二00八年湖南省高中数学竞赛试题

二00八年湖南省高中数学竞赛试题

二00八年湖南省高中数学竞赛试题 一、选择题 ‎1、设函数，且，，则（ ）‎ A.2 B‎.1 C.0 D.‎ ‎2、已知是等比数列，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的（　　）‎ Ａ．必要而不充分条件　　　　　　　Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件 ‎4、5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5、设函数定义在上，给出下述三个命题：‎ ‎①满足条件的函数图象关于点对称；②满足条件的函数图象关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是 ‎ ‎（ ）‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎6、.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：‎ ‎①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点 ‎③的最大值为5 ④的最小值为1‎ 其中真命题为（ ）‎ A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④‎ ‎7、设，，，,则的大小关系是（　　）‎ ‎　Ａ．　　　　　　　　Ｂ．‎ ‎　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．‎ ‎8、定义集合运算: .设，，则集合的所有元素之和为（ ）‎ A.16 B‎.18 C. 20 D.22‎ 二、填空题 ‎9、已知集合，若点、点满足且 ‎，则称点优于. 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则 所有这样的点构成的集合为　　　　　　　　　　　　　　．‎ ‎10、多项式的展开式在合并同类项后，的系数为 .（用数字作答）‎ ‎11、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .‎ ‎12、将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）‎ ‎13、某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，‎ 其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .‎ ‎14、在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为 若到点、的“直角距离”相等，其中实 数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　．‎ 三、解答题 ‎15、 过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结 ‎（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；‎ ‎（2）当∥时，定点平分线段 ‎16、甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．‎ ‎17、 设实数，求证：‎ 其中等号当且仅当或成立，为正实数.‎ ‎18、 已知函数在区间上的最小值为，令，，‎ 求证：‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、选D. 解：由，令，则为奇函数且单调递增. ‎ 而,,‎ 所以,,,从而,‎ 即,故.‎ ‎2、选C. 解: 设的公比为，则，进而.‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列. ‎ ‎.‎ 显然，. ‎ ‎3、选C.‎ 解：设，，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离. 当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，，即.‎ ‎4、 选D. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.‎ ‎5、选D. 解：用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故①是真命题.用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.‎ ‎6、 选Ａ 解：假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．‎ ‎7、 选B 解：因为，所以，‎ ‎；；‎ ‎；．‎ 又，故故选B.‎ ‎8、 选A. 解：集合的元素：，，，，故集合的所有元素之和为16. ‎ 二、填空题 ‎9、解:优于，即位于的左上方，“不存在中的其它点优于”，即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为 ‎.填．‎ ‎10、解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程 ‎ ①‎ 的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为 下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设.将方程①化为 记，则方程的自然数解的组数为 因此，的系数为.填7651.‎ ‎11、解：因为底面周长为3，所以底面边长为，底面面积为.‎ 又因为体积为，所以高为.该球的直径为，球的体积.填.‎ ‎12、解：第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后，有如下三种情况：‎ ‎（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；‎ ‎（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；‎ ‎（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.‎ 因此，共有染法为种.填90.‎ ‎13、解：令，则 ‎ 故是周期为5的函数. ‎ 计算可知：；；；；. 所以，‎ ‎；；…；.‎ 以上各式叠加，得 ‎；‎ 同理可得.‎ 所以，第2008棵树的种植点为.填.‎ ‎14、解：由条件得 　　　 ①‎ 当时，①化为，无解；‎ 当时，①化为，无解；‎ 当时，①化为 　　　　　　　②‎ 若，则，线段长度为１；若，则，线段长度为；若 ‎，则，线段长度为４．综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．填．‎ 三、解答题 ‎15、证明：（1）设、、. 则椭圆过点、的切线方程分别为 ‎，.‎ 因为两切线都过点，则有 ‎，.‎ 这表明、均在直线 ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足直线的方程.‎ ‎（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为 代入①消去得 ②‎ 对一切恒成立. ‎ 变形可得 ‎ 对一切恒成立.故有 由此解得直线恒过定点.‎ ‎（2）当∥时，由式②知 解得 代入②，得此时的方程为 ③‎ 将此方程与椭圆方程联立，消去得 由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即 代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即 这就是说，点平分线段.‎ ‎16、解：如果某方以或获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．‎ 乙胜五局的概率为；‎ 乙胜四局负一局的概率为；‎ 乙胜三局负二局的概率为 以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为 ‎17、 证明：由对称性，不妨设，令，则因，可得 设，则对求导，得.‎ 易知，当时，，单调递减；当时，，单调递增. ‎ 故在或处有最大值且及两者相等.‎ 故的最大值为，即.‎ 由，得，其中等号仅当或成立.‎ ‎18、解：（1）因为，所以函数的定义域为，‎ 又.‎ 当时， ，即在上是减函数，故 因为,所以 ‎.‎ 又容易证明，所以 ‎，‎ ‎ .‎ 即 ‎