2017-2018学年安徽省定远重点中学高二下学期第一次月考数学文试题（解析版）

2017-2018学年安徽省定远重点中学高二下学期第一次月考数学文试题（解析版）

定远重点中学2017-2018学年第二学期第一次月考 高二文科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷（选择题 60分）‎ 一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1.按照图1—图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）‎ A．36 B．‎40 C．44 D．52‎ ‎2.下列推理正确的是（　　） A.如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖 B.因为a＞b，a＞c，所以a﹣b＞a﹣c C.若a＞0，b＞0，则lga+lgb≥2 D.若a＞0，b＜0，则+=﹣（+）≤﹣2=﹣2‎ ‎3.化简 的结果是（ ） A.2+i B.﹣2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i ‎4.已知i为虚数单位，复数z= ， 则复数z的虚部是（　　） A.I B. C.-I D.-‎ ‎5.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（　　） A. =1.23x+4 B. =1.23x+5 C. =1.23x+0.08 D. =0.08x+1.23‎ ‎6.已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为 ，那么z• 等于（   ） A.5 B.﹣7 C.12 D.25‎ ‎7.已知是虚数单位，复数的共轭复数与复平面内的点对应，则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8.已知是虚数单位，则 ( )‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎9.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）‎ A. 假设至少有一个钝角 B. 假设没有一个钝角 C. 假设至少有两个钝角 D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ‎10.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（ ）‎ A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500‎ ‎11.设大于0，则3个数的值 A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于1‎ C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1‎ ‎12.对某校高二年级某班63名同学，在一次期末考试中的英语成绩作统计，得到如下的列联表：‎ 附： ，参照附表 ‎，得到的正确结论是（ ）‎ A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”‎ C. 没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”‎ D. 有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”‎ 第II卷（选择题90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|=    ．‎ ‎14.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是    ．‎ ‎15.若复数 ，且，则 的值为 _______________．‎ ‎16.若（为虚数单位），则的值为__________．‎ 三、解答题(共6小题 ,共70分) ‎ ‎17. (10分) 复数z1=  +（10﹣a2）i，z2=  +（2a﹣5）i，若  +z2是实数，求实数a的值．‎ ‎18. (10分)在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在市的区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数， 表示这个个分店的年收入之和．‎ ‎（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（百万元）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程 ‎；‎ ‎（2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？‎ ‎（参考公式： ，其中）‎ ‎19. (12分)已知复数.‎ ‎（1）实数为何值时，复数z为纯虚数； ‎ ‎（2）若，计算复数.‎ ‎20.某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比实验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良． ‎ ‎（1）根据以上信息填好2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生 （2）成绩优良与班级有关？ （3）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考） ‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ k2= ，n=a+b+c+d．‎ ‎21. (14分)设为三角形的三边，求证：‎ ‎22. (12分)设Sn＝＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．‎ 参考答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C B C D D D B D C D ‎1.B【解析】因为根据图形，第一个图有个点，第二个图有个点，第三个图有个点，…，所以第个图有个点，故选B．