项式为，（步骤3）‎ 令，解得的特征值．（步骤4）‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎【测量目标】直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．‎ ‎【考查方式】给出极坐标下的直线，求出直线与极轴的的交点，即为圆 的圆心，结合圆上的一点求出圆的半径进而求出圆坐标．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】在中，令，得，（步骤1）‎ 圆的圆心坐标为，（步骤2）‎ 圆经过点，（步骤3） ‎ 圆的半径（步骤4）‎ 于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为．（步骤5） ‎ 第21C题图 ‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【测量目标】不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用．‎ ‎【考查方式】给出两个不等式，由问题出发根据绝对值不等式得到证明．‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】‎ 由题意知，，从而，（步骤1）‎ ‎．（步骤2）‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 设为随机变量，从棱长为的正方体的条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎⑴求概率；‎ ‎⑵求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【测量目标】离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．‎ ‎【考查方式】根据题意直接求出的概率，判断的取值求解其分布列及其期望．‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】⑴若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此．（步骤1）‎ ‎⑵若两条棱平行，则它们的距离为或，其中距离为的共有条，‎ 故，（步骤2）‎ 于是，（步骤3）‎ 所以随机变量的分布列是 （步骤4）‎ 因此．（步骤5）‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设集合，．记为同时满足下列条件的集合A的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵求的解析式（用n表示）．‎ ‎【测量目标】集合的含义、集合的基本运算（补集）和求函数的解析式．‎ ‎【考查方式】用列举法求出符合条件的集合，得到；分类讨论求出的解析式．‎ ‎【试题解析】⑴当时，符合条件的集合为：，故．（步骤1）‎ ‎⑵任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，，经过 次以后，商必为奇数，此时记商为，于是，其中为奇数，．（步骤2）‎ 有条件知，若，则为偶数；‎ 若，则为奇数．‎ 于是是否属于由是否属于确定．（步骤3）‎ 设是中所有奇数的集合，因此等于 的子集个数．（步骤4）‎ 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或）‎ 所以．（步骤5）‎