‎ ‎2.D【解析】如果不买彩票，那么就不能中奖． 即使你买了彩票，你也不一定中奖，故A错误； 因为a＞b，a＞c，但是a﹣b不一定大于a﹣c，故B错误； 因为lga+lgb≥2成立的条件是a＞1，b＞1，故C错误； 若a＞0，b＜0， 则由均值定理，得+=﹣（+）≤﹣2=﹣2，故D正确． A中，即使你买了彩票，你也不一定中奖；B中，a﹣b不一定大于a﹣c；C中，lga+lgb≥2成立的条件是a＞1，b＞1；由均值定理知D正确。‎ ‎3.C【解析】 = ， 故选C ‎4.B【解析】∵i， 故复数z的虚部是， 故选B．‎ ‎5.C【解析】法一： 由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B 法二： 因为回归直线方程一定过样本中心点， 将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足， 故选C ‎6.D【解析】由题意，z=3+4i， 则z• = ． 故选：D．‎ ‎7.D【解析】由题复数与复平面内的点对应，，‎ ‎，复数对应的点的坐标是，复数对应的点在第四象限，故选D．‎ ‎8.D【解析】由题意得，故选D.‎ ‎9.B【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，选C.‎ ‎10.D【解析】由 的定义知 ，且若为奇数则 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选D ‎11.C【解析】由题意，若个数的值均大于，则，显然矛盾，若个数的值均小于，则，显然矛盾， 若个数的值至少有一个不大于，故选C.‎ ‎12.C【解析】由题意计算可得：‎ ‎，‎ 则没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”.‎ 本题选择C选项.‎ ‎13.‎ ‎【解析】由z+i= ， 得 ， 则|z|= ．故答案为： ． ‎ ‎14.195‎ ‎【解析】设共有n人，根据题意得； 3n+ =100n， 解得n=195； ∴一共有195人．故答案为：195． ‎ ‎15.‎ ‎【解析】由题意可得： .‎ ‎16.‎ ‎【解析】16.因为，根据复数相等则， ，解得，所以，故填.‎ ‎17.解：∵z1=  +（10﹣a2）i，z2=  +（2a﹣5）i， ∴  +z2是=[  +（a2﹣10）i]+[  +（2a﹣5）i] =（  + ）+（a2﹣10+2a﹣5）i =  +（a2+2a﹣15）i， ∵  +z2是实数， ∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3． 又分母a+5≠0， ‎ ‎∴a≠﹣5， 故a=3．‎ ‎【解析】可求得  +z2=  +（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a的值．‎ ‎18.(1) ;(2) 该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据所给数据，按照公式计算回归方程中的系数即可；‎ ‎（2）利用（1）得利润与分店数之间的估计值，计算，由基本不等式可得最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由表中数据和参考数据得： ， ，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为： ，‎ 设该区每个分店的平均利润为，则，‎ 故的预报值与之间的关系为，‎ 则当时，取到最大值，‎ 故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．‎ ‎19.（1）m=0 ;（2） .‎ ‎【解析】(1)利用题意得到关于实数m的方程，解方程即可求得m=0；‎ ‎(2)利用复数的运算法则结合题意计算可得= .‎ 试题解析：‎ ‎（1）欲使z为纯虚数，则须且，所以得m=0 .‎ ‎（2）当m=2时，z=2+,=2-,故所求式子等于= . ‎ ‎20. 解： （1）根据题意，计算甲班优良人数为60×10×（ + ）=30， ‎ 乙班优良人数为60×10×（ + ）=20，‎ 填好2×2联表如下：‎ 优良 不优良 总计 甲班 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 总计 ‎50‎ ‎70‎ ‎120‎ ‎ （2）由（1）中表格的数据知，计算K2= ≈3.429， ‎ ‎∵K2≈3.429≥2.706，∴有90%的把握认为学生成绩优良与班级之间有关系 ‎ （3）解：根据分层抽样知甲班抽取3人，记作A1，A2，A3， ‎ 乙班抽取2人，记作B1，B2；‎ 从中任意抽取3人，有 A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，‎ A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，‎ A2B1B2，A3B1B210种情形，‎ 其中至少有2人来自甲班的有7种情形，‎ 则至少有2人来自甲班的概率为P= ‎ ‎【解析】（1）根据题意，计算甲班、乙班优良人数，填好2×2联表；（2）由（1）中表格的数据计算K2，对照临界值即可得出结论；（3）根据分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．‎ ‎21.见解析 ‎【解析】本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.‎ 试题解析：要证明： ‎ 需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) ‎ 需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c ‎ ‎∵a,b,c是的三边 ∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0 ‎ ‎∴a+2ab+b+abc>c ‎ ‎∴成立。 ‎ ‎22.Sn＝‎ ‎【解析】n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.‎ 猜想：Sn＝.‎ 证明如下： ，‎ ‎∴Sn＝.‎